(共19张PPT)
14.3.2 因式分解
公式法
（1）（x ＋ 1)( x－1）=x2-1；
（2） x2-1=（x ＋ 1)( x－1）
（3）（m ＋ 2)( m－2）=m2-4；
（4） m2-4=（m ＋ 2)( m－2）
（5）（a ＋ b)( a－b）=a2-b2
（6） a2-b2=（a ＋ b)( a－b）
回顾思考
判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解 说说是不是提公因式法？
因式分解
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
整式乘法
想一想：
多项式 a2-b2 能用提公因式法分解因式？你能借鉴上面的经验将它分解因式吗？
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
逆用平方差公式分解因式
公式法
注意：（1）公式中的a、b可以表示数、单项式、多项式.
（2）多项式整体上只有两项，满足（ 数式1）2-（数式2 ）2。
两数是平方，减号在中央
= （a+5）（a－5）
=（2+m）（2－m）
（1）a2－25 （2）4－m2
例1.你能用公式法分解下列因式吗？
解原式= a2 － 52
（数式1）2－（数式2）2
解原式= 22 － m2
（数式1+数式2）（数式1-数式2）
（数式1）2－（数式2）2
（数式1+数式2）（数式1-数式2）
两个数（式）的平方差
等于这两个数的和与这两个数的差的积.
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
（6）m2-1
(m+1)(m-1)
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
填一填：
a
b
a2-b2
1
x
-3
a
12-x2
(-3)2-a2
a
1
a2-12
0.3x
1
( 0.3x)2-12
(a-b)(a+b)
例2.将下面的多项式分解因式
1) m - 16 2) 4x - 9y
m - 16= m - 4 =( m + 4)( m - 4)
4x - 9y =(2x) -(3y) =(2x+3y)(2x-3y)
（数式1）2－（数式2）2
（数式1+数式2）（数式1-数式2）
例2.分解因式：
（1）x4-y4. （2）a3b-ab.
【解析】(1)x4-y4 =（x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x+y)(x-y).
(2)a3b-ab=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
=(x2+y2)(x2-y2)
在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。在检查有没有分解彻底
基本步骤：一提二套三查
【例3】把下列各式分解因式：
（1）4x2－16.（2）(x+p)2－(x+q)2.
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
（1）整体上是二项式.
（2）每项都可以化成整式的平方.
（3）两个整式平方的关系是差.
使用条件：
= (99+1)(99–1)
1.试计算：992 – 1
12
= 100×98 = 9800
【跟踪训练】
变式1 判断992-1能否被98整除
变式2：n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
解:原式＝（2n+1+5）(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
所以， （2n+1)2-25能被4整除.
2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
（1）（x+2)(x-2)=x2-2
（2）（-3a-2)(3a-2)=9a2-4
不对
改正：
（1）（x+2)(x-2)=x2-4
不对
改正方法1：
（-3a-2)(3a-2)=-[(3a+2）（3a-2)]
=-(9a2-4)
=-9a2+4
改正方法2：
（-3a-2)(3a-2)=（-2-3a)(-2+3a)
=(-2)2-(3a)2
=4-9a2
反馈练习巩固新知
3.判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1)·(a2－1).
【解析】（1）不正确.
本题错在对混淆整式乘法与分解因式的概念不清，
（2）不正确.错误原因是因式分解不彻底，
因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
1. 分解因式 m3 – 4m = .
2.因式分解:2a2－8＝___________.
3.因式分解:ax2－ay2 =______.
4.因式分解：（a+b）3-a-b=___.
（1）(a+3b)(a- 3b)；
=4a2－9；
=4x4－y2.
=(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
=(-2x2 )2－y2
=(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1
=2499；
=(9x2－16)
－(6x2+5x -6)
=3x2－5x－ 10.
=(a)2－(3b)2
（2）(3+2a)(－3+2a)；
（3）51×49；
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2).
（4）(－2x2－y)(－2x2+y)；
5.利用平方差公式计算：
6.计算： 20152 － 2014×2016.
解：
20152 － 2014×2016
= 20152 － (2015－1)(2015+1)
= 20152
－ （20152－12 )
= 20152
－ 20152+12
=1
7.利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4)
解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
8.化简：
(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=（x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8.
9.利用因式分解计算：
解原式=
M=(1-)(1-)(1-)… (1-)(共16张PPT)
14.3.2 因式分解
公式法
用适当的方法分解因式
(1) 8m2n+2mn
(2) 4x2-9
(3)2x2-8
= 2mn(4m+1)
=4（x+1)(x-1)
公式法
=（2x+3)(2x-3)
提公因式法
一提二套
思考. 能用上面的方法分解a2+2ab+b2 ？
课前热身
一、新课引入
观察： a2+2ab+b2和a2－2ab+b2
这两个多项式有什么特点？
完全平方式
首平方
尾平方
首尾乘积2倍+
a2 + 2ab + b2
a2 － 2ab + b2
小试牛刀
下列多项式是不是完全平方式？为什么？
(1) a2－4a+4; (2)1+4a2;
(3) 4b2+4b－1 ; (4)a2+ab+b2.
（5） (a+b)2+12(a+b)+36
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2－2ab+b2=(a－b)2
思考：你能将多项式a2+2ab+b2 与
a2－2ab+b2分解因式吗？
逆用完全平方公式分解因式
公式法
注意：（1）公式中的a、b可以表示数、单项式、多项式.
（2）多项式整体上是三项，是一个完全平方式。
首平方，尾平方，首尾乘积2倍放中央
简单应用
(1) x2+2x+1 ( 2) x2-6x+9
2·x·1
解: x2+2x+1
=x2+2·x·1+12
=(x+1) 2
x
x
3
2·x·3
解: x2-6x+9
=x2- 2·x·3 +32
=(x-3) 2
1
试计算：9992 + 1998 + 1
2×999×1
= (999+1)2 = 106
变式.计算：
.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聪和小明的解答过程如下：
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
x2－2x＋3.
(2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2
解:(1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2
小聪: 小明:
×
×
能力提升： 例:分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2) –x2+4xy–4y2.
综合提高
分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2) (a+b)2－12(a+b)+36.
分析：在（1）中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解.
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2 .
(2)(a+b)2－12(a+b)+36
=(a+b)2－2·(a+b)·6+62
=(a+b－6)2.
将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2－12m+36.
把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？
(1) x2+12x+36; (2) －2xy－x2－y2;
(3) a2+2a+1; (4) 4x2－4x+1;
(5) ax2+2a2x+a3; (6) －3x2+6xy－3y2.
超级大练兵
综合应用，能力提升
分解因式：a4-8a2b2+16b4
分解因式：(a+b)2-4(a+b-1)
若︱a-4︱+b2-4b+4﹦0,
试求出a与b的值
填空：
(1)若多项式x2+mx+9为完全平方式，则m=_______;
(2)若二次三项式a2+a+m为完全平方式，则m=_______.
在整式4x2+1中加上一个单项式使之成为完全平方式，则可添的项为 。
分析：在4x2+1中4x2与1不一定是平方项，所以要对它们进行分类讨论。
1：如何用符号表示完全平方公式？
a2+2ab+b2=(a+b)2，
a2-2ab+b2=(a-b)2．
2：完全平方公式的结构特点是什么？
四、小结
完全平方式的特点：
1. 必须是三项式（或可以看成三项的） 2. 有两个同号的平方项
3. 有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
