2021-2022学年北师大版数学八年级上册第4章一次函数——动点问题专训(word版含答案)

北师大版数学八年级上期
第4章一次函数——动点问题专训1
如图，A（1，0），B（4，0），M（5，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度向右移动，且经过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．
（1）当t=1时，求l的解析式；
（2）若l与线段BM有公共点，确定t的取值范围．
如图，直线与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为，是直线在第一象限内一个动点．
求的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；
当的面积为10时，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，过点B（0，6）的直线AB与直线OC相交于点C（2，4），和轴交于点A，点P是AB上的动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当△OPB的面积是△OBC的面积的时，求出这时点P的坐标；
（3）点Q是直线OC上的动点，连接PQ，是否存在点P，使∠PQO=90°，且PQ=OQ？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点
A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，求出这时点M的坐标．
如图，已知O为原点，点A（8，0）及在第一象限的动点B（x，y），且满足y=12-x，设△OBA的面积为S．
（1）求S关于x的函数解析式；
（2）求x的取值范围；
（3）当S＝12时，求B点坐标；
（4）在图中画出函数S的图象.（单位长度为12）
如图，直线y=kx+6与x轴、y轴分别相交于点E、F，点E的坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
（1）求K的值；
（2）在点P的运动过程中，写出△OPA的面积S与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究，当点P运动到什么位置（求P的坐标）时，△OPA的面积是？
如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A(-6，0)，B(0，3)两点，在y轴上有一点N(0，6)，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）求△MON的面积S与点M的移动时间t之间的函数表达式；
（3）当△NOM≌△AOB时，求t的值与点M的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线：相交于点．
（1）求直线的函数解析式．
（2）过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为点，，当点位于点的上方时，求的取值范围．
如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点，且OB=OC，点A（x,y）是直线y=kx-1上一动点．
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）在第一象限内，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式．
（3）当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是．
如图，点B(x，y)是直线y＝-x+8在第一象限的一个动点，点A的坐标为(6，0)，设三角形AOB的面积为S．
（1）写出S与x之间的函数表达式，指出该函数的类型，并求出x的取值范围．
（2）画出S与x之间的函数关系的图象．
（3）三角形AOB的面积能等于30吗？为什么？
如图，直线AB：与直线CD：交于点E：
（1）求E点坐标；
（2）在轴上找一点F使得FB+FE最小，求OF的长；
（3）若为直线上一动点，当△AEP面积为6时，求P的坐标.
如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线OA相交于点A（4，2）．
（1）直线OA的解析式为______；
直线AB的解析式为______（直接写出答案，不必写过程）．
（2）求△OAC的面积．
（3）一动点M沿路线O→A→C运动，当S△OCM=3时，求点M的坐标．
如图1，已知直线AC的解析式为y＝﹣x+b，直线BC的解析式为y＝kx﹣2（k≠0），且△BOC的面积为6．
（1）求k和b的值；
（2）如图2，将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，点D在y轴上，若点M为x轴上的一个动点，点N为直线AD上的一个动点，当DM+MN+NB的值最小时，求此时点M的坐标及DM+MN+NB的最小值.
如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交X轴于点B（3，0），平行于y轴的直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x＝2上一动点，且在点D的上方，设P（2，n）．
（1）求直线AB的表达式和点A的坐标；
（2）求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
（3）当时，以PB为直角边在第一象限作等腰直角三角形BPC，直接写出点C的坐标．
如图，已知一次函数y＝－x＋4与两坐标轴分别交于A、B两点，动点P从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿x轴正方向运动，连接AP．设运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PAB的面积为6？
（2）若t＜4，请在所给的图中画出△PAB中AP边上的高BQ，问：当t为何值时，BQ长为4？并直接写出此时Q的坐标．
如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（﹣8，0），点A的坐标为（﹣6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究:当P运动到什么位置时,的面积面, 并说明理由.
