2021年“山水联盟
姓名、考场号、座位号及准考证号并填
面积,h表
,球分分0
的
数
C
设
的
确
若
知实数
5.已知实数x,y,则“x2+y2≤2”是“x+ys2”的()
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中标出的尺
寸,可得这个几何体的体积是()
B
C.12
7.如右图,已知函数f(x)的图像,则函数f(x)的解析式可能是()
A./()=x'e1-2
B.f(x)
C.f(x)=2x2-e+
D./(x)=r(*+D)
8.已知函数f(x)=5inx-c0sxl(snx+cosx)x∈R。给出下列四个命题:①f(x)在(-=,0)上
单调递增:②f(x)是周期函数且最小正周期为2r:③f(x)的图象有对称轴:其中正确命题的
序号为()
B.①③
D.①②③
9.已知椭圆G:x2+2=1(a>D的左、右焦点分別为F,F,点M在椭圆C上,且∠FMF2=120°
oM|=2(O为原点),则椭圆C的离心率是()
√6
D
√0
10.已知正项数列{an}满足ma2+an-n=0,则下列说法错误的是()
2020
4043
C.a2022>
D.a2"4"44">2022
非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)
11.已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线的离心率为
2.+九世纪德国数学家狄利克雷(Dieh提是出了“狄利克雷函数”Dx)=x为有理数
0,x为无理数
“狄利克雷函数”在现代数学的发展过程中有着重要意义。根据“狄利克雷函数”求得
D(D02+D)+D5+D3)
2/4
13.已知x>0.y>0满足3=5=135°,则x
14.已知
(1-x)
a.+ar+a
a|+a2|+a+…+al=
(用数字回答)
15.已知△ABC的顶点A与平面直角坐标系中的原点重合,AC边与x轴的非负半轴重合,AB
边所在的直线经过点(-223),且sinB-O= cos Bsin C,则角A=:tmnC
16.一枚质地均匀的小正四面体,其中两个面标有数字1,一个面标有数字2,另一个面标有数
字3.现将此正四面体任意抛掷2次,落于水平的桌面记两次底面的数字之和为X,数字之差
的绝对值为F,记5=X+Y,则P5=4
E(5)=
17.已知空间向量abc满足acbc=1,b=2=1,若√2sl≤√3,则ab的取值范围是
三、解答題:本大題有5小題,共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
18.(本题满分14分)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,sinA+ asin B=23
(1)求角A
(Ⅱ)若a≤b, asin A+ cinc=6sinB,求△ABC的面积
19.(本题满分15分)
如图,已知三棱锥B-ACD,等腰直角三角形△BC的斜边是AC,且BA=BC=2,CD=√5
AD=3,M是DA上的点,且DM=-MA
(1)求证:BM⊥AC
(Ⅱ)若BM=√6,求直线BD与平面ABC所成角的正弦值2021 年“山水联盟”12 月联考
数学学科参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A B A C D C B
二．填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.
5
11.
2
12.1 13. log3 5； 1 14.10；2036
2 11 3 5 35
15. ； ] 16. ； 17. 1 2,1+ 2 3 4 16 8
三．解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.（1）∵asin B = bsin A ∴ sin A+bsin A = 2 3
3
∴ sin A = （4 分）
2
2
∴ A = 或 A = （6 分）
3 3
（2） ∵a b ∴ A = （8 分）
3
∵ a2 + c2 = 6b =18，a2 = b2 + c2 2bccos A = 9+ c2 3c
∴18 c2 = 9+ c2 3c 即 2c2 3c 9 = 0 （10 分）
3
∴ c = 3或c = （舍去） （12 分）
2
1 9
∴ S = bcsin A = 3 （14 分）
2 4
19.（1）证明：在 ACD中, CD = 5，AD = 3，AC = 2 2 ,
1
M是DA上的点，且DM = MA，
2
在 ACD中，由余弦定理求得 CAD = 450 . （2 分）
所以CM = 2 .取 AC 中点为 O，分别连接MO,BO .
