2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.6直线和圆的位置关系 解答题专题提升训练（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.6直线和圆的位置关系 解答题专题提升训练（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 693.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-03 15:18:50 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.6直线和圆的位置关系》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC＝30°，且∠ECF＝∠E．
（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
4．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．
10．如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝4，BC＝8，求DF的长．
11．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的长．
12．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA＝∠AED．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点
（1）连接AD，求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD＝BF．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AB＝12，BC＝6，求⊙O的面积．
15．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB＝∠AEC，AE与BC交于F．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当⊙O的半径是5，BF＝2，EF＝时，求CE及BH的长．
16．如图，AC＝BC，∠C＝90°，点E在AC上，点F在BC上，且CE＝CF．连接AF和BE上，⊙O经过点B、F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝BC＝12，CE＝CF＝5，求⊙O半径的长．
17．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；
（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP＝1：2，PF＝3，求AF的长．
19．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
20．（1）如图1，AB是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若AB不是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（3）图1中，满足（1）的条件，点B、C、D在一直线上，当BD＝5，CD＝4时，求AD的长．
参考答案
1．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴＝＝，即＝＝，
∴CE＝4，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．
2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC＝30°，且∠ECF＝∠E．
（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE＝90°，
∴∠E＝30°；
∵∠E＝∠ECF，
∴∠ECF＝30°，
∴∠ECF+∠OCB＝90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF＝180°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF为⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝ABcos30°＝2，BC＝ABsin30°＝2；
∵AC＝CE，
∴BE＝BC+CE＝2+2，在Rt△EMB中，∠E＝30°，∠BME＝90°，
∴MB＝BEsin30°＝1+，
∴MO＝MB﹣OB＝．
∴AM＝2﹣＝3﹣
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
∴r＝3，
∵tan∠E＝＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝6，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．
4．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、
理由如下：连接OD，如图1，
∵∠AOD＝2∠ACD＝2×45°＝90°，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）连接OC，如图2
∵点F是CD的中点，
∴AB⊥CD，CF＝DF，
∵∠COF＝2∠CAB＝60°，
∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，
∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，
∵AF∥AD，F点为CD的中点，
∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，
∴DE＝2AF＝3，
∴△CDE的面积＝×3×＝．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
解：（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠EBM．
∴∠OMB＝∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO＝∠AEB．
在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB＝90°．
∴∠AMO＝90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝BC，∠ABC＝∠C．
∵BC＝6，cosC＝，
∴BE＝3，cos∠ABC＝．
在△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝12．
设⊙O的半径为r，则AO＝12﹣r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴＝．
∴＝．
