2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．
1．若复数z满足 ·i＝2+i，其中i为虚数单位，则z＝
A．1+2i B．1－2i C．－1+2i D．－1－2i
2．记A＝{x|log2(x－1)<2}，A∩N＝B，则B的元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知cosθ＝ ，则sin(2θ＋)＝
A．－ B． C． D．－
4．设a，b为非零向量，则“存在负数λ，使得a=λb”是“a·b<0”的
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A与学生B要安排在同一地点，则不同的安排方案共有
A．72种 B．36种 C．24种 D．12种
6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%—45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：时）之间的函数关系为P=P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤
A．6小时 B．3小时 C．1.5小时 D．小时
7．设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是椭圆E准线上一点，∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆E的离心率为
A． B． C． D．
8．已知a＝sin，b＝，c＝则
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
在这次射击中，下列说法正确的是
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
10．已知函数f(x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，当x[1，＋∞)时，f(x)＝x3，则
A．f(0)＝0 B．对任意的正实数a，都有f (a＋)≥f (4)
C．f (1＋x)为偶函数 D．不等式f (x+1)11．在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA＝PB，则
A．点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8 B．△PAB面积最大时PA＝2
C．∠PAB最大时，PA=2 D．P到直线AC距离最小值为
12．在底面棱长为2侧棱长为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，点E为AC1的中点，=λ(0≤λ≤1),则以下结论正确的是
A．当λ＝时，=+ － B．当λ＝时，AB1//平面A1C1D
C．存在λ使得DE⊥平面A1B1C D．四面体E－ABC外接球的半径为
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．
13．已知(x＋ay)3的展开式中含x2y项的系数为6．则实数a的值为 ▲ ．
14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC的边OA,OC 所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为4，则a＝ ▲ ．
15．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式an＝ ▲ ．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(tanA＋tanB)＝＋，则＝ ▲ ；c＝4，D为AB的中点且CD＝ ，则△ABC的面积为 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t(t＞0)倍，得到y＝g(x)的图象．若为函数y＝g(x)的一个零点，求t的最大值．
18．（本题满分12分）
我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
该农作物亩产量（kg） 900 1200
概率 0.5 0.5
该农作物市场价格（元/kg） 30 40
概率 0.4 0.6
（1）设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；
（2）若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．
19.（本题满分12分）
在①6Sn＝an2＋3an－4；②an＝2an-1－3n＋5;两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}前n项和为Sn，满足a2＝2b2－1．a3＝b3＋2，_______.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和.
20．（本题满分12分）
如图，在四棱锥中P－ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）点M在线段PD上，二面角M－AC－D的余弦值为，求三棱锥M－ACB体积．