参考答案
1.解：（1）直线y=-x+b交x轴于点P（1+t，0），
由题意，得b＞0，t≥0，．
当t=1时，-2+b=0，解得b=2，
故y=-x+2．
（2）当直线y=-x+b过点B（4，0）时，
0=-4+b，
解得：b=4，
0=-（1+t）+4，
解得t=3．
当直线y=-x+b过点M（5，3）时，
3=-5+b，
解得：b=8，
0=-（1+t）+8，
解得t=7．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：3≤t≤7．
2.解，
，
，．
当时，则，解得，
当时，，
当的面积为10时，点P的坐标为
3.解：（1）∵点B的坐标为（0，6），∴设直线AB的解析式为，
∵点C（2，4）在直线AB上，∴，∴，∴直线AB的解析式为；
（2）由（1）知，直线AB的解析式为，
令，∴，∴，∴A（6，0），∴S△OBC＝OA yC＝12，
∵△OPB的面积是△OBC的面积的，∴S△OPB＝×12＝6，
设P的纵坐标为m，∴S△OPB＝OB ＝3＝6，
∴m＝，∴点P（4，2）或（8，-2）；
（3）（-3，9），（3，）
【解法提示】：设Q点坐标为(m,2m)，
过点Q作QM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥QM于N，易证：△PNQ≌△QMO，则PN=QM=2m，NQ=OM=m;
如图一，可得点P（-m，3m），代入，可得3m=m+6，∴m=3，则P（-3，9）；
如图二，可得点P（3m，m），代入，可得m=-3m+6，∴m=，则P（3，）；

图一 图二
4.解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y=-x+6；
（2）在y=-x+6中，令x=0，解得：y=6，
S△OAC=×6×4=12；
（3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2，
解得：m=，
则直线的解析式是：y=x，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴M的横坐标的绝对值是×4=1，
当M的横坐标是1时：
在y=x中，当x=1时，y=，则M的坐标是（1，）；
在y=-x+6中，x=1则y=5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）；
当M的横坐标是-1时，
在y=-x+6中，当x=-1时，y=7，则M的坐标是（-1，7）.
综上所述，M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（-1，7）.
5.解：（1）∵A（8，0），B（x，y）且B在第一象限，
∴S=×8×y=4y，
∵y=12-x．
∴S=4（12-x）=48-4x，
∴S=-4x+48；
（2）∵点B在第一象限，
∴x＞0，y＞0，
∵y=12-x，
∴12-x＞0，
∴x＜12，
综上：0＜x＜12；
（3）∵S=12，
∴-4x+48=12，
解得：x=9．
∴y=12-9=3，
即B（9，3）；
（4）在S=-4x+48中，
令x=0，则S=48，
令y=0，则-4x+48=0，
解得：x=12，
∵0＜x＜12，
∴函数图象不经过点（12，0）（0，48），
所画图象如图
6.解：（1）点E的坐标为（﹣8，0），且在直线y=kx+6上，
∴﹣8k+6=0，解得，
k=；
（2）点P（x，y）是第二象限内的直线上的一个动点，
∴y=x+6，
∴S=×6×（x+6）=x+18（﹣8＜x＜0）；
（3）由题意得， x+18=，
解得，x=﹣6，则y=×（﹣6）+6=，
∴点P的坐标为（﹣6，）时，△OPA的面积是．
7.解:（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，
将点A、B的坐标代入得:,解得.
因此直线AB的函数表达式为．
（2）分为两种情况讨论：
①当点M位于线段OA上时，即当0≤t≤6时，
OM＝OA-AM＝6-t．
而ON=6,所以.
②当点 M位于点O的右边时，即当t>6时，
OM＝AM-OA＝t-6，所以.
∴
（3）分为两种情况讨论：
①当点M位于线段OA上时,因为OA=ON=6,
要△NOM≌△AOB(SAS),则OM＝OB＝3.
所以AM＝OA-OM＝6-3＝3．
此时t＝3，点M的坐标为(-3，0)．
②当点M位于点O的右边时，因为OA=ON=6,
要△NOM≌△AOB(SAS),则OM＝OB＝3.
所以AM＝OA+OM＝6+3＝9．
此时t＝9，点M的坐标为(3，0)．
∴t＝3，点M的坐标为(-3，0)或t＝9，点M的坐标为(3，0)．
8.解：（1）∵点B在直线l2上，
∴4=2m，
∴m=2，点B（2，4）
设直线l1的表达式为y=kx+b，
由题意，
解得，
∴直线l1的表达式为y=x+3．
（2）由（１）得Ｂ（２，４），如图，
由图象可知：当C位于D上方时，n＜2．
9.解：(1)由题意可知，点C的坐标为（0，-1），
所以OC=1，
因为，
所以OB=，
所以点B的坐标是（，0），
把点B的坐标代入，
得，
所以k=2；
(2)由(1)知，k=2，
所以y=2x-1，
所以S=
=（x＞）；
（3）当S=时，分两种情况：
①当点A在x轴上方时，有x-=，
解得：x=1，
∴y=2x-1=1，
∴A（1，1）；
②当点A在x轴下方时，有-×y=，
解得：y=-1，
∴x==0，
∴A（0，-1）．
故当点A的坐标为（1，1）或（0，-1）时，△AOB的面积为．
10.解：（1）∵点B在直线y=-x+8上，
∴设B（x，-x+8），
∴y=-x+8与x和y轴的交点分别为（8，0）和（0，8），
∵点B在第一象限，
∴其横坐标x的范围是：0＜x＜8；
∵A（6，0），点B（x，-x+8），
∴S=
1
2
×6（-x+8）=-3x+24；
∴S=-3x+24（0＜x＜8）；
（2）取点(0,24),(8,0)，如图:
（3）不能.