解得：r＝2.4
∴⊙O的半径为2.4．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+2）2＝（2）2+R2，
解得：R＝2，
即⊙O的半径是2．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接DE，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠CBD，
∴△ADE∽△BCD，
∴＝，
∵AD：AO＝10：7，BC＝2，
∴＝，
解得：BD＝2.8．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．
解：（1）AB是⊙O的切线，理由是：
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEF＝90°，
∵∠FDP＝∠CEP，∠CAE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠FDP＝∠CAE+∠CEF＝90°，
∴AB⊥CD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠FDP＝∠CEP，∠DPF＝∠EPC，
∴△DPF∽△EPC，
∴＝，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠ACB＝180°，
∴DE∥AC，
∴△DPE∽△CPA，
∴，
∴＝，
设PF＝x，则PC＝2x，
∴＝，
x＝，
∴CP＝2x＝．
10．如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝4，BC＝8，求DF的长．
解：（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵DF∥AO，
∴∠ODF＝∠AOD，∠OFD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
在△ACO和△ADO中
∴△ACO≌△ADO，
∴∠ADO＝∠ACO，
∵∠ACO＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∵OD为半径，
∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径是R，
∵BC＝8，
∴BO＝8﹣R，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即R2+42＝（8﹣R）2，
解得：R＝3，
即OD＝3，BO＝8﹣3＝5，
过D作DM⊥OB于M，
则S△ODB＝×OD×BD＝，
3×4＝5×DM，
解得：DM＝2.4，
在Rt△DMO中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.8，
∴MF＝3﹣1.8＝1.2，
在Rt△DMF中，由勾股定理得：DF＝＝＝1.2．
11．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的长．
解：（1）DF与⊙O相切．
连接OD．
∵AC＝BC，OB＝OD，
∴∠B＝∠A，∠B＝∠1．
∴∠A＝∠1．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°．
∴∠ODF＝∠AFD＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切．
（2）过O作OG⊥EC交EC于点G．
∵∠ODF＝∠AFD＝90°，
∴四边形OGFD是矩形．
∴DF＝OG，FG＝OD＝AC＝BC＝．
连接OE，
∵OG⊥EC，OC＝OE
∴CG＝EG＝FG﹣EF＝﹣1＝．
∴DF＝OG＝＝＝2．
12．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA＝∠AED．
证明：（1）CD是⊙O的切线，
连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC⊥CD，即∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
∴OD⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠B＝∠AED，
∴∠AED+∠BAD＝90°，
∵∠CDA+∠CAD＝90°，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠AED．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点
（1）连接AD，求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明．
（1）证明：如图1，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AO＝BO，BD＝DC，
∴DO是△BAC的中位线，
∴DO∥AC，
∴DO⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD＝BF．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AB＝12，BC＝6，求⊙O的面积．
解：（1）AC与⊙O相切．
连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED．
∵BD＝BF，
∴∠ODE＝∠F．
∴∠OED＝∠F．
∴OE∥BF．
∴∠AEO＝∠ACB＝90°．
∴OE⊥AC．
∵点E为⊙O上一点，
∴AC与⊙O相切．
（2）由（1）知∠AEO＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC．
∴＝．
设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝4，
∴⊙O的面积为π×42＝16π．
15．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB＝∠AEC，AE与BC交于F．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当⊙O的半径是5，BF＝2，EF＝时，求CE及BH的长．
解：（1）BD是⊙O的切线；理由如下：
∵∠AEC与∠ABC都对，
∴∠AEC＝∠ABC，
∵∠ODB＝∠AEC，
∴∠ABC＝∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝∠C，∠ABF＝∠CEF，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝，即，
解得：CE＝；
连接BE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AF＝AE﹣EF＝﹣＝，
∴＝，
解得：CF＝，
∴BC＝BF+CF＝，
∵OE⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝．
