5.1.2弧度制 课件(共20张PPT)

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5.1.2弧度制
人教A（2019）版
必修一
新知导入
复习巩固
一、任意角:
正角：逆时针方向旋转
负角：顺时针方向旋转
零角：没有旋转
二、角的度量：
把圆周平均分成360等份，每
一份所对的中心角叫一度。
1°
三、初中在度这个度量单位下的弧长和面积公式：
nπR2
360
S= ———
弧长
扇形面积
新知讲解
角度制这种计量方法是古巴比伦人发明的，是将圆周平均分成360等份
把一份定义为一度，是一个几何概念，有明显的直观性，比如900是圆周的
四分之一，是直角；1800圆周的一半是平角等等很多特殊角的角度都是整数
等优点，但也存在明显的不足，(1)在研究以角为自变量的函数时，自变量和
函数值都应是两个实数集合，以角度计量显然不满足这个条件；(2)从前面学
过的弧长和扇形面积公式可以看出，使用角度制这些公式比较繁琐。
随着学习的不断深入，我们会发现角度制计量方法有很多不便之处，为
了解决这些问题，英国数学家罗杰·柯特斯Roger Cotes在1714年提出弧度制的
概念。
新知讲解
弧度制的概念
弧度制定义:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，
用符号rad表示，读作弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制。
1弧度
r
l=r
O
A
B
2弧度
O
A
B
l=2r
B
3弧度
O
A
l=3r
可见，圆心角的弧度数就是所对弧长与半径的比值。
新知讲解
为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值
是否与所取的圆的半径大小无关呢？
我们从初中所学的弧长公式 中可以得到答案：
将公式变形为：
我们发现如果角确定后，弧长与半径的比值是一个确定的值，而
不随弧长与半径的改变而改变。
A
B
A'
B'
一般地，我们规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是
︱α︱=
l
r
α的正负由角α的终边的旋转方向决定
弧度与角度的互化
新知讲解
将角度α化为弧度数β：
由弧长公式：
将弧度 度α化为角度数β：
由弧长公式：
1°= —— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
π
1弧度 =（ ——）°≈ 57．30°= 57°18′
π
180
3600=2π弧度
圆周的弧长l=2πr，周角3600，所以，3600=
1800=π弧度
度 00 300 450 1200 1350 1500 3600
弧度
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
说明：
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字通常省略不写，但
用“度”（°）为单位不能省。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别
要求，不用将π化成小数。
新知讲解
计算并填写下列表格
新知讲解
在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个
角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个
实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
正角
负角
零角
正数
负数
0
任意角的集合
实数集R
合作探究
例1、把67°30′化成弧度。
解：
例2、把 —π 弧度化成度。
5
3
解：
合作探究
例3、用弧度制表示
（1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
例2、把 3.14rad化成度.(精确到0.001)
解：
解：
合作探究
例4、利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) 　 (2) (3)
其中r 是圆的半径，α（０＜α＜２π）为圆心角，l是扇形的弧长，S是扇形的面积．
解：(1)由弧度的定义： 易得：
(2)由
(3)上式中，αr=l代入面积S,即
新知讲解
弧度制下的弧长和扇形面积公式
由弧度的定义式：
nπR2
360
S= ———
得弧长公式：
由扇形面积
相比初中所学的弧长公式 ： 和扇形面积公式：
在形式上简单的多。
(0<α<2π)
其中，ɑ为圆心角，r为半径， 为弧长。
合作探究
例5、已知扇形的周长为10cm, 面积为4cm2,求扇形的中心角.
解：设扇形的中心角的弧度数为 , 弧长为l,半径为R,
依题意:
由①得 ,
代入②得
舍去
当R=1时,l=8cm时,
当R=4时,l=2cm时,
课堂练习
1、已知扇形所在圆半径为5，圆心角为135°，求扇形面积。
解:
2、已知扇形的周长为20cm,当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？
解:设圆半径为R, 则
3、把下列各角化成　　　　　　　　　 的形式：
（1）　　　； （2）　　　； （3）　　　．
（1）：
（3）：
（2）:
解：
课堂练习
课堂总结
弧度制定义:
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，
用符号rad表示，读作弧度.
弧度与角度的互化:
1°= —— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
π
1弧度 =（ ——）°≈ 57．30°= 57°18′
π
180
弧度制下的弧长和扇形面积公式
度 00 300 450 1200 1350 1500 3600
弧度
板书设计
(2)弧度与角度的互化.
(1)弧度的定义
1°= —— 弧度 ≈ 0．01745弧度
180
π
1弧度 =（ ——）°
≈ 57．30°= 57°18′
π
180
(3)弧度制下的弧长
和扇形面积公式
作业布置
1、已知扇形所在圆半径为5，圆心角 为135°，求扇形面积。
2、已知扇形的周长为20cm,当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？
3、课本P175练习1、2、3、5、6
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