(共22张PPT)
2.3.2确定二次函数解析式
北师大版 九年级下册
复习旧知
利用“顶点式”求二次函数的解析式
利用“顶点式”求二次函数的解析式的一般步骤：
1.设二次函数的表达式：__________________
2.代入已知点的坐标，得到关于二次函数系数的一次方程；
3.解方程；
4.得到二次函数的解析式。
y=a(x-h)2+k
新知讲解
下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
问题1：我们已经知道由两点就可以确定一条直线，那么由几个点的坐标就可以确定二次函数呢？
y = a x2 + b x + c
含有____个待定系数,需要____个抛物线上的点的坐标就能求出其解析式.
3
3
想一想
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法步骤：
设：（表达式）
代：（坐标代入）
解：方程（组）
还原：（写表达式）
典例精析
例1、已经知道一条抛物线的图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点，请你根据所学知识求出这条抛物线的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
解：过设所求二次函数为y=ax2+bx+c
将（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点代入表达式得：
解这个方程组，得
a-b+c=10，
a+b+c=4，
4a+2b+c=7，
a=2，
b=-3，
c=5.
所以，所求二次函数表达式为y=2x2-3x+5.
典例精析
y=2x2-3x+5=2.
所以二次函数的对称轴是，顶点坐标是()
归纳总结
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的步骤
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
一般式法
练一练
已知二次函数的图象经过（0，2），（-1，0），（2，0）
三点，求这个函数的解析式.
解：设二次函数为y=ax2+bx+c，
把（0，2）代入得2=c，∴二次函数为y=ax2+bx+2.
把（-1，0）代入得0=a-b+2，即a-b=-2. ①
把（2，0）代入得0=4a+2b+2，即2a+b=-1. ②
②+①，得a=-1. ∴b=1.
∴这个函数的解析式为y=-x2+x+2.
还有其他的解法吗？
想一想
已知二次函数的图象经过（0，2），（-1，0），（2，0）
三点，求这个函数的解析式.
这个函数经过的三点有什么特点？
(-1,0)，(2,0)是和x轴的两个交点，
所以我们还可以设二次函数为y=
二次函数交点式
想一想
解：设二次函数为y=
将(-1,0)，(2,0)两点代入得：y=
因为函数经过（0，2），所以2=-2a
解得：a=-1
所以二次函数解析式为： y=-
归纳总结
利用“交点式”求二次函数的解析式
利用“交点式”求二次函数的解析式的一般步骤：
1.设二次函数的表达式：__________________
2.代入已知交点的坐标，得到关系式，再代入其他点的坐标，得到二次函数系数的一次方程；
3.解方程；
4.得到二次函数的解析式。
y=a(x-x1)(x-x2)
练一练
已知抛物线经过点（-1，0），（3，0），且函数有最小值-5. 求抛
物线的函数表达式.
解：由题意可知顶点坐标为（1，－5）.
设抛物线的函数表达式为y＝a（x－1）2－5，
∵（－1，0）在抛物线上，∴0＝a（－1－1）2－5. 解得a＝.
∴抛物线的函数表达式为
即
课堂练习
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过（1，－1），（2，－4）和（0，4）三点，那么a，b，c的值分别是（ ）
A.a＝－1，b＝－6，c＝4 B.a＝1，b＝－6，c＝－4
C.a＝－1，b＝－6，c＝－4 D.a＝1，b＝－6，c＝4
2.如图，抛物线与x轴交于点（－1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，－3），则此抛物线对应的函数的表达式为（ ）
A.y＝x2＋2x＋3 B.y＝x2－2x－3
C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2＋2x－3
D
B
课堂练习
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（0，－2），（1，－2），则这个二次函数的表达式为 .
4.如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A，B，C，其中B点坐标为
（4，4），则该抛物线的表达式为 .
y＝x2－x－2
课堂练习
5. 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），求该抛物线对应的函数表达式.
解：由题意得
解得b=2.
代入点坐标（3，0），
则0=-9+6+c. 解得c=3.
所以该抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3.
课堂练习
6.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
课堂练习
7. 已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
解：（1）把A（3，0），B（2，-3），C（0,-3）代入y=ax2+bx+c得，9a+3b+c=0，4a+2b+c=-3，c=-3.解得a=1，b=-2，c=-3.