16．如图，AC＝BC，∠C＝90°，点E在AC上，点F在BC上，且CE＝CF．连接AF和BE上，⊙O经过点B、F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝BC＝12，CE＝CF＝5，求⊙O半径的长．
证明：（1）连接OF，如图，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A＝∠B，
而∠A+∠AFC＝90°，
∴∠B+∠AFC＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠B＝∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线；
（2）作OM⊥BC于点M．
则OM∥AC，BM＝BF＝（BC﹣CF）＝（12﹣5）＝．
在直角△BCE中，BE＝＝＝13，
∵OM∥AC，
∴△OBM∽△EBC，
∴＝，即＝，
解得：OB＝．
则⊙O半径的长是．
17．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；
（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．
解：（1）直线BD和⊙O相切．
证明：∵∠AEC＝∠ODB，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB＝90°，
∴∠DBC+∠ABC＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴直线BD和⊙O相切；
（2）∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BF＝CF＝4，
在Rt△CEF中，EF＝＝3，
设圆O的半径为r，则OF＝r﹣3，
在Rt△OBF中，OB2＝OF2+BF2，即r2＝（r﹣3）2+42，
解得，r＝，即圆O的半径为．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP＝1：2，PF＝3，求AF的长．
解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠ACE＝180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF，
∵∠DFC＝90°，
∴∠FCD+∠CDF＝90°，
∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
解法二：，∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵弧CF＝弧CF，
∴∠CEA＝∠CDF，
又∵∠CAE＝∠ADF，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
即CD⊥AB，
∴AB是圆O切线
（2）∵∠CPF＝∠CPA，∠PCF＝∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴＝，
∴PC2＝PF PA，设PC＝a．则PA＝2a，
∴a2＝3×2a，
∴a＝6，
∴PA＝2a＝12，
则AF＝12﹣3＝9．
19．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
20．（1）如图1，AB是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若AB不是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（3）图1中，满足（1）的条件，点B、C、D在一直线上，当BD＝5，CD＝4时，求AD的长．
解：（1）直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即：∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠DAC＝∠ABD，
∴∠BAD+∠DAC＝90°．
∴直线AC与⊙O相切；
（2）作直径AP，连接PD，
∴∠B＝∠P，
∵AP是⊙O的直径，
∴∠ADP＝90°，即：∠PAD+∠APD＝90°
∵∠DAC＝∠ABD＝∠P，
∴∠PAD+∠DAC＝90°．
∴直线AC与⊙O相切；
（3）如图1中，∵△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝6，
∵AC是切线，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝3，
∵AD：AB＝AC：BC，
∴AD：3＝6：9，
∴AD＝2．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC＝30°，且∠ECF＝∠E．
（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
4．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．
10．如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝4，BC＝8，求DF的长．
11．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的长．
12．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA＝∠AED．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点
（1）连接AD，求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD＝BF．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AB＝12，BC＝6，求⊙O的面积．
15．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB＝∠AEC，AE与BC交于F．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当⊙O的半径是5，BF＝2，EF＝时，求CE及BH的长．
16．如图，AC＝BC，∠C＝90°，点E在AC上，点F在BC上，且CE＝CF．连接AF和BE上，⊙O经过点B、F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝BC＝12，CE＝CF＝5，求⊙O半径的长．
17．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；
（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP＝1：2，PF＝3，求AF的长．
19．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
20．（1）如图1，AB是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若AB不是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（3）图1中，满足（1）的条件，点B、C、D在一直线上，当BD＝5，CD＝4时，求AD的长．
