理科数学参考答案
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D B A D C C B D C C A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 48 15. 16. ①②
三、解答题：共70分.第17～21题是必考题，第22、23题是选考题，考生根据情况作答.
（一）必考题：每小题12分，共60分.
17. 解：（1），·······························2分
，··························4分
因为回归方程为，所以有，······················································5分
解得；·································································6分
由（1）得，，····························································7分
再由，··············································9分
解得···························································11分
所以预测该景点旅游收入2024年首次超过1.6亿元.···························12分
18. 解：（1）设的公差为，，·······································1分
因为，，成等比数列，，可得，·······2分
，·······························································3分
，
，··································································4分
又，
解得，，·························································5分
．·····························································6分
（2）················· ·········8分
····················10分
．·················································12分
19.（1）证明：取的中点，连接、，···········（有图示）·········1分
、分别为、的中点，则且，···················2分
由已知条件可得且，且，·················3分
故四边形为平行四边形，所以，，······························4分
平面，平面，因此，平面；···················6分
（2）因为底面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，···································7分
为等边三角形，，不妨设，
则、、、，，，·8分
设平面的法向量为，
由，得，令，得，，，········9分
易知平面，平面的一个法向量为，··················10分
，··········································11分
二面角的正弦值为 ·····································12分
20. （1）由题设知：由左 右焦点分别为，，上顶点为B，且，
∴△和△均为等腰直角三角形，且，
∴，即C的标准方程为.····································4分
由（1）知：，，直线的斜率不为0，
可设直线为······················································5分
∴代入椭圆方程整理得：，若，
∴则，························6分
∴，·········7分
而到直线的距离，············································8分
故，·····································9分
又△的内切圆的周长为，若内切圆半径为r，则，而△的周长为，·······················································10分
∴，即，解得，····················11分
∴直线的方程为.·············································12分
21.解：（1）因为，
所以，······························1分
因为在上单调递增
所以在上恒成立··············································2分
所以在上恒成立，
所以在在上恒成立，·······································3分
设
所以在上递减，··················································4分
所以
所以····························································5分
（2）令，·
则，································6分
所以在上递增，················································7分
当时，，当 时， ，··················8分
所以存在 ，有 ，即，·则在上递减，在上递增，·······················································10分
所，
所以··········· ···························12分
（二）选考题：共10分.考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. （1）由消去参数t，得，即，
所以曲线的普通方程为.······································2分
由，得，即，
所以曲线的直角坐标方程为·································5分
（2）将代入，整理得，···········7分
则，令方程的两个根为
由韦达定理，，·····················································9分
所以·····················································10分
23. （1）当时，．··································1分
当时，，解得，此时；················2分
当时，，解得，此时；··············3分
当时，，解得，此时．·················4分
因此，当时，不等式的解集为；····························5分
（2）当时，可化为，················6分
所以，或，································7分
即存在，使得或．
，因为，所以，则，····8分
，因为，所以，所以，··9分
因此，实数的取值范围为．······························10分汉中市四校联考2022届高三11月考试
数学（理）试题（卷）
本试卷共23小题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知命题：，，命题：，．下面结论正确的是（ ）
A．命题“”是真命题 B．命题“”是假命题
C．命题“”是假命题 D．命题“”是真命题
4．已知是上的奇函数，且，当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．在正方体中，是棱AB上的点，且，G，F分别是棱，BC的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕．为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好．现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，每天一人，甲两天，乙三天，丙和丁各一天，则不同的安排方法有（ ）
A．840种 B．140种 C．420种 D．210种
7．将函数图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）.
A． B． C． D．
8．2021年中国人民银行计划发行个贵金属纪念币品种，以满足广大收藏爱好者的需要，其中牛年生肖币是收藏者的首选．为了测算如图所示的直径为的圆形生肖币中牛形图案的面积，进行如下实验，即向该圆形生肖币内随机投掷个点，若恰有个点落在牛形图案上，据此可估算牛形图案的面积是（ ）
B． C． D．
9．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，为左支上一点，，，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．的单调递减区间为 B．的极小值点为1
C．的极大值为 D．的最小值为
11．英国数学家约翰 康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
12. 设，若函数的值域是，则函数的零点的个数是（ ）
A.2 B. 1或2 C. 1 D. 0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线的焦点为，第一象限的点在上，且，则的坐标是___．
14．若向量，，则___________.
15．在中，若，，，则______.
16．现有编号为①、②、③的三个三棱锥（底面水
平放置）,俯视图分别为图1、图2、图3,则至少存
在一个侧面与此底面互相垂直的三棱锥的所有编号
是___
解答题：共70分. 解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第17～21题是必考题，每个考生都必须作答. 第22、23题是选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. （本小题满分12分）某旅游景点努力打造一流旅游区，吸引更多的游客前来观光旅游，据统计，该景点2013年到2019年游客人数与对应年份代号的数据如下：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号 1 2 3 4 5 6 7
游客人数(单位：万人) 29 33 36 48 52 59
（1）若关于具有较强的线性相关关系，且回归方程为，且，求；
（2）若每位游客平均为景区带来200元收入，根据（1）中结论，预测该景点旅游收入首次超过16000万元的年份.
18．（本小题满分12分）已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）若是等边三角形，求二面角的正弦值.
20.（本小题满分12分） 已知椭圆的左 右焦点分别为，，上顶点为B，且.
（1）求C的标准方程；
（2）过点的直线交C于M，N两点，若△的内切圆的周长为，求直线的方程.
21. （本小题满分12分）已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若,证明：
（二）选考题：共10分. 考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程：
（2）已知，曲线与曲线相交于A，B两点，求.
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
2022届高三11月考试 数学（理） 第 页 共4页