21．(本小题满分12分)
已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．
（1）若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；
（2）在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足＝ 若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex+a+bsinx－1的图象在原点处的切线方程为y=2x．
(1)求函数y＝f(x)的解析式．
(2)证明：f(x)≥2x．2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题
高三数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．
1．若复数z满足·i＝2＋i，其中i为虚数单位，则z＝
A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i
【答案】A
【考点】复数的运算
【解析】由题意可知，＝＝＝1－2i，所以z＝1＋2i，故答案选A．
2．记A＝{x|log2(x－1)＜2}，A∩N＝B，则B的元素个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【考点】集合的运算及应用
【解析】由题意可知，A＝{x|1＜x＜5}，因为A∩N＝B，所以B＝{2，3，4}，即B的元素个数为3，故答案选B．
3．已知cosθ＝ ，则sin(2θ＋)＝
A．－ B． C． D．－
【答案】A
【考点】三角恒等变换
【解析】由题意可知，sin(2θ＋)＝cos2θ＝2cos2θ－1＝2×()2－1＝－，故答案选A．
4．设a，b为非零向量，则“存在负数λ，使得a＝λb”是“a·b<0”的
A．充分必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【考点】条件的判断、平面向量的数量积与共线的应用
【解析】由题意可知，存在负数λ，使得a＝λb，则a·b＝λb2＜0，而a·b<0时，推不出存在负数λ，使得a＝λb，故“存在负数λ，使得a＝λb”是“a·b<0”的充分而不必要条件，故答案选C．
5．将3名教师，3名学生分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和1名学生组成，若教师A与学生B要安排在同一地点，则不同的安排方案共有
A．72种 B．36种 C．24种 D．12种
【答案】D
【考点】排列组合问题
【解析】由题意可知，教师A与学生B要安排在同一地点，则剩下的4人：2名教师，2名学生，可组成种，再与教师A与学生B这一组全排列，所以共有种，故答案选D．
6．国务院新闻办公室8月12日发表《全面建成小康社会：中国人权事业发展的光辉篇章》白皮书指出：2020年，全国万元国内生产总值二氧化碳排放较2005年下降48.4%，提前完成比2005年下降40%—45%的碳排放目标.某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P=P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量).该工厂某次过滤废气时，若前3个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤
A．6小时 B．3小时 C．1.5小时 D．小时
【答案】B
【考点】新情景问题下的指对数运算
【解析】由题意可知，(1－90%)P0＝P0e－3k，则k＝－ln0.1，又1%P0＝P0e－kt，则t＝－ln0.01＝＝6，所以至少还需要过滤6－3＝3小时，故答案选B．
7．设F1、F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是椭圆E准线上一点，∠F1MF2的最大值为60°，则椭圆E的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】圆锥曲线种椭圆的几何性质应用：求离心率
【解析】由题意可设直线MF1，MF2的倾斜角分别为α，β，由椭圆的对称性不妨设M为第一象限的点，即M(，t)(t＞0)，则tanα＝，tanβ＝，因为∠F1MF2＝β－α，所以tan∠F1MF2＝tan(β－α)＝＝＝＝≤＝＝＝＝tan60°＝，所以c4＝3(a4－c4)，则＝，解得e＝＝，故答案选A．
8．已知a＝sin，b＝，c＝，则
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【答案】D
【考点】比较大小
【解析】由题意可知，b＝＞＝c，即b＞c，又∈(0，)，且当x∈(0，)时，sinx＜x，所以sin＜，即a＜b，又因为a＝sin≈sin≈sin20°≈0.34，而c＝≈0.31，所以c＜a，即c＜a＜b，故答案选D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
在这次射击中，下列说法正确的是
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定 D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