∵S=-3x+24，且0＜x＜8，
∴0＜S＜24，
∴△AOB的面积不能等于30．
11.解：（1）由题意：
，
解得：，
所以E（1，2）；
（2）作B关于x轴的对称点B1，连接B1E交x轴于F，
∵y=x+1中，B（0，1）
∴B1（0，-1），
设yBE=kx+b（k≠0），
可得：，
∴，
∴y=3x-1，
当y=0时，x=，
∴OF=；
（3）当P在直线AE下方时：S△APE＝S△ADE+S△ADP＝×3×|2 yP|＝6，
yP=-2，
所以P1（3，-2），
当P在直线AE上方时：
S△APE＝S△APD S△ADE＝
×3×|yP 2|＝6，
yP=6，
所以P2（-1，6），
12.y=x y=-x+6
13.解：（1）直线BC的解析式为y=kx-2，则点C（0，-2），
将点C的坐标代入y=-x+b得：-2=b，
解得：b=-2，
∴直线AC的表达式为：y=-x-2；
∴OC=2，
∴△BOC的面积=OB CO=2×OB=6，
解得：OB=6，
∴点B（6，0），
将点B的坐标代入y=kx-2得：0=6k-2，
解得：k=；
∴k=，b=-2；
（2）将直线AC绕A点逆时针旋转90°得到直线AD，则点D（0，2），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y=x+2；
过点B作点B关于直线AD的对称点B′，连接B′C交AD于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求点，
点C是点D关于x轴的对称点，则MC=MD，而NB=NB′，
故DM+MN+NB=MC+MN+NB′=B′C为最小，
直线AD的倾斜角为45°，BB′⊥AD，则AB=AB′=8，
直线AB′与AD的夹角也为45°，故直线AB′⊥AB，故点B′（-2，8），
由点B′、C的坐标得，直线B′C的表达式为：y=-5x-2，
令y=0，即-5x-2=0，解得：x=-，
故点M（-，0），
DM+MN+NB最小值为B′C==2.
14.解：（1）∵直线AB：y＝kx＋1（k≠0）交y轴于点A，交x轴于点B（3，0），
∴0＝3k＋1，
∴，
∴直线AB的表达式是y=-x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴点A（0，1）.
（2）如图1，过点A作AM⊥PD，垂足为M，
则有AM＝2，
∵x＝2时，，
∴D（2，），
∵P在点D的上方，
∴，
∴；
由点B（3，0），可知点B到直线x＝2的距离为1，即△BDP的边PD上的高长为1，
∴，
∴.
（3）（5，4）或（6，1）．
15.解：（1）当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝8，
∴A(0，4)，B(8，0),
由△PAB的面积为6得，PB＝3，
由题意知OP＝2t，当点P在点B左侧时，PB＝8－2t；
当点P在点B右侧时，PB＝2t－8，
∴t＝或t＝；
（2）∵∠AOP＝∠BQP＝90°，∠APO＝∠BPQ，AO＝BQ，

∴△AOP≌△BQP，
∴AP＝BP，
在Rt△AOP中，
∵，
∴，
解得t＝，
∴当t＝时，BQ长为4，
作QH⊥OB于H，
OP=PQ=3，BQ=4，PB=PA=5，
∴
∴HQ=，PH=，OH=，
∴Q（，－）.
16.解：（1）∵点E（﹣8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=﹣8k+6，
∴k=；
（2）∵k=，
∴直线的解析式为：y=x+6，
∵P点在y=x+6上，设P（x，x+6），
∴△OPA以OA为底的边上的高是|x+6|，
当点P在第二象限时，|x+6|=x+6，
∵点A的坐标为（﹣6，0），
∴OA=6．
∴S==x+18．
∵P点在第二象限，
∴﹣8＜x＜0；
（3）设点P（m，n）时，其面积S=，则，
解得|n|=，
则=或者=﹣，
当n=时， =m+6，则m=﹣，
当n=时， =m+6，则m=﹣11，
故P（﹣，）或时，三角形OPA的面积为.
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