1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（2）课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4(共38张PPT)

(共38张PPT)
1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(2)
大邑中学数学教研组
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．
2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
本节目标
课前预习
(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么？
预习课本，思考并完成以下问题
(2)正、余弦函数的最值分别是多少？取最值时自变量x的值是多少？
课前小测
1．函数y＝－cos x在区间上是(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
因为y＝cos x在区间上先增后减，
所以y＝－cos x在区间上先减后增．
C
2．函数y＝sin x 的值域为________．
≤sin x≤1
3．函数y＝2－sin x取得最大值时x的取值集合为_____________________．
当sin x＝－1时，ymax＝2－(－1)＝3，
此时x＝2kπ－，k∈Z.
4．若cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是________．
所以0≤m≤2.
[0,2]　
因为－1≤cos x≤1
要使cos x＝m－1有意义，须有－1≤m－1≤1，
新知探究
[－1,1]
[－1,1]
思考：y＝sin x和y＝cos x在区间(m，n)(其中0＜m＜n＜2π)上都是减函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？
提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m＝ ，n＝π.
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　正弦函数、余弦函数的单调性
[例1]　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
确定a的范围 → y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数 → y＝cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数 → a的范围．
思路点拨
题型一　正弦函数、余弦函数的单调性
[例1]　(1)函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
y＝cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
所以只有－π＜a≤0时满足条件
故a∈(－π，0]
(－π，0]
[例1] (2)已知函数f(x)＝，求函数f(x)的单调递增区间．
确定增区间 → 令u＝ ＋2x → y＝ sin u的单调递增区间．
思路点拨
[例1] (2)已知函数f(x)＝，求函数f(x)的单调递增区间．
所以函数f(x)＝ sin ＋1的单调递增区间是
[－＋kπ, ＋kπ] ，k∈Z.
令u＝ ＋2x，
函数y＝ sin u的单调递增区间为[－＋2kπ, ＋2kπ]，k∈Z，
由－＋2kπ≤＋2x≤ ＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间时注意两点：
①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；
注意：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律．
技法点拨
②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间．
跟踪训练
1．(1)函数y＝sin ，x∈的单调递减区间为_____________．
(k∈Z)
(k∈Z)
因为x∈
所以要求的单调递减区间为,
,
跟踪训练
1． (2)已知函数y＝cos ，则它的单调减区间为____________________．
y＝cos ＝cos ，
由2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
∴单调递减区间是[kπ＋, kπ＋] (k∈Z)．
[kπ＋, kπ＋] (k∈Z)
题型二　利用三角函数的单调性比较大小
[例2]　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1) sin与sin；
(2) sin 196°与cos 156°；
(3) cos 与cos .
[例2]　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1) sin与sin；
< <
函数y＝sinx在[, ]上单调递增
∴sin > sin
[例2]　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(2) sin 196°与cos 156°；
sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin 16°＜sin 66°，
从而－sin 16°＞－sin 66°，
即sin 196°＞cos 156°.
[例2]　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(3) cos 与cos .
cos ＝cos π＝cos(π)＝cos π，
cos ＝cos π＝cos () ＝cos .
∵0＜ ＜ π＜π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π＜cos ，
即cos ＜cos .
1 利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内.
2 不同名的函数化为同名的函数.
3 自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦函数的单调性来比较大小.
解题策略
三角函数值大小比较的策略
跟踪训练
2．(1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是(　　)
A．sin α＜sin β B．cos α＜sin β
C．cos α＜cos β D．cos α ＞cos β
α＞ －β，α∈(0, )， －β∈ (0, ) ，
α，β为锐角三角形的两个内角，α＋β＞ ，
所以cos α＜cos(－β)＝sin β.
B
跟踪训练
①cos ，cos ；
cos ＝cos ，cos ＝cos ，
因为0＜ ＜ ＜π，
而y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以cos ＞cos ，
即cos ＞cos .
2． (2) 比较下列各组数的大小：
②cos 1，sin 1.
因为cos 1＝sin(－1)，
而0＜ －1＜1＜
且y＝sin x在[0， ]上单调递增，
所以sin (－1) ＜sin 1，
即cos 1＜sin 1.
题型三　正弦函数、余弦函数的最值问题
1．函数y＝sin(x + )在x∈[0，π]上最小值是多少？
提示：因为x∈[0，π]，所以x＋∈[, ]，由正弦函数图象可知函数的最小值为－.
[探究问题]
题型三　正弦函数、余弦函数的最值问题
[探究问题]
2．函数y＝Asin x＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？
提示：不是．因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋b.
[例3]　(1)函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________．
y＝cos2x＋2sin x－2
＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0，
所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4,0]．
[－4,0]
[例3]　 (2)已知函数f(x)＝asin (2x－) ＋b(a＞0)．当x∈ [0， ]时，f(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
∵0≤x≤ ，
∴－ ≤sin (2x－) ≤1，
∴－ ≤2x－ ≤ ，
∴f(x)max＝a＋b＝ ，f(x)min＝－a＋b＝－2.
由 得
a＋b＝
－a＋b＝－2
a＝2
b＝－2+
多维探究
变式1 函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R，求当函数值取得最小值时x的取值集合．
此时x的取值集合为.
因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2，
所以当sin x＝－1时，ymin＝－4，
变式2 函数y＝cos2x＋sin x，x∈R的值域为________．
y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－(sin x－)2＋ .
因为－1≤sin x≤1，
所以－1≤y≤ ，
所以函数y＝cos2x＋sin x，x∈R的值域为[－1, ].
[－1, ]
1 y＝asin2x＋bsin x＋c a≠0 ，利用换元思想设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.
三角函数最值问题的常见类型及求解方法
2 y＝Asin ωx＋φ ＋b，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin ωx＋φ 的范围，最后得最值.
方法总结
随堂检测
1．思考辨析
(1)y＝sin x在(0，π)上是增函数．(　　)
(2)cos 1＞cos 2＞cos 3.(　　)
(3)函数y＝－sin x，x∈[0, ]的最大值为0.(　　)
×
√
√
2．y＝2cos x2的值域是(　　)
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
因为x∈R，所以x2≥0，
所以y＝2cos x2∈[－2,2]
A
3．sin ________sin() (填“＞”或“＜”)．
sin () ＝sin () ＝sin ，
因为0＜ ＜ ＜ ，y＝sin x在(0, )上是增函数，
所以sin ＜sin ，即sin ＞sin().
＞
4．求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间．
求函数y＝1－sin 2x的单调递增区间，
转化为求函数y＝sin 2x的单调递减区间，
由＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ，k∈Z，得＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
即函数的单调递增区间是[＋kπ, ＋kπ](k∈Z)．
1．确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个函数的定义域内进行．
2．函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进行变形.
本课小结