【答案】AC
【考点】统计种极差、众数、中位数、方差的应用
【解析】由题意可知，对于选项A，甲成绩的极差为10－4＝6，乙成绩的极差为9－5＝4，所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，故选项A正确；对于选项B，甲成绩的众数为7，乙成绩的众数为7，所以选项B错误；对于选项C，甲成绩的平均数为7，方差为3.7，成绩的平均数为7，方差为1.2，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项C正确；对于选项D，甲成绩的中位数为7，乙成绩的中位数为7，故选项D错误；综上，答案选AC．
10．已知函数f(x)满足f (1－x)＝f (1＋x)，当x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x3，则
A．f(0)＝0 B．对任意的正实数a，都有f (a＋)≥f (4)
C．f(1＋x)为偶函数 D．不等式f (x＋1)＜f (3)的解集为(－1，3)
【答案】BC
【考点】函数的性质综合应用
【解析】由题意可知，对于选项A，因为f (1－x)＝f (1＋x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，则f(0)＝f(2)＝8，故选项A错误；对于选项B，因为x∈[1，＋∞)时，函数f(x)＝x3单调递增，且a＋≥4，所以f (a＋)≥f (4) 对任意的正实数a恒成立，故选项B正确；对于选项C，由函数f(x)关于直线x＝1对称，可得f(x＋1)关于直线x＝0对称，即f(1＋x)为偶函数，故选项C正确；对于选项D，因为f(x)在[1，＋∞)上单调递增且f(x)关于直线x＝1对称，所以由f (x＋1)＜f (3)可得|x＋1|＜3，解得x∈(－4，2)，故选项D错误；综上，答案选BC．
11．在平面直角坐标系中，三点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足PA＝PB，则
A．点P的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝8 B．△PAB面积最大时PA＝2
C．∠PAB最大时，PA＝2 D．P到直线AC距离最小值为
【答案】ABD
【考点】轨迹方程、直线与圆的位置关系应用
【解析】由题意可设P(x，y)，由PA＝PB，可得PA2＝2PB2，即(x＋1)2＋y2＝2[(x－1)2＋y2]，化简可得(x－3)2＋y2＝8，故选项A正确；对于选项B，|AB|＝2，且点P到直线AB的距离的最大值为圆(x－3)2＋y2＝8的半径r，即为2，所有△PAB面积最大为×2×2＝2，此时P(3，2)，所以PA＝＝2，故选项B正确；对于选项C，∠PAB最大时，为过点A作圆(x－3)2＋y2＝8的切点，求得切点不为(3，±2)，则PA≠2，故选项C错误；对于选项D，直线AC的方程为7x－y＋7＝0，则圆心(3，0)到直线AC的距离为＝，所以点P到直线AC距离最小值为－2＝，故选项D正确；综上，答案选ABD．
12．在底面棱长为2侧棱长为2的正三棱柱ABC－A1B1C1中，点E为AC1的中点，＝λ(0≤λ≤1),则以下结论正确的是
A．当λ＝时，＝＋－ B．当λ＝时，AB1//平面A1C1D
C．存在λ使得DE⊥平面A1B1C D．四面体E－ABC外接球的半径为
【答案】AD
【考点】立体几何中几何体的综合应用：空间向量的应用、位置关系判断、几何体的外接球
【解析】由题意可知，对于选项A，当λ＝时，＝＋＝－＋＋＝＋－，故选项A正确；对于选项B，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，有AC∥A1C1，又AC平面A1C1D，A1C1平面A1C1D，则AC∥平面A1C1D，若AB1//平面A1C1D，则平面AB1C//平面A1C1D，则与题意矛盾，故选项B错误；对于选项C，因为点D在线段BC运动，所以∠DEC的最大值为∠BEC，而∠BEC＜90°，所有不存在点D使得DE⊥平面A1B1C，故选项C错误；对于选项D，设△ABC的外接圆圆心为O1，其半径为r，四面体E－ABC外接球球心为O，其半径为R，则2r＝＝，解得r＝，设OO1＝h，则可得到R2＝h2＋r2，且R2＝(－h)2＋()2，解得R＝，故选项D正确；综上，答案选AD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知(x＋ay)3的展开式中含x2y项的系数为6．则实数a的值为 ▲ ．
【答案】2
【考点】二项式定理展开式的应用
【解析】由题意可知，(x＋ay)3的展开式通项为Tr＋1＝x(ay)r＝arxyr，令3－r＝2，解得r＝1，所以展开式中含x2y项的系数为a＝6，解得a＝2．
14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为4，则a＝ ▲ ．
【答案】4
【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质综合应用
【解析】由题意可知，正方形OABC的边OA，OC在双曲线的渐近线上，所以＝1，又正方形OABC的边长为4，所以OB＝＝4，即c＝4，所以a＝b＝4．
15．若一个等差数列{an}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项且小于第三项，写出一个满足条件的数列的通项公式an＝ ▲ ．