所以抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.
课堂练习
（2）设D是抛物线上一点，且点D的横坐标为-2，求△AOD的面积.
（2）把x=-2代入y=x2-2x-3，得y=5.
∴点D的坐标为（-2，5）.
∵A（3，0），即OA=3，
∴S△AOD=
作业布置
1.课本习题2.7第1、2题
2.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=1;当x=-1时，y=6；当x=1时，y=0，求这个二次函数的解析式.
课堂小结
用待定系数法求二次函数的解析式
“一般式”法
已知任意三个点的坐标，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c
“顶点式”法
已知任意一个点和顶点的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-h)2+k
“交点式”法
已知任意一个点和抛物线与x轴的两个交点（x1，0）（x2，0）的坐标，设二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2)
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2.5.2确定二次函数解析式教学设计
课题 2.5.2确定二次函数解析式 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.会用待定系数法确定二次函数的表达式。 2.能够根据二次函数的不同表示方式，从不同方面对函数的性质进行研究。
重点 会用待定系数法确定二次函数的表达式。
难点 会求简单的实际问题中的二次函数表达式。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 利用“顶点式”求二次函数的解析式的一般步骤： 1.设二次函数的表达式：__________________ 2.代入已知点的坐标，得到关于二次函数系数的一次方程； 3.解方程； 4.得到二次函数的解析式。 回顾旧知，回答。 利用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式。
讲授新课 问题1：我们已经知道由两点就可以确定一条直线，那么由几个点的坐标就可以确定二次函数呢？ y=ax2+bx+c 含有____个待定系数,需要____个抛物线上的点的坐标就能求出来其解析式. （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分： ①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式. 解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得 解得： ∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3. 典例精析： 例1、已经知道一条抛物线的图象经过（-1,10）,（1,4）,（2,7）三点，请你根据所学知识求出这条抛物线的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标. 总结：一般式法求二次函数表达式的方法 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 想一想 已知二次函数的图象经过（0，2），（-1，0），（2，0）三点，求这个函数的解析式. 这个函数经过的三点有什么特点？ (-1,0)，(2,0)是和x轴的两个交点， 所以我们还可以设二次函数为y= 总结：利用“交点式”求二次函数的解析式 利用“交点式”求二次函数的解析式的一般步骤： 1.设二次函数的表达式：______________ 2.代入已知交点的坐标，得到关系式，再代入其他点的坐标，得到二次函数系数的一次方程； 3.解方程； 4.得到二次函数的解析式。 学生思考后,与同伴交流想法,再参与到小组的讨论中去.组长展示解答过程,师生共同订正. 学生先独立解答,然后同伴相互订正.课件出示解题过程(规范学生的解答步骤). 同学们大胆讨论、交流寻求解决问题的方法，并尝试自己解决。 利用上节课所学的知识进行引入,既复习了旧知,又引出了新知,继而再接触本节课所学知识的解题方法,同时也为下面的例题做好了铺垫. 通过进一步探究,掌握了已知三点坐标确定二次函数表达式的方法,提高了解决问题的能力. 通过对“想一想”的探究,使学生进一步掌握了已知三个点的坐标确定二次函数表达式的步骤和方法,提高了学生一题多解的能力。
课堂练习 1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过（1，－1），（2，－4）和（0，4）三点，那么a，b，c的值分别是（ ） A.a＝－1，b＝－6，c＝4 B.a＝1，b＝－6，c＝－4 C.a＝－1，b＝－6，c＝－4 D.a＝1，b＝－6，c＝4 2.如图，抛物线与x轴交于点（－1，0）和（3，0），与y轴交于点（0，－3），则此抛物线对应的函数的表达式为（ ） A.y＝x2＋2x＋3 B.y＝x2－2x－3 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2＋2x－3 3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点（－1，0），（0，－2），（1，－2），则这个二次函数的表达式为______________ 4.如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A，B，C，其中B点坐标为（4，4），则该抛物线的表达式为______________ 5. 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），求该抛物线对应的函数表达式. 6.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式． 7. 已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）. （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）设D是抛物线上一点，且点D的横坐标为-2，求△AOD的面积. 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §2.5.2确定二次函数解析式例1、 二次函数交点式：学 生 活 动 区
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