参考答案
1．如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．
（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ECF＝2∠A，CM＝6，CF＝4，求MF的长．
解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
∵GD⊥AO于点D，
∴∠G+∠GBD＝90°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵M点为GE的中点，
∴MC＝MG＝ME，
∴∠G＝∠1，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠2，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥CM，
∴CM为⊙O的切线；
（2）∵∠1+∠3+∠4＝90°，∠5+∠3+∠4＝90°，
∴∠1＝∠5，
而∠1＝∠G，∠5＝∠A，
∴∠G＝∠A，
∵∠4＝2∠A，
∴∠4＝2∠G，
而∠EMC＝∠G+∠1＝2∠G，
∴∠EMC＝∠4，
而∠FEC＝∠CEM，
∴△EFC∽△ECM，
∴＝＝，即＝＝，
∴CE＝4，EF＝，
∴MF＝ME﹣EF＝6﹣＝．
2．如图，AB是⊙O的直径，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，若∠BAC＝30°，且∠ECF＝∠E．
（1）试判断CF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）设⊙O的半径为2，且AC＝CE，求AM的长．
（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE＝90°，
∴∠E＝30°；
∵∠E＝∠ECF，
∴∠ECF＝30°，
∴∠ECF+∠OCB＝90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF＝180°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF为⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝ABcos30°＝2，BC＝ABsin30°＝2；
∵AC＝CE，
∴BE＝BC+CE＝2+2，在Rt△EMB中，∠E＝30°，∠BME＝90°，
∴MB＝BEsin30°＝1+，
∴MO＝MB﹣OB＝．
∴AM＝2﹣＝3﹣
3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，DE＝8，求AC的长．
（1）证明：连接OC．
∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，
∴△OCB≌△OCD，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r．
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（8﹣r）2＝r2+42，
∴r＝3，
∵tan∠E＝＝，
∴＝，
∴CD＝BC＝6，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝6．
4．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB＝30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（Ⅰ）如图1，当∠ACD＝45°时，请你判断DE与⊙O的位置关系并加以证明；
（Ⅱ）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．
解：（Ⅰ）DE与⊙O相切．、
理由如下：连接OD，如图1，
∵∠AOD＝2∠ACD＝2×45°＝90°，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（Ⅱ）连接OC，如图2
∵点F是CD的中点，
∴AB⊥CD，CF＝DF，
∵∠COF＝2∠CAB＝60°，
∴OF＝OC＝，CF＝OF＝，
∴CD＝2CF＝，AF＝OA+OF＝，
∵AF∥AD，F点为CD的中点，
∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，
∴DE＝2AF＝3，
∴△CDE的面积＝×3×＝．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）判断AE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BC＝6，AC＝4CE时，求⊙O的半径．
解：（1）AE与⊙O相切．
理由如下：
连接OM，则OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM．
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM＝∠EBM．
∴∠OMB＝∠EBM．
∴OM∥BC．
∴∠AMO＝∠AEB．
在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴AE⊥BC．
∴∠AEB＝90°．
∴∠AMO＝90°．
∴OM⊥AE．
∴AE与⊙O相切；
（2）在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，
∴BE＝BC，∠ABC＝∠C．
∵BC＝6，cosC＝，
∴BE＝3，cos∠ABC＝．
在△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝12．
设⊙O的半径为r，则AO＝12﹣r．
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE．
∴＝．
∴＝．
解得：r＝2.4
∴⊙O的半径为2.4．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝2，BF＝2，求⊙O的半径．
解：（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴线BC与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径为R，
则OD＝OF＝R，
在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，
即（R+2）2＝（2）2+R2，
解得：R＝2，
即⊙O的半径是2．
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且∠CBD＝∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO＝10：7，BC＝2，求BD的长．
（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，
