2021-2022学年苏科版九年级数学下册 7.5解直角三角形 同步达标测评 （Word版含答案）

2021-2022学年苏科版九年级数学下册《7.5解直角三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，AC垂直于AB，P为线段AC上的动点，F为PD的中点，AC＝2.8m，PD＝2.4m，CF＝1.2m，∠DPE＝15°．若∠PEB＝90°，∠EBA＝65°，则AP的长约为（　　）（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）
A．1.2 B．1.3m C．1.5m D．2.0m
3．如图，在方格纸中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　）
A．2 B． C． D．
4．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin∠BAC的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（　　）
A．2+ B．2 C．3+ D．3
6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，a＝，则b＝（　　）
A．2 B．1 C．4 D．3
8．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，b＝，则a等于（　　）
A． B．1 C．2 D．3
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为　 　．
10．如图1一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距离桌面的高度为10公分，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，如图2，钟面显示3点50分时，A点距桌面高度　 　．
11．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，B为锐角且cosB＝，则sinC＝　 　．
12．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB＝，EC＝2，P是AB边上的一个动点，则线段PE的长度的最小值是　 　．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，cos∠ABC＝，点D在BC边上，BD＝6，CD＝AB，则AD的长为　 　．
14．如图，正方形ABCD的边长为1，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，连接AD′，则sin∠D′＝　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，则AB＝　 　．
16．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于 　 　．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．
（3）求sin∠BAC的值．
18．（1）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，D是BC上一点，BD＝AD，则有∠ADC＝30°，请你结合图形运用三角函数意义证明：sin30°＝2sin15°cos15°；
（2）小华猜想，对于锐角2α，可能有sin2α＝2sinα cosα成立．老师说，小华的猜想是正确的．请你用类似（1）的方法，通过构造等腰三角形和直角三角形，利用锐角三角函数的意义，证明sin2α＝2sinαcosα．
19．已知：△ABC中，∠C＝90°，a＝3，∠A＝30°，求∠B、b、c．
20．△ABC中，已知∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，求∠B、a、b．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，
∵cosα＝＝，
设OB＝3x，则OA＝5x，
∵A（x，4），
∴AB＝4，
由勾股定理得：AB2+OB2＝OA2，
42+（3x）2＝（5x）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即OB＝3，
∴tanα＝＝，
故选：A．
2．解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP＝90°，
∵∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，
∵∠DPE＝15°，
∴∠APD＝130°，
∴∠CPF＝50°，
∵F为PD的中点，
∴DF＝PF＝PD＝1.2（m），
∴CF＝PF＝1.2（m），
∴CP＝2PG＝2×PF cos50°≈2×1.2×0.64≈1.53，
∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.53≈1.3（m）．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.3米．
故选：B．
3．解：作AE⊥BC．∵∠AEC＝90°，AE＝4，BE＝2，
∴tan∠ABC＝＝＝2，
故选：A．
4．解：过B作BH⊥AC于H，
∵S△ABC＝BC AD＝AC BH，
∴BH＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故选：B．
5．解：如图，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC，BC＝＝AC．
∵BD＝BA，
∴DC＝BD+BC＝（2+）AC，
∴tan∠DAC＝＝＝2+．
故选：A．
6．解：如图所示：设BC＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，
∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，
根据题意得：AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，
作EM⊥AD于M，则AM＝AD＝x，
在Rt△AEM中，cos∠EAD＝＝＝；
故选：B．
7．解：∵cosB＝＝，a＝，
∴c＝2．b＝＝1．
故选：B．
8．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，b＝，
∴c＝2，a＝＝＝1．
故选：B．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
则∠ADC＝90°，由勾股定理得：
AC＝＝5，
∴sin∠BAC＝＝．
故答案为：．
10．解：连接A″A′，
∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．
∴AD＝10，
∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，
∴A′C＝16，
∴AO＝A″O＝6，
则钟面显示3点50分时，
∠A″OA′＝30°，
∴A′A″＝3，
∴A点距桌面的高度为：16+3＝19公分．
故答案是：19公分．
11．解：如下图所示：
作AD⊥BC于点D，
∵在△ABC中，AB＝5，BC＝6，B为锐角且cosB＝，cosB＝，
∴BD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣4＝2，AD＝，
∴AC＝，
∴sinC＝＝，
故答案为：．
12．解：设菱形ABCD的边长为x，则AB＝BC＝x，又EC＝2，所以BE＝x﹣2，
因为AE⊥BC于E，
所以在Rt△ABE中，cosB＝，又cosB＝，
于是，
解得x＝10，即AB＝10．
所以易求BE＝8，AE＝6，
当EP⊥AB时，PE取得最小值．
故由三角形面积公式有：AB PE＝BE AE，
求得PE的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
13．解：作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC，
则BE＝CE．
设DE＝x，
则BE＝6+x，CD＝6+2x，
设DE＝x，∵cos∠ABC＝，AB＝CD＝6+2x，
∴．
解得 x＝2
∴AB＝6+4＝10，BE＝6+2＝8
∴AE＝．
∴在Rt△ADE中，
AD＝．
14．解：由于正方形ABCD的边长为1，则AB＝1，BD＝，
在Rt△ABD'中，BD'＝，AD'＝．
则sin∠D′＝＝．
15．解：如下图：延长AD、BC交于E点，
因为∠A＝60°，
∴∠E＝90°﹣60°＝30°．
∵CD＝3，
∴CE＝3×2＝6，
则BE＝2+6＝8．
∵tan30°＝＝，
∴AB＝8×tan30°＝8×＝．
16．解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．
设直角三角形中较小边长为x，
则有（x+2）2+x2＝102，
解得，x＝6．
∴较长边的边长为x+2＝8．
∴tanα＝短边：长边＝6：8＝．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：，
解得，
所以每个小矩形的长为3，宽为1.5；
（2）如图所示：
，
AE＝3或3或；
（3）∵由图可计算AC＝，
∴AB＝，
设AC边上的高为h．则有 3 h＝ 3 6，
∴h＝
∴sin∠BAC＝＝．
18．证明：（1）设AC＝b，如图1，
在Rt△ADC中，∵∠ADC＝30°，
∴AD＝2b，
∴CD＝AC＝b，
在Rt△ADC中，∵AC＝b，BC＝2b+b＝（2+）b，
∴AB2＝b2+（2+）2b2＝（8+4）b2，
∴sinB＝sin15°＝，cosB＝cos15°＝，
∴2sin15°cos15°＝2 ＝＝，
而sin30°＝，
∴sin30°＝2sin15°cos15°
（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，D是BC上一点，BD＝AD，则有∠ADC＝2α，
设AC＝b，CD＝a，AB＝c，则AD＝，则BD＝，
在Rt△ADC中，sin2α＝，
在Rt△ABC中，sinB＝sinα＝，cosB＝cosα＝，
∴2sinαcosα＝2 ＝，
而c2＝b2+（）2＝2（a2+b2+a ）＝2（+a），
∴2sinαcosα＝＝，
∴sin2α＝2sinαcosα．
19．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，a＝3，∠A＝30°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，b＝c cosA＝6×＝3，即∠B＝60°，b＝3，c＝6．
20．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣（∠C+∠A）＝180°﹣（90°+60°）＝30°，
在Rt△ABC中，斜边c＝8，∠B＝30°，
∴b＝c＝4，
根据勾股定理得：a＝＝12，
则∠B＝30°，a＝12，b＝4．