2021-2022 学年度上学期五校期中联考高二数学试题
满分 120 分考试 时间 90分钟
7．若直线 l经过原点和点(－1，1)，则它的倾斜角是( )
一 、选择题（共 12 题，每小题 5分，共 60 分，每题只有一个正确选项） A．45° B．135° C．45°或 135° D．－45°
1．满足下列条件，能说明空间不重合的 A，B，C三点共线的是 ( ) 8．已知直线 l的倾斜角为 30°，则直线 l的斜率为( )
A→B B→ → → → →A． ＋ C ＝AC B．AB －BC ＝AC 3 2A． B． 3 C．1 D．
→AB →BC → →
3 2
C． ＝ D．|AB |＝|BC |
1
1 9．已知直线 l1的斜率 k1＝2，直线 l2的斜率 k2＝－ ，则 l1与 l2( )
2．已知异面直线的方向向量分别为 a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－ ，则 2
2
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
两直线的夹角为( )
10．两条直线 l1：2x－y－1＝0 与 l2：x＋3y－11＝0 的交点坐标为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
A.(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3．已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量 p， 2 2
11．圆 x＋y＋4x－6y－3＝0 的圆心和半径分别为( )
q 构成空间另一个基底的是( )
A.(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4
1
A．a B．b C．c D． p－2q C.(－2，3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16
3 2 2
12．直线 l：x－y＝1与圆 C：x＋y－4x＝0 的位置关系是( )
4．在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是上底面 A1B1C1D1的中心，则 AC1与 CE 的位 A.相离 B．相切 C.相交 D．无法确定
置关系是( )
A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定
二.填空（共 4个题，每题 5分，共 20 分）
1 1 1
－ ， ，－1 ，－1，3
5．若平面α，β的一个法向量分别为 m＝ 6 3 ，n＝ 2 ， 13．已知空间中任意四个点 A，B，C，D，则D
→A ＋C→D →－CB ＝________．
则 平面α，β的的关系 ( ) 14．设 e1，e
→ → →
2是两个不共线的空间向量，若AB ＝2e1－ke2，CB ＝3e1＋3e2，CD ＝
A．α∥β B．α⊥β ke1＋e2，且 A，B，D三点共线，则实数 k的值为________．
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 → → →
15．在长方体 ABCD A1B1C1D1中，若AB ＝3i，AD ＝2j，AA1 ＝5k，则向量 AC1在基
6．已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面 ABC 的一个法向量
底{i，j，k}下表示为________．
是( )
16．设 l1的方向向量为 a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为 b＝(－2，3，m)，若 l1
A．(1，1，－1) B．(1，－1，1)
⊥l2，则 m＝________．
C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1)
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19.设直线 l 2 2的方程为(m －2m－3)x－(2m ＋m－1)y＋6－2m＝0.
三．解答题（共 4个题，每题 10 分，共 40 分） (1)已知直线 l在 x轴上的截距为－3，求 m的值；
(2)已知直线 l的斜率为 1，求 m的值．
17．如图，已知正四面体 OABC 的棱长为 1.
→
求：OA →·OB
20.已知圆 C经过点(0，1)，且圆心为 C(1，2).
(1)写出圆 C的标准方程；
18.如图，正四棱锥 P ABCD 的各棱长都为 a.
(2)过点 P(2，－1)作圆 C的切线，求该切线的方程．
(1)用向量法证明 BD⊥PC；
→
(2)求|AC ＋P→C |的值．
高二数学 第 3页 共 4页 高二数学 第 4页 共 4页2021-2022 学年度上学期五校期中联考高二数学参考答案
—选择题（每题 5分，共 12 题。一共 60 分）
1C. 2 B 3C 4B 5D 6D 7B 8A 9B 10B 11C 12C
→ → → → → → → → →
13 解析：方法一：DA＋CD－CB＝(CD＋DA)－CB＝CA－CB＝BA.
→ → → → → → → → →
方法二：DA＋CD－CB＝DA＋(CD－CB)＝DA＋BD＝BA.
→
答案：BA
A B D λ → λ → →14 解析：因为 ， ， 三点共线，所以存在实数 使得AB＝ BD.因为AB＝
→ → → 2＝λ（k－3）， 2
2e1－ke2，BD＝CD－CB＝(k－3)e1－2e2，所以 所以 k －3k－4＝0，
－k＝－2λ，
解得 k＝－1或 k＝4.
→ → → → → → →
15 解析：AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1＝3i＋2j＋5k.
答案：3i＋2j＋5k
16 解析：因为 l1⊥l2，所以 a⊥b，
所以 a·b＝－2＋6－2m＝0，解得 m＝2.
答案：2
三解答题（共 4个题，每题 10 分，共 40 分）
→ → → → →
17（10 分）解：在正四面体 OABC 中，|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，〈OA，OB〉＝
→ → → →
〈OA，OC〉＝〈OB，OC〉＝60°.----------（5 分）
→ → → → 1
OA·OB＝|OA||OB|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝ .-----（10 分）
2
→ → →
18（10 分）(1)证明：因为BD＝BC＋CD，
→ → → → →
所以BD·PC＝(BC＋CD)·PC
→ → → → → → → → 1 2 1 2
＝BC·PC＋CD·PC＝|BC||PC|cos 60°＋|CD||PC|·cos 120°＝ a－ a＝0.
2 2
所以 BD⊥PC.-------（5 分）
→ → → → →
(2)解：因为AC＋PC＝AB＋BC＋PC，
→ → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → → → 2 2
所以|AC＋PC| ＝|AB| ＋|BC| ＋|PC| ＋2AB·BC＋2AB·PC＋2BC·PC＝a ＋a＋
a2 2 2 2＋0＋2a cos 60°＋2a cos 60°＝5a ，
→ →
所以|AC＋PC|＝ 5a.-------（10 分）
2m－6
19（10 分）【解】 (1)令 y＝0，则 x＝ ，
m2－2m－3
2m－6
所以 ＝－3，
m2－2m－3
5 5
得 m＝－ 或 m＝3(舍去).所以 m＝－ .--------（5 分）
3 3
(2)由直线 l化为斜截式方程得
m2－2m－3 6－2m m2－2m－3
y＝ x＋ ，则 ＝1，
2m2＋m－1 2m2＋m－1 2m2＋m－1
得 m＝－2或 m＝－1(舍去).所以 m＝－2.-------（10 分）
20（10 分）解：(1)由已知得半径 r＝ （1－0）2＋（2－1）2＝ 2.
所以圆 C 2 2的标准方程为(x－1) ＋(y－2) ＝2.------（5 分）
(2)由题意知切线的斜率存在，设过点 P(2，－1)的切线方程为 y＋1＝k(x
|－k－3|
－2)，即 kx－y－2k－1＝0，则由已知得，点 C到直线的距离为 ＝ 2，
1＋k2
整理得 k2－6k－7＝0，解得 k＝7或 k＝－1.
故所求切线方程为 7x－y－15＝0 或 x＋y－1＝0.（10 分）