【答案】2n＋1或3n－1(形如kn－(k－2)(k为不小于3的正整数))答案不唯一
【考点】开放性试题：等差数列的性质应用
【解析】由题意可知，等差数列{an}中，a2＜a1d＜a3，即a1＋d＜a1d＜a1＋2d，因为a1＞0，所以可取a1＝3，d＝2，满足不等式，则an＝2n＋1．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，3(tanA＋tanB)＝＋，则＝ ▲ ；c＝4，D为AB的中点且CD＝，则△ABC的面积为 ▲ ．
【答案】3；4
【考点】双空题：解三角形综合应用
【解析】由题意可知，因为3(tanA＋tanB)＝＋，所以3(＋)＝＋，则3(sinAcosB＋cosAsinB)＝sinA＋sinB，即3sin(A＋B)＝sinA＋sinB＝3sinC，则由正弦定理可得，a＋b＝3c，所以＝3；在△ABC中，·＝2－()2＝()2－(×4)2＝29，且·＝bacosC，所以abcosC＝29，所以由余弦定理可知a2＋b2－c2＝a2＋b2－16＝58，即(a＋b)2－2ab＝74，又a＋b＝3c＝3×4＝12，所以ab＝35，则cosC＝，所以sinC＝，则△ABC的面积为absinC＝×35×＝4．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17.(本题满分10分)
已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的t(t＞0)倍，得到y＝g(x)的图象．若为函数y＝g(x)的一个零点，求t的最大值．
【考点】三角函数的图象与性质应用
【解析】
(1)由图象知，A＝2．
又，ω＞0，所以T＝2π＝，得ω＝1． ……………2分
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点(，2)代入，得，
即φ＝＋，又－＜φ＜，所以φ＝． ……………4分
所以f(x)＝2sin(x＋)． ……………5分
(2)， ……………7分
所以＋＝kπ，k∈Z．
所以，k∈Z． ……………9分
故时k＝1，t的最大值为． ……………10分
18．(本题满分12分)
我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹．某农户计划于2021年初开始种植新型农作物．根据前期各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表：
该农作物亩产量(kg) 900 1200
概率 0.5 0.5
该农作物市场价格(元/kg) 30 40
概率 0.4 0.6
(1)设2021年该农户种植该农作物一亩的收入为X元，求X的分布列；
(2)若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，
求这三年中该农户种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率．
【考点】随机变量的分布列与实际应用
【解析】
(1)由题意知：
X的所有可能取值为：27000，36000，48000， ………………1分
设A表示事件“作物亩产量为900kg”，则P(A)＝0.5，
B表示事件“作物市场价格为30元/kg”，则P(B)＝0.4，
则P(X＝27000)＝0.5×0.4＝0.2，
P(X＝36000)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5，
P(X＝48000)＝0.5×0.6＝0.3， ………………5分
∴X的分布列为：
X 27000 36000 48000
P 0.2 0.5 0.3
………………6分
(2)设C表示事件“种植该农作物一亩一年的收人不少于30000元”，
则P(C)＝P(X≥30000)＝P(X＝36000)＋P(X＝48000)＝0.8，………………8分
设这三年中有Y年有收入不少于30000元，则有Y~B(3，0.8)，…………10分
∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少两年收入超过30000元的概率为：
P(Y≥2)＝0.896． ………………12分
19．(本题满分12分)
在①6Sn＝an2＋3an－4；②an＝2an－1－3n＋5；两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项等差数列{an}和等比数列{bn}，数列{an}前n项和为Sn，满足a2＝2b2－1．a3＝b3＋2，_______.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A，B，将A∪B的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前70项和.
【考点】等差数列与等比数列的通项公式、新数列求和
【解析】
(1)选①，令n＝1，则6S1＝a12＋3a1－4，
所以a1＝4(负值舍去)． ………………1分
令n＝2，则6S2＝a22＋3a2－4，
则a2＝7(负值舍去)． ………………2分
所以． ………………3分
又a2＝2b2－1，a3＝b3＋2，所以b2＝4，b3＝8，
所以． ………………6分
选②，令n＝2，则；设数列是公差为d的等差数列，
