2021-2022学年人教版A版（2019）高中数学必修一5.7 三角函数的应用 测试卷word版含答案

2021-2022学年度高中数学必修一第五章
5.7三角函数的应用测试卷
一、单选题
1．风力发电不需要燃料 不占耕地 没有污染，运行成本低，所以产业发展前景非常广阔，在某风速时，传感器显示的电压按正弦规律变化，下表是时间和电压的相关数据，则风力发电的风叶转一圈的时间为（ ）
时间t(单位：) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
电压U(单位：) 0 22 0 0 22 0
A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8
2．某时钟的秒针端点到中心点的距离为5cm，秒针绕点匀速旋转，当时间：时，点与钟面上标12的点重合，当两点间的距离为（单位：cm），则等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C．D．
4．某市一年12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数（）来表示，已知该市6月份的平均气温最高，为，12月份的平均气温最低，为，则该市8月份的平均气温为（ ）
A． B． C． D．
5．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（如图）．
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶（视为质点）的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（ ）
．
A． B． C． D．
6．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖指向位置.若初始位置为，秒针从(注：此时)开始沿顺时针方向走动，则点的纵坐标与时间(秒)的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t（s）时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sin，s2＝5cos．
则在时间t＝时，s1与s2的大小关系是（ ）
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
8．如图，已知两座建筑物，的高度分别是12m，20m，从建筑物的顶部A处看建筑物的张角，则建筑物，的底部B，D之间的距离是（ ）
A．18m B．20m C．24m D．30m
9．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数音有四要素，音调、响度、音长和音色．它们都与函数及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐．我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音对应的函数是．结合上述材料及所学知识，给出下列说法：
①函数不具有奇偶性；
②函数在区间上单调递增；
③若某声音甲对应的函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音的响度小；
④若某声音乙对应的函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉．
其中错误的是（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①③④
10．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：(其中).根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O距离水面1米，已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M距水面的高度d（米）（在水平面下d为负数）与时间t（秒）满足函数关系式，则函数关系式为________.
12．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.某中学开展暑期社会实践活动，学生通过测量绘制出月牙泉的平面图，如图所示.图中，圆弧是一个以点为圆心 为直径的半圆，米.圆弧的圆心为点，米，圆弧与圆弧所围成的阴影部分为月牙泉的形状，则该月牙泉的面积为___________平方米.
13．在直角坐标系中，横 纵坐标均为整数的点叫格点.若函数的图像恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.在上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①；②；③；④
14．海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮，港口的水深会随潮的变化而变化，某港口水的深度（单位：米）是时刻，单位：小时）的函数，记作，下面是该港口某日水深的数据，经长期观察，曲线可以近似地看成函数的图象，根据以下数据，函数的近似表达式为______________.
0 3 6 9 12 15 18 21 24
8.0 11.0 7.9 5.0 8.0 11.0 8.0 5.0 8.0
15．如图，某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b，0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________.
16．函数（）的单调减区间为______.
三、解答题
17．如图所示的是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，B点的位置将移至何处？
18．某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f(t)．
已知某日海水深度的数据如下：
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数的图象．
（1）根据以上数据，求出函数y＝f(t)＝Asinωt＋b的振幅、和表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)
19．如图，一个半径为2米的筒车按逆时针方向每π分钟转1圈，筒车轴心O距水面的高度为1米．设筒车上的某个盛水筒W到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数）．若以盛水筒W刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：分钟）之间的关系为．
（1）求d与时间t（单位：分钟）之间的关系式；
（2）某时刻（单位：分钟）时，盛水筒W在过O点竖直直线的左侧，到水面的距离为2米．再经过分钟后，问盛水筒W是否在水中？如果在，求距水面的距离，如果不在，说明理由．
20．如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45°方向，且OH＝4km，已知OM，ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE，DF及圆弧CD都是学校道路，其中CE∥OM，DF∥ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE，DF相切于点C，D.当地政府欲投资开发△AOB区域发展经济，其中A，B分别在公路OM，ON上，且AB与圆弧CD相切，设∠OAB＝θ，△AOB的面积为Skm2．
（1）求S关于θ的函数解析式；
（2）当θ为何值时，△AOB面积S为最小，政府投资最低？
21．春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度随时间变化近似满足函数(，，)，且在每天凌晨时达到最低温度℃，在下午时达到最高温度℃，从2时到14时为半个周期.
