1.1.1旋转体的结构特征题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word版，含解析）
文档属性
| 名称 | 1.1.1旋转体的结构特征题组训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修2（Word版，含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 252.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 08:39:51 | ||
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文档简介
旋转体的结构特征
基础过关练
题组一 旋转体的结构特征
1.如图所示的图形中有( )
A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥
C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球
2.下列说法中正确的是( )
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
3.(多选题)下列说法中正确的有( )
A.圆柱的侧面展开图是一个矩形
B.圆锥的侧面展开图是一个扇形
C.圆台的侧面展开图是一个梯形
D.棱锥的侧面为三角形
4.给出以下说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长;
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长;
③用一个平面去截一个球,得到的截面可以是一个正方形;
④球常用表示球心的字母表示.
其中正确说法的序号是 .
5.给出下列说法:(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 .
题组二 旋转体中的计算问题
6.(北京师范大学附属中学高一期中)若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( )
A.4S B.4πS C.πS D.2πS
7.(湖北高一期中)如图所示,圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.2
8.用一个平面去截半径为25 cm的球,截面面积是225π cm2,则球心到截面的距离是( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
9.(江苏启东中学高一期中)如果用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高等于 .
10.有一根长为3π cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度.
11.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求两底面的半径及两底面面积之和.
能力提升练
一、选择题
1.(2018北京四中月考,★★☆)如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
2.(★★☆)下列说法正确的是( )
A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
B.多面体至少有3个面
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
3.(湖南长沙一中高考模拟,★★☆)一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为( )
A.1 B. C. D.2
4.(2018上海高考,★★☆)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
5.(湖北高二期末,★★☆)从半径为6 cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为120°的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为( )
A.2 cm B.3 cm
C.2 cm D.4 cm
6.(辽宁高考模拟,★★★)已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2.若球心到这两个平面的距离相等,则这两个圆的半径之和为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空题
7.(黑龙江哈尔滨第六中学,★★☆)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何体(或图形)的4个顶点,这些几何体(或图形)是 .(写出所有正确结论的序号)
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
三、解答题
8.(★★☆)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4、8的正方形,各侧棱长均为,求四棱台的高.
9.(★★★)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为,设这条最短路线与C1C的交点为N.
(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)求PC和NC的长.
答案全解全析
基础过关练
1.B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.
2.C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中必须以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才能得到圆台,所以B错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误,故选C.
3.ABD A.圆柱的侧面展开图是一个矩形,正确;B.圆锥的侧面展开图是一个扇形,正确;C.圆台的侧面展开图是一个扇环,所以不正确;D.棱锥的侧面为三角形,符合棱锥的结构特征,正确.故选ABD.
4.答案 ①④
解析 根据球的结构特征知,①正确;②不正确,因为球的直径必过球心;③不正确,因为球的任何截面都是圆面;④正确.
5.答案 (2)(3)(4)
解析 (1)不正确,因为直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;
(2)正确;
(3)正确,如图所示,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;
(4)正确,如图所示,圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).
6.C 设圆柱底面圆的半径为R,则由题意,知圆柱的母线长为底面圆的直径2R,故2R·2R=4S,得R2=S,所以该圆柱的一个底面面积为πR2=πS.故选C.
7.A 如图,圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC,易得AC==2.故选A.
8.D 设截面圆的半径为r cm,
∵截面的面积是225π cm2,
∴πr2=225π,解得r=15.
又∵球的半径为25 cm,
∴截面到球心的距离d==20 cm.
9.答案 r
解析 半径为r的半圆弧长为πr,则圆锥底面圆的周长为πr,
所以圆锥的底面半径为,
所以圆锥的高为=r.
10.解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形AEFD及线段AC(如图所示),
由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC==5π cm,
故铁丝的最短长度为5π cm.
11.解析 设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥,如图,则有∠ABO=30°.
在Rt△BO'A'中,=sin 30°=,
∴BA'=2r.
在Rt△BOA中,=sin 30°=,
∴BA=4r.
又BA-BA'=AA',即4r-2r=2a,∴r=a.
∴两底面面积之和S=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.
∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2.
能力提升练
一、选择题
1.A 假设水槽倾斜一个小角度后的图形如图①,图②所示,
图① 图②
因为平面AA1B1B与平面DD1C1C平行,所以有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的结构特征.因此呈棱柱形状.
2.D 选项A错误,反例如图①,各侧棱延长线没有交于一点;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图②,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的结构特征,知选项D正确.
3.B 正方体的面对角线长为2,又水的体积正好是正方体体积的一半,所以当正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转刚好为45°时,容器里水面的高度最大,此时最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.
4.D 如图所示,①当另一条边取BB1时,顶点可取:D1、D、E1、E,共4个.
②当另一条边取CC1时,顶点可取:F1、F、D1、D,共4个.
③当另一条边取DD1时,无顶点可取,共0个.
④当另一条边取EE1时,顶点可取:B1、B、D1、D,共4个.
⑤当另一条边取FF1时,顶点可取:C1、C、D1、D,共4个.
综上所述,共存在4+4+0+4+4=16个“阳马”.