所以． ………………1分
令n＝2，则a3＝2a2－4；，
则d＝3，a1＝4． ………………2分
所以． ………………3分
又a2＝2b2－1，a3＝b3＋2，所以b2＝4，b3＝8，
所以． ………………6分
(2)当的前70项中含有的前6项时，令3n＋1＜27＝128，解得n＜，
此时至多有41＋7＝48项(不符)．
当的前70项中含有的前7项时，3n＋1＜28＝256，解得n＜85．………9分
且22，24，26是和的公共项，则的前70项中含有的前7项且含有前66项，再减去公共的三项，
∴． ……………………12分
20．(本题满分12分)
如图，在四棱锥中P－ABCD，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝2，BC＝4，PA＝2．
(1)求证：AB⊥PC；
(2)点M在线段PD上，二面角M－AC－D的余弦值为，求三棱锥M－ACB体积．
【考点】立体几何中的位置关系证明、利用二面角求几何体的体积
【解析】
(1)证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD＝CD＝2，BC＝4，
，
∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，………………………………2分
∵PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴PA⊥AB，
又PA∩AC＝A，∴AB⊥平面PAC， ………………………………4分
又PC面PAC，∴AB⊥PC． ………………………………6分
(2)过点M作MN⊥AD于N，则MN//PA，
∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC．
过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，
∴∠MGN是二面角M－AC－D的平面角． ………………………………8分
若cos∠MGN＝，则NG＝MN，又AN＝NG＝MN，
设MN＝x，则AN＝x，ND＝2－x，
∵△MND是等腰直角三角形，解得x＝2－x，
∴MN＝1， ……………………………10分
在三棱锥M－ABC中，VM－ABC＝S△ABCMN＝××4×2×1＝．………12分
(2)另解：过点A作AE⊥BC于E，以A点为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立平面直角坐标系，
取平面DAC的法向量＝(0，0，2)． …………………………8分
设M(0，a，2－a)(0＜a≤2)，＝(0，a，2－a)，＝(2，2，0)，
设平面CAM的法向量为n＝(x，y，z)，
由·n＝0，·n＝0，得，可取n＝(a－2，2－a，－a)，
所以cos<，n>＝，得a＝1． ………………………10分
故VM－ABC＝S△ABCa＝××4×2×1＝． ………………………12分
21．(本题满分12分)
已知抛物线C：y2＝4x，点M(a，0) (a＞0)，直线l过点M且与抛物线C相交于A，B两点．
(1)若a＝2，直线l的斜率为2，求AB的长；
(2)在x轴上是否存在异于点M的点N，对任意的直线l，都满足＝ 若存在，指出点N的位置并证明，若不存在请说明理由．
【考点】圆锥曲线中抛物线的几何性质应用、直线与抛物线的位置关系应用
【解析】
(1)直线l：y＝2x－4，
由得或． …………2分
所以A(4，4)，B(1，2)，故AB＝． …………4分
(2)存在x轴上的点N(－a，0)满足题意，证明如下： …………5分
设直线l：x＝my＋a，
由得．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4a． …………7分
kAN＋kBN＝＋＝＝
＝＝＝0． …………10分
所以 kAN＋kBN＝0，可知AN，BN的倾斜角互补，所以∠ANM＝∠AMN．
所以NM为△ABN的角平分线，
由正弦定理：＝，＝ ，
两式相除得＝ ，
综上，存在x轴上的点N(－a，0)满足题意． …………12分
22．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝ex+a+bsinx－1的图象在原点处的切线方程为y＝2x．
(1)求函数y＝f(x)的解析式．
(2)证明：f(x)≥2x．
【考点】函数与导数：函数的切线方程应用、证明不等式
【解析】
(1)已知函数f(x)＝ex+a+bsinx－1的图象在原点处的切线方程为y＝2x，
则f′(0)＝2，f(0)＝0， …………2分
解得a＝0，b＝1，则． …………4分
(2)证明：要证f(x)≥2x，即证≥0，
令，则g(0)＝0， …………5分
g′(x)＝，g′(0)＝0，令h(x)＝，则h(0)＝0，h′(x)＝ex－sinx，
当x＞0时，h′(x)＝ex－sinx＞0，则h(x)在(0，＋∞)上是增函数，h(x)＞h(0)＝0，即g′(x)＞0．
则g(x)在(0，＋∞)上是增函数，则g(x)＞g(0)＝0． …………7分
当－π＜x＜0时，，
所以h′(x)＞0，h(x)在(－π，0)上的增函数，h(x)＜h(0)＝0．
即g′(x)＜0，函数g(x)在区间(－π，0)单调递减，在区间(－π，0)上，
则g(x)＞g(0)＝0． …………10分
又当x≤－π时，．
综上所述g(x)≥0，即f(x)≥2x． …………12分