在 ABC中BO ⊥ AC , (4 分)
在 CAM 中CM = AM ,所以MO ⊥ AC ，（6 分）
MO BO =O , AC ⊥平面BOM BM 平面BOM . BM ⊥ AC 得证。（7 分）
（2）以 O 点为坐标原点，分别以OM ,OA所在直线为 x, y轴建立空间直角坐标系，
A(0，2，0) ( 3 2 2，C 0， 2，0),M ( 2，0，0), D ， ，0 ， （9 分）
2 2
2 6
在 BOM 中， ,则 BOM =1200OB =OM = 2，BM = 6 ,∴B ，0， （11 分）
2 2
1 / 4
2 6
∴ BD = (2 2， ， )
2 2
2 6
又 AC = (0， 2 2，0), AB = ( ， 2， )
2 2
设面 ABC 的法向量为 n = (x, y, z)
2 2y = 0 AC n = 0
所以 2 6
AB n = 0 x 2y + z = 0
2 2
令 x = 3 ， y = 0 ， z =1 所以n = ( 3，0，1) . （13 分）
BD n 3 15
设直线 BD 与平面 ABC 所成角为 ，则 sin = cos BD,n = = ,
BD n 20
3 15
即直线 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . （15 分）
20
20.（1） a2 =5，a3 =7（2 分）
an +an 1
∵ = 2n(n 2) ，∴ (2n 1)an = (2n +1)aa a n 1
，
n n 1
an 2n +1
则 = (n 2) （4 分）
an 1 2n 1
a a
a = n n 1
an 2 a a a
∴ n
3 3 2 a1
an 1 an 2 an 3 a2 a2 a1
2n +1 2n 1 2n 3 7 5
= 3=2n +（1 n 2) ，（6 分）
2n 1 2n 3 2n 5 5 3
且 a1=3，则 an an 1 = 2(n 2) 恒成立,
∴数列 an 是首项为 3，公差为 2 的等差数列. （7 分）
2n +1
（2）∵b 2 b =b +n+1bn bn = an，∴ n+1 n ， bn
2 2 （2n +1）
2
∴ bn+1 =bn + +（2 2n +1）2 bn
2 （2n +1）
2
∴ bn+1 —b
2
n = +（2 2n +1） （2 2n +1）
b 2
（10 分）
n
∴b 2—b 22 1 2 3
b 2 23 —b2 2 5
b 2 24 —b3 2 7
b 2 2n —bn 1 2(2n 1)
将上面 n 1个式子累加有b 2 2n —b1 （2 n
2 1)，（13 分）
∴b 2 2n （2 n +1) (n +1)
2
∴ bn n +1
n(n + 3)
∴b1 + b2 + b3 + bn 2+ 3+ 4+ + (n +1) = （15 分）
2
（用数学归纳法证明类比给分）
2 / 4
2 p
21.（1）解：由抛物线定义得： + = 2，得 p=2,所以抛物线方程为 y2 = 4x. （４分）
p 2
（2）解：设直线 AB 的方程为 x=my+1，代入 y2 = 4x得： y2 4my 4 = 0 ，
设 A(t2 ,2t),B(x1, y1),c(x2 , y2)，
2 1 2
则 2ty = 4 ， y = ，∴点 B 的坐标为 ，-1 1 2 ， （7 分） t t t
4 4
又直线 AC 过点 D（2,0），同理可得 C 的坐标为 ( , )
t2
,
t
4 2
则直线 BC 的斜率 k= = t ，
y 1 + y 2 3
2 2 1
∴直线 BC 的方程为 y + = t(x )
t 3 t2
，
2 2
令 y=0 得： x = ，∴直线 BC 与 x 轴的交点为 E ( ,0)2 2 ，（10 分） t t
1 4 4 4
又 B ( , ) ( , )
t2
,C ，则 B 为 CE 的中点，
t t2 t
1 1 2 4 3 2
∴ S = S = (2 + )(2t + ) = t + + ABC ACE
2 4 t2 t t t3
， （12 分）
3 2 x4 3x2 6 3+ 33
令 f(x)= x + + ,则 f (x) =3 ，令 f (x) = 0 得， x = ， x x x4 2
3+ 33
且 x (0, ) 时。 f (x)<0，f(x)递减，
2
3+ 33
x ( ,+ )时， f (x)>0，f(x)递增，
2
3+ 33
∴ x = 时，f(x)取得最小值，
2
3 + 33
即三角形 ABC 面积最小时，点 A 的坐标为( , 6 + 2 33) （15 分）
2
xex e
22. （1） f (x) = ex e(ln x +1) ， ∴ f (x) = （2 分）
x
∴ f (x)在 (0,1) (1,+ ) （4 分）
1 ln x +1
（2）（i）由 f (x) = 0，则ex = a ln a(ln x +1)，即 = = m(x)x （6 分） a ln a e
1
ln x 1
∴m (x) = x
ex
1
设 n(x) = ln x 1在 (0,+ ) ， n(1) = 0
x
∴m(x)在 (0,1) (1,+ ) ， （8 分）
1 1 1 1
且m(1) = ，m( ) = 0 ∴0 ，
e e a ln a e
即 a ln a e，即a e； （10 分）
3 / 4
x 1
（ii）记 v(x) = x ln x 1 v (x) = v(x)在 (0,1) (1,+ )
x
v(x) v(1) = 0 ∴ x ln x+1
记u(x) = ex (x2 + (e 2)x +1) u(0) = 0
u (x) = ex 2x (e 2) u (x) = ex 2 u (x)在 (0, ln 2) (ln 2,+ )
u (0) = 3 e 0,u (ln 2) = 4 2ln 2 e 0
x0 (0, ln 2)使得u (x0) = 0 u (1) = 0
u(x) 在 (0, x0) (x ,1) (1,+ ) u(0) = 0 u(1) = 00
∴u(x) 0 ∴ex x2 + (e 2)x+1 （13 分）
1
ln x +1 x h(x) =
∴ = h(x) h(x)x 2 ， 1 ， (0,1) (1,+ ) e x + (e 2)x +1 x + + e 2
x
1 x 1
且 h(1) = = m(1)，令 =
e x
2 + (e 2)x +1 a ln a
记方程 x2 + (e 2 a ln a)x+1两根为 x3, x4 且 x3 x4
则 x2 x1 x4 x3 = (e 2 a ln a)
2 4 = (e a ln a)(e a ln a 4) （15 分）
4 / 4
