专题强化练5　函数零点的综合运用-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修1（Word含答案解析）

专题强化练5　函数零点的综合运用
一、选择题
1.(河北唐山一中高一上期中,★★☆)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C. D.
2.(安徽屯溪一中高一上期中,★★☆)若函数f(x)=log3x+x-3的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:
f(2)=-0.369 1 f(2.5)=0.334 0
f(2.25)=-0.011 9 f(2.375)=0.162 4
f(2.312 5)=0.075 6 f(2.281 25)=0.031 9
那么方程x-3+log3x=0的一个近似解(精确度为0.1)为(　　)
A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.4
3.(北京人大附中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=x2-2ax+5在x∈[1,3]上有零点,则正数a的所有可取的值的范围为(　　)
A. B.[,+∞)
C.[,3] D.(0,]
4.(湖南衡阳八中高一上期中,★★☆)已知f(x)=若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,2] D.(0,+∞)
5.(湖南衡阳一中高一上期中,★★★)已知函数f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互不相等),则x1+x2+x3的取值范围是(　　)
A.(-2,0] B.(-1,0) C.(-1,0] D.(-2,0)
6.(多选题)(山东济南外国语学校第一次阶段考,★★★)若一元二次方程x2+4x+n=0有正实数根,则n的值可以为(　　)
A.4 B.-5 C.-1 D.-12
二、填空题
7.(河北唐山一中高一上期中,★★☆)方程x2-2mx+m2-1=0的一个根在(0,1)内,另一个根在(2,3)内,则实数m的取值范围是　　　　.
8.(浙江嘉兴一中高一上期中,★★★)若函数f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2在区间[0,2]上有两个零点,则实数a的取值范围是　　　　.三、解答题
9.(福建三明高中联盟高一上期末,★★☆)定义在[0,2]上的函数f(x)=x2-2ax+1.
(1)若f(x)的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(2)若f(x)在其定义域上有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
10.(★★★)已知f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R).
(1)设g(x)=f(x)-a+1,k=2,若函数g(x)存在零点,求a的取值范围;
(2)若f(x)是偶函数,设h(x)=log2,当函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点时,求实数b的取值范围.
答案全解全析
专题强化练5　函数零点的综合运用
一、选择题
1.C　∵函数f(x)=ex+4x-3在R上连续,且f(0)=e0-3=-2<0,f=+2-3=-1=-e0>0,∴f(0)·f<0,∴函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为.故选C.
2.C　由参考数据可得f(2.25)·f(2.312 5)<0,且|2.312 5-2.25|=0.062 5<0.1,因此[2.25,2.312 5]内的任意值都可为方程的近似解,故选C.
3.C　①当f(x)在实数集上仅有一个零点时,Δ=4a2-20=0,解得a=-(舍)或a=,此时零点x=∈(1,3),所以a=满足题意;
②当f(x)在实数集上有两个零点,且其中一个零点在[1,3]上时,f(1)·f(3)≤0,解得≤a≤3;
③当f(x)在实数集上有两个零点,且两个零点均在[1,3]上时,函数f(x)图象的对称轴为x=a,所以解得综上,a的所有可能的值的范围为[,3].
4.A　由f(x)-a=0,得f(x)=a,作出函数f(x)的图象如图所示:
由方程f(x)=a有三个不同的实根,知05.C　f(x)的图象如图所示,不妨设x1由图象知,若f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2=-2,0由0∴-16.BCD　设f(x)=x2+4x+n,则函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为x=-2,要使得一元二次方程x2+4x+n=0有正实数根,需满足f(0)<0,即n<0,结合选项,可知选BCD.
二、填空题
7.答案　(1,2)
解析　设f(x)=x2-2mx+m2-1,
则f(x)的一个零点在(0,1)内,另一个零点在(2,3)内.
∴即解得18.答案　(1,5-]
解析　当x=0时,f(0)=a2-2a+2=(a-1)2+1>0,
因此,x=0不是f(x)的零点.
当x=2时,f(2)=16-8a+a2-2a+2=a2-10a+18,
由f(2)=0得,a=5±,
若a=5+,则另一根为5+-2=3+ [0,2];
若a=5-,则另一根为5--2=3-∈[0,2].
∴a=5-符合题意.
若f(x)在(0,2)内有两个零点,则即
解得1综上所述,a的取值范围是(1,5-].
三、解答题
9.解析　(1)由已知得,f(x)=(x-a)2+1-a2.
(i)当a≤0时,f(x)在[0,2]上单调递增,
∴g(a)=f(0)=1;
(ii)当0(iii)当a≥2时,f(x)在[0,2]上单调递减,
∴g(a)=f(2)=5-4a.
∴g(a)=
(2)∵f(x)在定义域[0,2]上有两个不同的零点,
∴解得1∴a的取值范围是.
10.解析　(1)因为k=2,所以f(x)=log2(4x+1)-2x=log2=log2,
因为1+>1,所以log2>0,即f(x)>0,
函数g(x)存在零点,即f(x)=a-1有解.
又f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
所以a-1>0,即a>1,所以a的取值范围是(1,+∞).
(2)∵f(x)=log2(4x+1)-kx(k∈R)的定义域为R,且f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),
∴log2+k=log2(4+1)-k,∴k=1,经检验,k=1符合题意,∴f(x)=log2(4x+1)-x=log2=log2(2x+2-x).
∵函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,
∴方程f(x)=h(x)只有一个解,即2-x+2x=b·2x-b只有一个解,即3(b-1)22x-4b·2x-3=0只有一个解,
令t=2x,t>0,则3(b-1)t2-4bt-3=0只有一个正实数根,
当b=1时,t=-<0,不符合题意;
当b≠1时,若方程有两个相等的正实数根,则Δ=(-4b)2-4×3(b-1)×(-3)=0,且>0,解得b=-3;
当方程有两个不相等的实数根且只有一个正实数根时,因为y=3(b-1)t2-4bt-3的图象恒过点(0,-3),所以只需图象开口向上,即b-1>0即可,解得b>1.
综上,b的取值范围是{-3}∪(1,+∞).