证明：连接OD，
∵∠C＝90°，
∴∠CBD+∠CDB＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠A＝∠CBD，
∴∠ADO+∠CDB＝90°，
∴∠ODB＝180°﹣90°＝90°，
即OD⊥BD，
∴直线BD与⊙O的位置关系是相切；
（2）解：连接DE，
∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠CBD，
∴△ADE∽△BCD，
∴＝，
∵AD：AO＝10：7，BC＝2，
∴＝，
解得：BD＝2.8．
8．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．
解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接DO并延长到圆上一点N，交BC于点F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，
∴∠BAD＝∠DAC，
∴＝，
∴DF⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO＝90°，
∴DE与⊙O相切；
（2）连接AO并延长到圆上一点M，连接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB＝∠E＝60°，
∴∠M＝60°，
∵⊙O的半径为5，
∴AM＝10，
∴BM＝5，则AB＝＝5．
9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若PF：PC＝1：2，AF＝5，求CP的长．
解：（1）AB是⊙O的切线，理由是：
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEF＝90°，
∵∠FDP＝∠CEP，∠CAE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠FDP＝∠CAE+∠CEF＝90°，
∴AB⊥CD，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵∠FDP＝∠CEP，∠DPF＝∠EPC，
∴△DPF∽△EPC，
∴＝，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠ACB＝180°，
∴DE∥AC，
∴△DPE∽△CPA，
∴，
∴＝，
设PF＝x，则PC＝2x，
∴＝，
x＝，
∴CP＝2x＝．
10．如图，O是Rt△ABC的直角边BC上的点，以O为圆心，OC长为半径的圆的⊙O过斜边上点D，交BC于点F，DF∥AO．
（1）判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝4，BC＝8，求DF的长．
解：（1）直线AD与⊙O的位置关系是相切，
理由是：连接OD，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵DF∥AO，
∴∠ODF＝∠AOD，∠OFD＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
在△ACO和△ADO中
∴△ACO≌△ADO，
∴∠ADO＝∠ACO，
∵∠ACO＝90°，
∴∠ADO＝90°，
∵OD为半径，
∴直线AD与⊙O的位置关系是相切；
（2）设⊙O的半径是R，
∵BC＝8，
∴BO＝8﹣R，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2＝OB2，
即R2+42＝（8﹣R）2，
解得：R＝3，
即OD＝3，BO＝8﹣3＝5，
过D作DM⊥OB于M，
则S△ODB＝×OD×BD＝，
3×4＝5×DM，
解得：DM＝2.4，
在Rt△DMO中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.8，
∴MF＝3﹣1.8＝1.2，
在Rt△DMF中，由勾股定理得：DF＝＝＝1.2．
11．如图，△ABC为等腰三角形，AC＝BC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC＝9，EF＝1，求DF的长．
解：（1）DF与⊙O相切．
连接OD．
∵AC＝BC，OB＝OD，
∴∠B＝∠A，∠B＝∠1．
∴∠A＝∠1．
∴OD∥AC．
∵DF⊥AC，
∴∠AFD＝90°．
∴∠ODF＝∠AFD＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴DF与⊙O相切．
（2）过O作OG⊥EC交EC于点G．
∵∠ODF＝∠AFD＝90°，
∴四边形OGFD是矩形．
∴DF＝OG，FG＝OD＝AC＝BC＝．
连接OE，
∵OG⊥EC，OC＝OE
∴CG＝EG＝FG﹣EF＝﹣1＝．
∴DF＝OG＝＝＝2．
12．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AD平分∠CAB，AC⊥CD，垂足为C．
（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：∠CDA＝∠AED．
证明：（1）CD是⊙O的切线，
连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∵AC⊥CD，即∠CAD+∠CDA＝90°，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
∴OD⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠B＝∠AED，
∴∠AED+∠BAD＝90°，
∵∠CDA+∠CAD＝90°，∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠AED．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点
（1）连接AD，求证：AB是⊙O的直径；
（2）判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明．
（1）证明：如图1，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB是⊙O的直径；
（2）证明：如图2，连接OD，
∵AO＝BO，BD＝DC，
∴DO是△BAC的中位线，
∴DO∥AC，
∴DO⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O，⊙O与AC的公共点为E，连接DE并延长交BC的延长线于点F，BD＝BF．
（1）试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AB＝12，BC＝6，求⊙O的面积．
解：（1）AC与⊙O相切．
连接OE，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED．
∵BD＝BF，
∴∠ODE＝∠F．
∴∠OED＝∠F．
∴OE∥BF．
∴∠AEO＝∠ACB＝90°．
∴OE⊥AC．
∵点E为⊙O上一点，
∴AC与⊙O相切．