5.D 设围成的圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l=6 cm,如图所示,
易知扇形的弧长为×6=4π,
又4π=2πr,解得r=2(cm),
所以圆锥的高h==4(cm).
故选D.
6.B 如下图所示,
设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,AB的中点为E,因为球心到这两个平面的距离相等,所以四边形OO1EO2为正方形,设两圆半径为r,所以|OO1|=,|OE|=,又|OE|2+|AE|2=|OA|2,即32-2r2+2=16,则r2=9,所以r=3,所以这两个圆的半径之和为6.故选B.
二、填空题
7.答案 ①③④⑤
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是:①矩形,如四边形ACC1A1;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如A-CB1D1;⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A-A1DC,故填①③④⑤.
三、解答题
8.解析 解法一:如图,设O1、O分别为正方形A1B1C1D1、正方形ABCD的中心,各侧棱的延长线交于点P,连接PO,则P、O1、O三点共线.
易知A1O1=A1C1=×4=2,
AO=AC=×8=4.
又△PA1O1∽△PAO,
所以==,所以PA=2PA1.
又因为PA=PA1+A1A=2PA1,
所以PA1=A1A=.
在Rt△PO1A1中,PO1===3.
又因为==,所以PO=6,
所以OO1=3.
所以四棱台的高为3.
解法二:如图,在截面ACC1A1中,A1A=CC1=,A1C1=4,AC=8,过A1作A1E⊥AC,交AC于点E,则A1E就是四棱台的高.
在Rt△A1EA中,AE=×(8-4)=2,
所以A1E===3,
即四棱台的高为3.
9.解析 (1)由题设可知,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,所以其对角线长为=.
(2)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1逆时针旋转120°,使其与侧面AA1C1C在同一平面内,此时点P运动到点P1的位置,连接MP1,则易知|MP1|就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.
设PC=x,则P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理及题设“最短路线长为”可得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2.
又==,故NC=MA=×2=.
基础过关练
题组一 旋转体的结构特征
1.如图所示的图形中有( )
A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥
C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球
2.下列说法中正确的是( )
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线
3.(多选题)下列说法中正确的有( )
A.圆柱的侧面展开图是一个矩形
B.圆锥的侧面展开图是一个扇形
C.圆台的侧面展开图是一个梯形
D.棱锥的侧面为三角形
4.给出以下说法:
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长;
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长;
③用一个平面去截一个球,得到的截面可以是一个正方形;
④球常用表示球心的字母表示.
其中正确说法的序号是 .
5.给出下列说法:(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴,将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥;(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径.其中正确说法的序号是 .
题组二 旋转体中的计算问题
6.(北京师范大学附属中学高一期中)若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( )
A.4S B.4πS C.πS D.2πS
7.(湖北高一期中)如图所示,圆柱的底面周长为12,高为2,矩形ABCD是该圆柱的轴截面,则在此圆柱侧面上,从A到C的路径中,最短路径的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.2
8.用一个平面去截半径为25 cm的球,截面面积是225π cm2,则球心到截面的距离是( )
A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.20 cm
9.(江苏启东中学高一期中)如果用半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高等于 .
10.有一根长为3π cm,底面半径为1 cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,求铁丝的最短长度.
11.圆台的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍,求两底面的半径及两底面面积之和.
能力提升练
一、选择题
1.(2018北京四中月考,★★☆)如图所示,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
2.(★★☆)下列说法正确的是( )
A.有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台
B.多面体至少有3个面
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
3.(湖南长沙一中高考模拟,★★☆)一个封闭的棱长为2的正方体容器,当水平放置时,如图,水面的高度正好为棱长的一半.若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转,则容器里水面的最大高度为( )
A.1 B. C. D.2
4.(2018上海高考,★★☆)《九章算术》中,称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA1是正六棱柱的一条侧棱,如图,若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边,则这样的阳马的个数是 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
5.(湖北高二期末,★★☆)从半径为6 cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为120°的扇形,将剪下来的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠),那么这个圆锥的高为( )
A.2 cm B.3 cm
C.2 cm D.4 cm
6.(辽宁高考模拟,★★★)已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2.若球心到这两个平面的距离相等,则这两个圆的半径之和为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空题
7.(黑龙江哈尔滨第六中学,★★☆)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何体(或图形)的4个顶点,这些几何体(或图形)是 .(写出所有正确结论的序号)
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体.
三、解答题
8.(★★☆)已知四棱台的上、下底面分别是边长为4、8的正方形,各侧棱长均为,求四棱台的高.
9.(★★★)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为,设这条最短路线与C1C的交点为N.
(1)求该三棱柱的侧面展开图的对角线长;
(2)求PC和NC的长.
答案全解全析
基础过关练
1.B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.
2.C 将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱,所以A错误;B中必须以垂直于底边的腰所在直线为轴旋转才能得到圆台,所以B错误;通过圆台侧面上一点,只有一条母线,所以D错误,故选C.
3.ABD A.圆柱的侧面展开图是一个矩形,正确;B.圆锥的侧面展开图是一个扇形,正确;C.圆台的侧面展开图是一个扇环,所以不正确;D.棱锥的侧面为三角形,符合棱锥的结构特征,正确.故选ABD.
