山东省临沂市沂水、河东、平邑、费县四县区联考2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

临沂市沂水、河东、平邑、费县四县区联考2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．倾斜角为120°且在y轴上的截距为2的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知圆与圆，则圆与的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
3．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体中，，，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．已知点，，若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
7．过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．在下列四个命题中，错误的是（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
10．圆（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
11．以下命题正确的是（ ）
A．若是平面的一个法向量，直线b上有不同的两点A，B，则的充要条件是
B．已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面
C．已知，，若与垂直，则
D．已知的顶点坐标分别为，，，则AC边上的高BD的长为
12．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是
B．卫星在左半椭圆弧上的运行时间大于其在右半椭圆弧上的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M的方程为______．
14．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为______．
15．如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点，则点N到直线AB的距离为______；点到平面ABN的距离为______．
16．已知，是椭圆的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知直线．
（1）若直线与直线垂直，且过点，求直线的方程．
（2）若直线与直线平行，求直线与l的距离；
18．（12分）已知圆．
（1）求m的取值范围；
（2）已知点在圆M上，若圆N过点，且与圆M相切于点A，求圆N的标准方程．
19．（12分）如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，．
（1）求线段的长；
（2）求异面直线与所成角的大小．
20．（12分）如图，点，分别是椭圆的左、右焦点，点A是椭圆C上一点，且满足轴，，直线与椭圆C相交于另一点B．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若的周长为，M为椭圆C上任意一点，求的取值范围．
21．（12分）如图，在棱长均为4的四棱柱中，平面ABCD，，E为线段AD的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点F，使得平面？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知两圆，，动圆M在圆内部且和圆内切，和圆外切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程C；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹方程C恒有两个交点M、N，且满足？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
数学试题参考答案及评分标准
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 2．D 3．C 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．ACD 10．AC 11．BD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15．4 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：（1）已知直线的斜率为，
因为直线与直线垂直，则直线的斜率是，
故直线为，即．
（2）因为直线与直线平行，
则有，所以直线，直线，
根据两条平行直线间的距离公式可得．
18．解：（1）将
变形为，由，
得或，所以m的取值范围是．
（2）将点代入圆，
可得，所以圆M的方程为，
化为标准方程可得．
设圆N的标准方程为，圆心为，
直线AM的方程为，即，
把代入得，
又，解得，，
所以，
故圆N的标准方程为．
19．解：（1）设，，，
则，，，，
，
∵，
∴
，
∴线段的长为．
（2）∵，，
∴，
∴，
所以异面直线与所成的角为90°．
20．解：（1）在中，∵，
∴，，
由椭圆的定义，，
，∴椭圆离心率；
（2）的周长
，则，
∵，∴，，
∴椭圆C的标准方程为．
可得，设，，
，，
∵，∴，
当时，的最大值为；
当时，的最小值为，
所以，的取值范围是．
21．解：（1）连结AC，与BD交于点O，
连结，，交于点，连结，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
由题意可得四边形ABCD为菱形，所以OA，OB，两两垂直，
以O为坐标原点，OA，OB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
又，∴，，
可得，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，则，，所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（2）假设在线段上存在点F，使得平面，
设，因为，，，
所以，
，，
所以，
因为平面，所以，即，
所以，即，
解得，所以在线段上存在点F，
使得平面，此时点F为线段的靠近点C的三等分点．
22．解：（1）设圆M的半径为R，
则，
所以M的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，，
所以，，，
故动圆圆心M的轨迹方程C为．
（2）假设存在圆心在原点的圆，
使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M、N，
设，，
当切线斜率存在时，设该圆的切线的方程为，
由方程组得，，
则，
即，
∴，，
；
∵，∴；故；
即；
所以，，
所以且，
∴，解得或；
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，
所以圆的半径为，；
故；
即所求圆的方程为；
此时圆的切线都满足或；
而当切线的斜率不存在时切线方程为与椭圆的两个交点为，；
满足，
综上所述，存在圆心在原点的圆满足条件．