2021-2022学年度高中数学必修一第五章
5.7三角函数的应用测试卷
一、单选题
1.风力发电不需要燃料 不占耕地 没有污染,运行成本低,所以产业发展前景非常广阔,在某风速时,传感器显示的电压按正弦规律变化,下表是时间和电压的相关数据,则风力发电的风叶转一圈的时间为( )
时间t(单位:) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
电压U(单位:) 0 22 0 0 22 0
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8
2.某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm,秒针绕点匀速旋转,当时间:时,点与钟面上标12的点重合,当两点间的距离为(单位:cm),则等于( )
A. B. C. D.
3.函数的图象是( )
A. B.
C.D.
4.某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数()来表示,已知该市6月份的平均气温最高,为,12月份的平均气温最低,为,则该市8月份的平均气温为( )
A. B. C. D.
5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,因其经济又环保,至今还在农业生产中得到使用(如图).
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(如图).
假定在水流量稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动,筒车转轮的中心到水面的距离为,筒车的半径为,筒车转动的角速度为,如图所示,盛水桶(视为质点)的初始位置距水面的距离为,则后盛水桶到水面的距离近似为( )
.
A. B. C. D.
6.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的平面直角坐标系,设秒针针尖指向位置.若初始位置为,秒针从(注:此时)开始沿顺时针方向走动,则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为( )
A. B.
C. D.
7.在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上下自由振动.已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定:
s1=5sin,s2=5cos.
则在时间t=时,s1与s2的大小关系是( )
A.s1>s2 B.s1<s2
C.s1=s2 D.不能确定
8.如图,已知两座建筑物,的高度分别是12m,20m,从建筑物的顶部A处看建筑物的张角,则建筑物,的底部B,D之间的距离是( )
A.18m B.20m C.24m D.30m
9.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的,纯音的数学模型是函数音有四要素,音调、响度、音长和音色.它们都与函数及其参数有关,比如:响度与振幅有关,振幅越大响度越大,振幅越小响度越小;音调与频率有关,频率低的声音低沉,频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响,而是许多音的结合,称为复合音.我们听到的声音对应的函数是.结合上述材料及所学知识,给出下列说法:
①函数不具有奇偶性;
②函数在区间上单调递增;
③若某声音甲对应的函数近似为,则声音甲的响度一定比纯音的响度小;
④若某声音乙对应的函数近似为,则声音乙一定比纯音更低沉.
其中错误的是( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①③④
10.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图,画中女子神秘的微笑,数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角处作圆弧的切线,两条切线交于点,测得如下数据:(其中).根据测量得到的结果推算:将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
11.下面是一半径为2米的水轮,水轮的圆心O距离水面1米,已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转,点M距水面的高度d(米)(在水平面下d为负数)与时间t(秒)满足函数关系式,则函数关系式为________.
12.“一湾如月弦初上,半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动,学生通过测量绘制出月牙泉的平面图,如图所示.图中,圆弧是一个以点为圆心 为直径的半圆,米.圆弧的圆心为点,米,圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状,则该月牙泉的面积为___________平方米.
13.在直角坐标系中,横 纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点,则称函数为阶格点函数.在上,下列函数中,为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①;②;③;④
14.海水受日月的引力,在一定的时候发生的涨落现象叫潮,港口的水深会随潮的变化而变化,某港口水的深度(单位:米)是时刻,单位:小时)的函数,记作,下面是该港口某日水深的数据,经长期观察,曲线可以近似地看成函数的图象,根据以下数据,函数的近似表达式为______________.
0 3 6 9 12 15 18 21 24
8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0
15.如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,0<φ<π,则这段曲线的函数解析式为__________________________.
16.函数()的单调减区间为______.
三、解答题
17.如图所示的是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图,经过周期后,B点的位置将移至何处?
18.某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数,记为y=f(t).
已知某日海水深度的数据如下:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察,y=f(t)的曲线可近似地看成函数的图象.
(1)根据以上数据,求出函数y=f(t)=Asinωt+b的振幅、和表达式;
(2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问:它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)
19.如图,一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈,筒车轴心O距水面的高度为1米.设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d(单位:米)(在水面下则d为负数).若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间t(单位:分钟)之间的关系为.
(1)求d与时间t(单位:分钟)之间的关系式;
(2)某时刻(单位:分钟)时,盛水筒W在过O点竖直直线的左侧,到水面的距离为2米.再经过分钟后,问盛水筒W是否在水中?如果在,求距水面的距离,如果不在,说明理由.