（2）由（1）知∠AEO＝∠ACB，
又∵∠A＝∠A，
∴△AOE∽△ABC．
∴＝．
设⊙O的半径为r，则＝，解得r＝4，
∴⊙O的面积为π×42＝16π．
15．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，过点O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延长线上取一点D，使∠ODB＝∠AEC，AE与BC交于F．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当⊙O的半径是5，BF＝2，EF＝时，求CE及BH的长．
解：（1）BD是⊙O的切线；理由如下：
∵∠AEC与∠ABC都对，
∴∠AEC＝∠ABC，
∵∠ODB＝∠AEC，
∴∠ABC＝∠ODB，
在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝∠C，∠ABF＝∠CEF，
∴△CEF∽△ABF，
∴＝，即，
解得：CE＝；
连接BE，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴BE＝＝，
∴AE＝＝，
∴AF＝AE﹣EF＝﹣＝，
∴＝，
解得：CF＝，
∴BC＝BF+CF＝，
∵OE⊥BC，
∴BH＝CH＝BC＝．
16．如图，AC＝BC，∠C＝90°，点E在AC上，点F在BC上，且CE＝CF．连接AF和BE上，⊙O经过点B、F．
（1）判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝BC＝12，CE＝CF＝5，求⊙O半径的长．
证明：（1）连接OF，如图，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS）；
∵△ACF≌△BCE，
∴∠A＝∠B，
而∠A+∠AFC＝90°，
∴∠B+∠AFC＝90°，
∵OB＝OF，
∴∠B＝∠OFB，
∴∠OFB+∠AFC＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OF⊥AF，
∴AF是⊙O的切线；
（2）作OM⊥BC于点M．
则OM∥AC，BM＝BF＝（BC﹣CF）＝（12﹣5）＝．
在直角△BCE中，BE＝＝＝13，
∵OM∥AC，
∴△OBM∽△EBC，
∴＝，即＝，
解得：OB＝．
则⊙O半径的长是．
17．如图所示，AB是圆O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC＝∠ODB．
（1）判断直线BD和圆O的位置关系，并给出证明；
（2）当CE＝5，BC＝8时，求圆O的半径．
解：（1）直线BD和⊙O相切．
证明：∵∠AEC＝∠ODB，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB＝90°，
∴∠DBC+∠ABC＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴直线BD和⊙O相切；
（2）∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BF＝CF＝4，
在Rt△CEF中，EF＝＝3，
设圆O的半径为r，则OF＝r﹣3，
在Rt△OBF中，OB2＝OF2+BF2，即r2＝（r﹣3）2+42，
解得，r＝，即圆O的半径为．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC：AP＝1：2，PF＝3，求AF的长．
解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC+∠ACE＝180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF，
∵∠DFC＝90°，
∴∠FCD+∠CDF＝90°，
∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
解法二：，∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵弧CF＝弧CF，
∴∠CEA＝∠CDF，
又∵∠CAE＝∠ADF，
∴∠CDF+∠ADF＝90°，
即CD⊥AB，
∴AB是圆O切线
（2）∵∠CPF＝∠CPA，∠PCF＝∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴＝，
∴PC2＝PF PA，设PC＝a．则PA＝2a，
∴a2＝3×2a，
∴a＝6，
∴PA＝2a＝12，
则AF＝12﹣3＝9．
19．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．
（1）求AC、AD的长；
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：（1）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°'，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠DAB＝∠DCB＝45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∵AB＝10，
∴AD＝BD＝＝5，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴AC＝＝5，
答：AC＝5，AD＝5；
（2）直线PC与⊙O相切，理由是：
连接OC，
在Rt△ACB中，AB＝10，BC＝5，
∴∠BAC＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠OCD＝45°﹣30°＝15°，
∴∠CEP＝∠COB+∠OCD＝15°+60°＝75°，
∵PC＝PE，
∴∠PCE＝∠CEP＝75°，
∴∠OCP＝∠OCD+∠ECP＝15°+75°＝90°，
∴直线PC与⊙O相切．
20．（1）如图1，AB是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（2）如图2，若AB不是⊙O的直径，且∠DAC＝∠ABD，试判断直线AC与⊙O的位置关系，请说明理由；
（3）图1中，满足（1）的条件，点B、C、D在一直线上，当BD＝5，CD＝4时，求AD的长．
解：（1）直线AC与⊙O相切，
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即：∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠DAC＝∠ABD，
∴∠BAD+∠DAC＝90°．
∴直线AC与⊙O相切；
（2）作直径AP，连接PD，
∴∠B＝∠P，
∵AP是⊙O的直径，
∴∠ADP＝90°，即：∠PAD+∠APD＝90°
∵∠DAC＝∠ABD＝∠P，
∴∠PAD+∠DAC＝90°．
∴直线AC与⊙O相切；
（3）如图1中，∵△CAD∽△CBA，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝6，
∵AC是切线，
∴∠BAC＝90°，
∴AB＝＝＝3，
∵AD：AB＝AC：BC，
∴AD：3＝6：9，
∴AD＝2．