（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；
（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为℃？
注：一昼夜指从凌晨0时(含)到午夜24时(不含).
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
观察表格信息可知：
电压从0到、从到0、从0到22、从22到0，四个过程是一个周期，
所以风力发电的风叶转一圈的时间为0.4，
故选：B
2．D
由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则．
故选：D
3．A
解：由，可排除选项B，
由，可排除选项D，
由，可排除选项C，
故选：A．
4．A
由题意可得：
即，解得：，
所以，
所以该市8月份的平均气温为，
故选：A.
5．A
设初始位置对应的角为，则，则，
因为筒车转动的角速度为，
所以水桶到水面的距离，
当时，则有，
故选：．
6．C
∵秒针每秒转动，而初始相位为且初始位置为，
∴，且秒针从(此时)开始沿顺时针方向走动，
∴.
故选：C
7．C
当t＝时，s1＝5sin－5，s2＝5cos－5，∴s1＝s2
故选：C
8．C
如图，过A作于，设，
∵，记，则，
在中，,
∴,
在中，,
∴,
∴，
∴，
解得：或（舍去），
所以建筑物，的底部B，D之间的距离是24m.
故选：C.
9．B
对于①，令，
则，所以是奇函数，错误；
对于②，因为都在上单调递增，
所以在上单调递增，②正确；
对于③．因为，所以，即的振幅比的振幅大，所以③错误；
对于④，因为的周期是，所以频率
而的周期为，频率，
所以正确．
故选：B.
10．C
依题意，设．
则．
，．
设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．
则，
．
故选：C
11．
解：水轮的半径为2，水轮圆心O距离水面1，.
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
，.
顺时针旋转时，，
，
，.
，
故答案为：.
12．
如图所示，连接，易知，
因为，所以，.
则弓形的面积为：，
又半圆的面积为：，
所以月牙泉的面积为：
(平方米).
故答案为：.
13．①②③
当时，函数，的图象只经过一个格点，符合题意；
函数的图象只经过一个格点，符合题意；函数的图象经过七个格点，，不符合题意．
故答案为：①②③．
14．
根据图表，结合函数图象特征，
可得，
所以函数的近似表达式为.
故答案为：
15．，x∈[6，14]
从题图中可以看出，从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期，
所以，，
又，，
所以，
所以，
又图像过点（10,20），
所以，由题意得0<φ<π，
所以，
故答案为：，x∈[6，14].
16．和
因为，
令，
解得，
又因为，
所以函数的单调减区间为和.
故答案为：和
17．
根据函数的图象可得从点移至点需一个周期，
故经过一个周期后，B点的位置将移至.
18．（1）振幅为3， ，；（2）16小时．
（1）由题设的数据可得，故，
而，故，故，
其中振幅为3，.
（2）令，则，其中
故或，故船舶至多能在港内停留小时.
19．（1）；（2）再经过分钟后盛水筒在水中，距水面距离为1米．
（1）由题意知，，即，所以，
由题意半径为2米，筒车的轴心O距水面的高度为1米，
可得：，，
当时，，代入得，，
因为，所以
∴
（2）在水中，理由如下：
由题知：，
由题意，，
所以，
∴，
故再经过分钟后，
所以再经过分钟后盛水筒在水中，距水面距离为1米．
20．（1）；（2）.
解：（1）以点O为坐标原点建立如图直角坐标系，则，
在中，设，又，故，
所以直线AB的方程为，即，
因为直线AB与圆H相切，所以H到直线AB的距离等于半径2，即①，
又点H在直线AB的上方，故，
所以①式可化简为，即，
故,
所以△AOB的面积为S ;
即S关于θ的函数解析式为；
（2）令，，则，且，所以，
令，分母，其中，所以时，分母部分最大，面积最小，此时，即.
所以时△AOB面积S为最小，政府投资最低.
21．（1）；（2）每天的6时或22时的气温为.
（1）依题意，， 解得
根据题意，
又时，
且，解得，
所以；
（2）由得，
所以或
由，解得或，即在每天的6时或22时的气温为.答案第1页，共2页
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