2.3.3和2.3.4直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的性质 题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word版，含解析）

2.3.3　直线与平面垂直的性质
2.3.4　平面与平面垂直的性质
基础过关练　　　　　　　 　　　　　　　　　　　
题组一　直线与平面垂直的性质
1.(山东枣庄高一检测)△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是　(　　)
A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定
2.(浙江高二期末)设α,β是两个不重合的平面,l,m是空间两条不重合的直线,下列命题不正确的是(　　)
A.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
B.若l⊥α,m⊥α,则l∥m
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.若l⊥α,α⊥β,则l∥β
3.(多选题)下面命题正确的是(　　)
A.过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条
B.过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条
C.过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个
D.过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个
4.如图,正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则以下命题中,错误的命题是　　(　　)
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH垂直于平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1
D.直线AH和BB1所成的角为45°
5.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.
题组二　平面与平面垂直的性质
6.(甘肃静宁高一期末)已知平面α,β和直线m,l,则下列命题中正确的是(　　)
A.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β
B.若α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
C.若α⊥β,l α,则l⊥β
D.若α⊥β,α∩β=m,l α,l⊥m,则l⊥β
7.若平面β⊥平面α,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则(　　)
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
8.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,点C为垂足,B∈β,BD⊥l,点D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,则CD的长为　　　　.
9.(江西南昌高二检测)已知在四棱锥S-ABCD中,SD⊥平面ABCD,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=1,SD=2,BC⊥BD,E为棱SB上的一点,平面EDC⊥平面SBC.证明:
(1)DE⊥平面SBC;
(2)SE=2EB.
题组三　平行、垂直关系的综合应用
10.(北京昌平一中高一期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上, F,M分别是AD,CD的中点, 则下列结论中错误的是(　　)
A.FM∥A1C1
B.BM⊥平面CC1F
C.三棱锥B-CEF的体积为定值
D.存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D
11.(北京高一期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,当点E在线段B1D1(与B1,D1不重合)上运动时,总有:
①AE∥BC1;
②平面AA1E⊥平面BB1D1D;
③AE∥平面BC1D;
④A1C⊥AE.
以上四个推断中正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.①④
C.②④ D.③④
12.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A'不与A,F重合),则下列说法中正确的是　(　　)
①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上;
②BC∥平面A'DE;
③三棱锥A'-FED的体积有最大值.
A.① B.①②
C.①②③ D.②③
13.设a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,有下列四个说法:
①若a⊥b,a⊥α,b α,则b∥α;
②若a∥α,a⊥β,则α⊥β;
③若a⊥β,α⊥β,则a∥α或a α;
④若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β.
其中正确的个数为　　　　.
14.如图所示,三角形PDC所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直,且PD=PC.
(1)证明:BC∥平面PDA;
(2)证明:BC⊥PD.
15.已知:如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,垂足为E.
(1)求证:PA⊥平面ABC;
(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.
能力提升练
一、选择题　　　　　　　　　　　　　　
1.(★★☆)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(　　)
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
2.(山东高三月考,★★☆)设α,β,γ 是三个不重合的平面,l是直线,给出下列命题:
①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;
②若l上两点到α的距离相等,则l∥α;
③若l⊥α,l∥β,则α⊥β;
④若α∥β,l β ,且l∥α,则l∥β.
其中正确的命题的序号是(　　)
A.①③ B.③④ C.②③ D.①④
3.(四川高考模拟,★★☆)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1、BC1的中点,下列结论中正确的是(　　)
A.EF⊥BB1
B.EF⊥平面BCC1B1
C.EF∥平面D1BC
D.EF∥平面 ACC1A1
4.(安徽高三开学考试,★★☆)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是棱A1D1上一动点,下列说法正确的是(　　)
A.对任意动点F,在平面ADD1A1内不存在与平面CBF平行的直线
B.对任意动点F,在平面ABCD内存在与平面CBF垂直的直线
C.在点F从A1运动到D1的过程中,FC与平面ABCD所成的角变大
D.在点F从A1运动到D1的过程中,点D到平面CBF的距离逐渐变小
5.(湖北高一期中,★★☆)在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中不成立的是(　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDE⊥平面ABC
D.平面PDF⊥平面PAE
二、填空题
6.(山西太原高一检测,★★☆)已知平面α,β,γ,直线l,m满足:α⊥γ,γ∩α=m,γ∩β=l,l⊥m,那么①m⊥β;②l⊥α;③β⊥γ;④α⊥β.由上述条件可推出的结论有　　　　.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
三、解答题
7.(★★★)如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
8.(★★★)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
(1)求证:C1C⊥BD;
(2)当的值为多少时,可使A1C⊥平面C1BD
答案全解全析
基础过关练
1.B　因为直线l⊥AB,l⊥AC,AB∩AC=A,所以l⊥α,同理直线m⊥α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.
2.D　A选项中命题正确,垂直于同一条直线的两个平面平行;
B选项中命题正确,垂直于同一个平面的两条直线平行;
C选项中命题正确,因为平面β内存在直线m,使l∥m,若l⊥α,则m⊥α,∵m β,∴α⊥β;
D选项中命题不正确,有可能l β.故选D.