20.如图,某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向,且OH=4km,已知OM,ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路,CE,DF及圆弧CD都是学校道路,其中CE∥OM,DF∥ON,以学校H为圆心,半径为2km的四分之一圆弧分别与CE,DF相切于点C,D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济,其中A,B分别在公路OM,ON上,且AB与圆弧CD相切,设∠OAB=θ,△AOB的面积为Skm2.
(1)求S关于θ的函数解析式;
(2)当θ为何值时,△AOB面积S为最小,政府投资最低?
21.春节期间,某地昼夜气温呈周期性变化,温度随时间变化近似满足函数(,,),且在每天凌晨时达到最低温度℃,在下午时达到最高温度℃,从2时到14时为半个周期.
(1)求这段时间气温随时间变化的函数解析式;
(2)这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃?
注:一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
试卷第1页,共3页
参考答案
1.B
观察表格信息可知:
电压从0到、从到0、从0到22、从22到0,四个过程是一个周期,
所以风力发电的风叶转一圈的时间为0.4,
故选:B
2.D
由题知,圆心角为,过O作AB的垂线,则.
故选:D
3.A
解:由,可排除选项B,
由,可排除选项D,
由,可排除选项C,
故选:A.
4.A
由题意可得:
即,解得:,
所以,
所以该市8月份的平均气温为,
故选:A.
5.A
设初始位置对应的角为,则,则,
因为筒车转动的角速度为,
所以水桶到水面的距离,
当时,则有,
故选:.
6.C
∵秒针每秒转动,而初始相位为且初始位置为,
∴,且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动,
∴.
故选:C
7.C
当t=时,s1=5sin-5,s2=5cos-5,∴s1=s2
故选:C
8.C
如图,过A作于,设,
∵,记,则,
在中,,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∴,
解得:或(舍去),
所以建筑物,的底部B,D之间的距离是24m.
故选:C.
9.B
对于①,令,
则,所以是奇函数,错误;
对于②,因为都在上单调递增,
所以在上单调递增,②正确;
对于③.因为,所以,即的振幅比的振幅大,所以③错误;
对于④,因为的周期是,所以频率
而的周期为,频率,
所以正确.
故选:B.
10.C
依题意,设.
则.
,.
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为.
则,
.
故选:C
11.
解:水轮的半径为2,水轮圆心O距离水面1,.
又水轮每分钟旋转4圈,故转一圈需要15秒,
,.
顺时针旋转时,,
,
,.
,
故答案为:.
12.
如图所示,连接,易知,
因为,所以,.
则弓形的面积为:,
又半圆的面积为:,
所以月牙泉的面积为:
(平方米).
故答案为:.
13.①②③
当时,函数,的图象只经过一个格点,符合题意;
函数的图象只经过一个格点,符合题意;函数的图象经过七个格点,,不符合题意.
故答案为:①②③.
14.
根据图表,结合函数图象特征,
可得,
所以函数的近似表达式为.
故答案为:
15.,x∈[6,14]
从题图中可以看出,从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期,
所以,,
又,,
所以,
所以,
又图像过点(10,20),
所以,由题意得0<φ<π,
所以,
故答案为:,x∈[6,14].
16.和
因为,
令,
解得,
又因为,
所以函数的单调减区间为和.
故答案为:和
17.
根据函数的图象可得从点移至点需一个周期,
故经过一个周期后,B点的位置将移至.
18.(1)振幅为3, ,;(2)16小时.
(1)由题设的数据可得,故,
而,故,故,
其中振幅为3,.
(2)令,则,其中
故或,故船舶至多能在港内停留小时.
19.(1);(2)再经过分钟后盛水筒在水中,距水面距离为1米.
(1)由题意知,,即,所以,
由题意半径为2米,筒车的轴心O距水面的高度为1米,
可得:,,
当时,,代入得,,
因为,所以
∴
(2)在水中,理由如下:
由题知:,
由题意,,
所以,
∴,
故再经过分钟后,
所以再经过分钟后盛水筒在水中,距水面距离为1米.
20.(1);(2).
解:(1)以点O为坐标原点建立如图直角坐标系,则,
在中,设,又,故,
所以直线AB的方程为,即,
因为直线AB与圆H相切,所以H到直线AB的距离等于半径2,即①,
又点H在直线AB的上方,故,
所以①式可化简为,即,
故,
所以△AOB的面积为S ;
即S关于θ的函数解析式为;
(2)令,,则,且,所以,
令,分母,其中,所以时,分母部分最大,面积最小,此时,即.
所以时△AOB面积S为最小,政府投资最低.
21.(1);(2)每天的6时或22时的气温为.
(1)依题意,, 解得
根据题意,
又时,
且,解得,
所以;
(2)由得,
所以或
由,解得或,即在每天的6时或22时的气温为.答案第1页,共2页
答案第1页,共2页