4.答案 ①④
解析 根据球的结构特征知,①正确;②不正确,因为球的直径必过球心;③不正确,因为球的任何截面都是圆面;④正确.
5.答案 (2)(3)(4)
解析 (1)不正确,因为直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥;
(2)正确;
(3)正确,如图所示,因为圆锥的母线长都相等,所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形;
(4)正确,如图所示,圆锥侧面的母线长l有可能大于圆锥底面圆半径r的2倍(即直径).
6.C 设圆柱底面圆的半径为R,则由题意,知圆柱的母线长为底面圆的直径2R,故2R·2R=4S,得R2=S,所以该圆柱的一个底面面积为πR2=πS.故选C.
7.A 如图,圆柱的侧面展开图是矩形,且矩形的长为12,宽为2,则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC,易得AC==2.故选A.
8.D 设截面圆的半径为r cm,
∵截面的面积是225π cm2,
∴πr2=225π,解得r=15.
又∵球的半径为25 cm,
∴截面到球心的距离d==20 cm.
9.答案 r
解析 半径为r的半圆弧长为πr,则圆锥底面圆的周长为πr,
所以圆锥的底面半径为,
所以圆锥的高为=r.
10.解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面上得到矩形AEFD及线段AC(如图所示),
由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC==5π cm,
故铁丝的最短长度为5π cm.
11.解析 设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原为圆锥,如图,则有∠ABO=30°.
在Rt△BO'A'中,=sin 30°=,
∴BA'=2r.
在Rt△BOA中,=sin 30°=,
∴BA=4r.
又BA-BA'=AA',即4r-2r=2a,∴r=a.
∴两底面面积之和S=πr2+π(2r)2=5πr2=5πa2.
∴圆台上底面半径为a,下底面半径为2a,两底面面积之和为5πa2.
能力提升练
一、选择题
1.A 假设水槽倾斜一个小角度后的图形如图①,图②所示,
图① 图②
因为平面AA1B1B与平面DD1C1C平行,所以有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的结构特征.因此呈棱柱形状.
2.D 选项A错误,反例如图①,各侧棱延长线没有交于一点;一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误;选项C错误,反例如图②,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体;根据棱柱的结构特征,知选项D正确.
3.B 正方体的面对角线长为2,又水的体积正好是正方体体积的一半,所以当正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转刚好为45°时,容器里水面的高度最大,此时最大高度为面对角线长的一半,即最大水面高度为,故选B.
4.D 如图所示,①当另一条边取BB1时,顶点可取:D1、D、E1、E,共4个.
②当另一条边取CC1时,顶点可取:F1、F、D1、D,共4个.
③当另一条边取DD1时,无顶点可取,共0个.
④当另一条边取EE1时,顶点可取:B1、B、D1、D,共4个.
⑤当另一条边取FF1时,顶点可取:C1、C、D1、D,共4个.
综上所述,共存在4+4+0+4+4=16个“阳马”.
5.D 设围成的圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l=6 cm,如图所示,
易知扇形的弧长为×6=4π,
又4π=2πr,解得r=2(cm),
所以圆锥的高h==4(cm).
故选D.
6.B 如下图所示,
设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,AB的中点为E,因为球心到这两个平面的距离相等,所以四边形OO1EO2为正方形,设两圆半径为r,所以|OO1|=,|OE|=,又|OE|2+|AE|2=|OA|2,即32-2r2+2=16,则r2=9,所以r=3,所以这两个圆的半径之和为6.故选B.
二、填空题
7.答案 ①③④⑤
解析 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是:①矩形,如四边形ACC1A1;③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如A-CB1D1;⑤每个面都是直角三角形的四面体,如A-A1DC,故填①③④⑤.
三、解答题
8.解析 解法一:如图,设O1、O分别为正方形A1B1C1D1、正方形ABCD的中心,各侧棱的延长线交于点P,连接PO,则P、O1、O三点共线.
易知A1O1=A1C1=×4=2,
AO=AC=×8=4.
又△PA1O1∽△PAO,
所以==,所以PA=2PA1.
又因为PA=PA1+A1A=2PA1,
所以PA1=A1A=.
在Rt△PO1A1中,PO1===3.
又因为==,所以PO=6,
所以OO1=3.
所以四棱台的高为3.
解法二:如图,在截面ACC1A1中,A1A=CC1=,A1C1=4,AC=8,过A1作A1E⊥AC,交AC于点E,则A1E就是四棱台的高.
在Rt△A1EA中,AE=×(8-4)=2,
所以A1E===3,
即四棱台的高为3.
9.解析 (1)由题设可知,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9,宽为4的矩形,所以其对角线长为=.
(2)如图,将侧面BB1C1C绕棱CC1逆时针旋转120°,使其与侧面AA1C1C在同一平面内,此时点P运动到点P1的位置,连接MP1,则易知|MP1|就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线的长.
设PC=x,则P1C=x,在Rt△MAP1中,由勾股定理及题设“最短路线长为”可得(3+x)2+22=29,解得x=2,所以PC=P1C=2.
又==,故NC=MA=×2=.