3.BC　过一点和一条直线垂直的直线有无数条,故A不正确;过一点和一个平面垂直的平面有无数个,故D不正确;易知BC均正确.故选BC.
4.D　连接BH,A1H,DH,易知△A1BD为等边三角形,且AB=AA1=AD,又因为AH⊥平面A1BD,所以AH⊥BH,AH⊥A1H,AH⊥DH,所以易得BH=A1H=DH,即H到△A1BD各顶点的距离相等,所以H为△A1BD的外心,又因为等边三角形的三心合一,所以A中命题正确;
易知CD1∥BA1,CB1∥DA1,又CD1∩CB1=C,BA1∩DA1=A1,所以平面CB1D1∥平面A1BD,所以AH⊥平面CB1D1,所以B中命题正确;
连接AC1,则AC1⊥B1D1,因为B1D1∥BD,
所以AC1⊥BD,同理,AC1⊥BA1,又BA1∩BD=B,所以AC1⊥平面A1BD,
所以A,H,C1三点共线,所以C中命题正确,利用排除法选D.
5.证明　因为SA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,
所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE 平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE,AE 平面AGFE,
所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC,所以AE⊥SB.
6.D　选项A缺少条件:l α;选项B缺少条件:α⊥β;选项C缺少条件:α∩β=m,l⊥m;选项D具备面面垂直性质定理的全部条件.
7.C　当b=α∩β时,有a⊥β;当b不是α与β的交线时,直线a不一定垂直于平面β,如下图所示.故选C.
8.答案　
解析　如图,连接BC.
∵二面角α-l-β为直二面角,AC α,
且AC⊥l,α∩β=l,∴AC⊥β.
又BC β,∴AC⊥BC,∴BC2=AB2-AC2=3.
又BD⊥CD,∴CD==.
9.证明　(1)如图,因为SD⊥平面ABCD,
所以SD⊥BC,又BC⊥BD,BD∩SD=D,
所以BC⊥平面BDS,
所以BC⊥DE.
作BK⊥EC,垂足为K,
因为平面EDC⊥平面SBC,平面EDC∩平面SBC=EC,
所以BK⊥平面EDC.
又DE 平面EDC,所以BK⊥DE.
又因为BK 平面SBC,BC 平面SBC,BK∩BC=B,
所以DE⊥平面SBC.
(2)由(1)知DE⊥SB,DB==,
所以SB===.
在Rt△SDB中,=,
所以DE==.
EB==,SE=SB-EB=.
所以SE=2EB.
10.D　对于A,连接AC,易知FM∥AC,AC∥A1C1,故FM∥A1C1,结论正确;
对于B,易知△CDF≌△BCM,∴∠CFD=∠BMC,∴∠DCF+∠BMC=90°,
∴BM⊥CF,又BM⊥CC1,∴BM⊥平面CC1F,结论正确;
对于C,三棱锥B-CEF的体积等于三棱锥E-BCF的体积,此时E点到平面BCF的距离为1,底面积为,故体积为定值,结论正确;
对于D,BF与CD相交,即平面BEF与平面CC1D1D始终有公共点,故二者相交,结论错误.故选D.
11.D　①因为AD1∥BC1,AE与AD1相交,所以①错;
②明显不对,只有当E在B1D1中点时才成立;
③易得平面AB1D1∥平面BC1D,而AE 平面AB1D1,所以AE∥平面BC1D;
④易知A1C⊥平面AB1D1,又AE 平面AB1D1,所以A1C⊥AE.故选D.
12.C　①中,由已知可得平面A'FG⊥平面ABC,所以点A'在平面ABC上的射影在线段AF上.
②因为BC∥DE,BC 平面A'DE,DE 平面A'DE,所以BC∥平面A'DE.
③当平面A'DE⊥平面ABC时,三棱锥A'-FED的体积达到最大.
13.答案　4
解析　①若a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b α,又b α,所以b∥α,①正确;②若a∥α,a⊥β,则由线面平行的性质定理可以得出在α内存在直线c⊥β,故可得出α⊥β,②正确;③由a⊥β,α⊥β,可得出a∥α或a α,③正确;④由a⊥b,a⊥α,可得出b∥α或b α,又b⊥β,所以α⊥β,④正确.
14.证明　(1)因为四边形ABCD是矩形,
所以BC∥AD.
又BC 平面PDA,AD 平面PDA,
所以BC∥平面PDA.
(2)取CD的中点H,连接PH.
因为PD=PC,所以PH⊥CD.
又平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PH 平面PDC.
所以PH⊥平面ABCD.
又BC 平面ABCD,所以PH⊥BC.
因为BC⊥CD,PH∩CD=H,
所以BC⊥平面PDC.
又PD 平面PDC,所以BC⊥PD.
15.证明　(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC,交AC于点F,作DG⊥AB,交AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.
因为PA 平面PAC,所以DF⊥PA.
