1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（1） 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4(共40张PPT)

(共40张PPT)
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(1)
大邑中学数学教研组
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
3.掌握函数y＝sinx，y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
本节目标
课前预习
(1)周期函数的定义是什么？
(2)如何利用周期的定义求正、余弦函数的周期？
(3)正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．函数y＝2sin 是(　　)
A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数
B
2．函数f(x)＝sin 2x的奇偶性为(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
所以f(x)是奇函数
A
f(x)＝ sin 2x的定义域为R
f(－x)＝ sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)
3．函数f(x)＝ sin ，x∈R的最小正周期为________．
f(x)的最小正周期T＝ ＝4
4
4．若函数y＝f(x)是以2为周期的函数，且f(5)＝6，则f(1)＝________.
f(1)＝f(3)＝f(5)＝6
f(x＋2)＝f(x)
6
新知探究
1．函数的周期性
对于函数f(x)，如果存在一个__________，使得当x取定义域内的每一个值时，都有____________，那么这个函数的周期为_____.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小_____就叫做f(x)的______________．
周期函数
非零常数T
f(x＋T)＝f(x)
T
最小正周期
正数
正数
最小正周期
2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
2π
奇函数
偶函数
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　三角函数的周期问题及简单应用
[例1]　求下列函数的周期：
(1)y＝sin ；
(2)y＝|sin x|.
(1)法一：寻找非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)恒成立．
法二：利用y＝Asin(ωx＋φ)的周期公式计算．
思路点拨　
(2)作函数图象，观察出周期．
[例1]　求下列函数的周期：
(1)y＝sin ；
y＝sin ＝sin ＝sin ，
所以周期为π.
y＝sin 中ω＝2，T＝ ＝ ＝π.
法一：(定义法)
法二：(公式法)
[例1]　求下列函数的周期：
(2)y＝|sin x|.
观察图象可知周期为π
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
求三角函数周期的方法
(1)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝.
方法总结
y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝ .
知识拓展
跟踪训练
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R；
(2)y＝sin ，x∈R.
1．利用周期函数的定义求下列函数的周期．
(1)y＝cos 2x，x∈R；
(2)y＝sin ，x∈R.
(2)因为sin＝sin＝sin，
由周期函数的定义知，y＝sin 的周期为6π.
(1)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，
由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.
题型二　三角函数奇偶性的判断
[例2]　判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin ；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
(3)f(x)＝ .
思路点拨　
题型二　三角函数奇偶性的判断
[例2]　判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝sin ；
∴f(x)是偶函数．
显然x∈R ，
f(x)＝cosx，
∵f(－x)＝cos(x)＝cosx＝f(x)，
[例2]　判断下列函数的奇偶性：
(2) f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
由 得－1＜sin x＜1，
1－sin x>0
1+ sin x>0
解得定义域为，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
[例2]　判断下列函数的奇偶性：
(3) f(x)＝ .
∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－ ，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
技法点拨
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
易错提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝cos ＋x2sin x；
(2) f(x)＝ ＋ .
2．判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)＝cos ＋x2sin x；
∴f(x)是奇函数．
f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，
f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
2．判断下列函数的奇偶性：
(2) f(x)＝ ＋ .
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z，
由 得cos x＝，
0
题型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
1．试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？
提示：奇函数有y＝2sin x，y＝sin 2x，y＝5sin 2x，y＝sinxcosx等．偶函数有y＝cos 2x＋1，y＝3cos 5x，y＝sin x·sin 2x等．
[探究问题]
题型三　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
[探究问题]
2．若函数y＝f(x)是周期T＝2的周期函数，也是奇函数，则f(2018)的值是多少？
提示：f(2018)＝f(0＋1009×2)＝f(0)＝0.
[例3]　(1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y＝cos|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sin() D．y＝cos ()
偶函数
偶函数
偶函数
y＝sin() ＝cos
y＝cos () ＝sin
奇函数
最小正周期T＝ π
D
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
f ＝ f
＝ f
＝ f
＝ f
＝ f
＝sin
＝
D
多维探究
变式1 定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
f ＝ f
＝ f
＝ f
＝ sin
＝
A
变式2 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
∵f(x)的周期为，且为偶函数，
∴f ＝f ＝f ＝f ＝ .
B
探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．
技法总结
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；
(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
技法总结
与三角函数奇偶性有关的结论
随堂检测
(1)若sin ＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期．( 　)
(2)所有的周期函数都有最小正周期．(　　)
(3)函数y＝ 是奇函数．(　　)
×
×
×
1．思考辨析
对任意x，sin 与sin x并不一定相等
函数f(x)＝5是周期函数，就不存在最小正周期
定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不关于原点对称，故非奇非偶
2．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是(　　)
D
3．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，
所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.
－3
2．周期函数定义中的“f(x＋T)＝f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，不能说T是y＝f(x)的周期．
1．“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次．
本课小结
3．在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数.
本课小结