同理可证,DG⊥PA.
因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长,交PC于点H.
因为E是△PBC的垂心,
所以PC⊥BH.
又因为AE是平面PBC的垂线,
所以PC⊥AE.
因为BH∩AE=E,
所以PC⊥平面ABE,
所以PC⊥AB.
又因为PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB.
因为PA∩PC=P,
所以AB⊥平面PAC.
所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.
能力提升练
一、选择题
1.C　连接B1C,由题意易得BC1⊥B1C,
∵A1B1⊥平面B1BCC1,且BC1 平面B1BCC1,
∴A1B1⊥BC1,
∵A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1ECB1,
∵A1E 平面A1ECB1,
∴A1E⊥BC1.故选C.
2.B　①设正方体下底面为β,左右侧面分别为α、γ,满足α⊥β,β⊥γ,但α∥γ,故①不正确;
②若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内,则A、B到α的距离相等,但l与α相交,故②不正确;
③若l⊥α,l∥β,则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β,故③正确;
④若α∥β且l∥α,可得l∥β或l在β内,而条件中有l β,所以必定有l∥β,故④正确.
故选B.
3.D　连接B1C,由于四边形BCC1B1是平行四边形,对角线互相平分,故F是B1C的中点.因为E是AB1的中点,所以EF是三角形B1AC的中位线,故EF∥AC,所以EF∥平面ACC1A1.故选D.
4.C　对于A选项,∵AD∥BC,AD 平面CBF,BC 平面CBF,∴AD∥平面CBF,又AD 平面ADD1A1,所以A选项中的命题错误;
对于B选项,假设平面ABCD内存在直线a满足a⊥平面CBF,∵a 平面ABCD,由平面与平面垂直的判定定理可得平面CBF⊥平面ABCD,事实上,平面CBF与平面ABCD不垂直,假设不正确,所以B选项中的命题错误;
对于C选项,由于F到平面ABCD的距离d不变且FC变小,设直线FC与平面ABCD所成的角为θ,则sin θ=,可知θ在逐渐变大,C选项中的命题正确;
对于D选项,由于点F到平面ABCD的距离不变,△BCD的面积不变,则三棱锥F-BCD的体积不变,即三棱锥D-BCF的体积不变,在点F的运动过程中,△BCF的面积不变,由等体积法可知,点D到平面BCF的距离不变,D选项中的命题错误.故选C.
5.C　∵在正四面体PABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,
∴DF∥BC,
∵DF 平面PDF,BC 平面PDF,
∴BC∥平面PDF,故A中结论成立;
∵四面体PABC是正四面体,E是BC的中点,
∴AE⊥BC,PE⊥BC,
∵AE∩PE=E,
∴BC⊥平面PAE,
∵DF∥BC,
∴DF⊥平面PAE,故B中结论成立;
∵DF⊥平面PAE,DF 平面ABC,
∴平面PAE⊥平面ABC,
∵平面PAE∩平面PDE =PE,且PE与平面ABC不垂直,
∴平面PDE与平面ABC不垂直,故C中结论不成立;
∵DF⊥平面PAE,且DF 平面PDF,
∴平面PDF⊥平面PAE,故D中结论成立,故选C.
二、填空题
6.答案　②④
解析　因为γ∩β=l,所以l γ,
因为α⊥γ,γ∩α=m,l⊥m,
所以l⊥α,又l β,所以α⊥β.由于β可以绕l转动,位置不定,所以m⊥β和β⊥γ不一定成立,即②④正确,①③错误.
三、解答题
7.证明　(1)如图所示,取PD的中点E,连接AE、NE,
∵N为PC的中点,
∴NE∥CD且NE=CD,
又AM∥CD且AM=AB=CD,
∴NE AM,
∴四边形AMNE为平行四边形.
∴MN∥AE.
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.
又∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD.
又AD∩PA=A,
∴CD⊥平面PAD.又AE 平面PAD,
∴CD⊥AE.又MN∥AE,∴MN⊥CD.
(2)∵PA⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,
∴PA⊥AD,
又∠PDA=45°,
∴△PAD为等腰直角三角形,
又E为PD的中点,
∴AE⊥PD.
又由(1)知CD⊥AE,且PD∩CD=D,
∴AE⊥平面PCD.
又AE∥MN,∴MN⊥平面PCD.
8.解析　(1)证明:如图,连接A1C1,AC,设AC和BD交于点O,连接C1O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,BC=CD.
又∵∠BCC1=∠DCC1,C1C是公共边,
∴△C1BC≌△C1DC.∴C1B=C1D.
∵DO=OB,∴C1O⊥BD.
又∵AC∩C1O=O,
∴BD⊥平面ACC1A1.
又∵C1C 平面ACC1A1,
∴C1C⊥BD.
(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1.
∵A1C 平面ACC1A1,∴BD⊥A1C.
当=1时,平行六面体的六个面是全等的菱形.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1=B,∴A1C⊥平面C1BD.
故=1时,A1C⊥平面C1BD.