2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念能力提升练word版含答案

等差数列的概念能力提升练
题组一 等差数列的通项公式及其应用
1．在数列中，，且对任意大于1的正整数，点，在函数的图象上，则　　
A． B． C． D．
2．已知等差数列首项为，公差为1，，若对任意的正整数都有，则实数的取值范围是　　
A．，， B．
C．，， D．
3．已知数列满足：，，．
（1）证明：数列为等差数列，
（2）并求出数列的通项公式
题组二等差数列的性质及其应用
1．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是　　
A． B． C． D．
2．已知数列是等差数列，若，，则公差　　
A．1 B． C． D．
3．已知各项都为正数的等差数列中，，则的最大值为　　．
4．中，角，，所对的边长分别为，，．若，，成等差数列，则的最小值为　　．
题组三 等差数列的综合应用
1．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷guǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立春”时日影长度为　　
A．分 B．分 C．分 D．分
2．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列．
第1列 第2列 第3列
第1行 1 2 3
第2行 2 4 6
第3行 3 6 9
那么位于表中的第行第列的数是　　
A． B． C． D．
3．已知数列满足，且，若，则正整数　　．
4．已知正项数列满足．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若数列满足，且数列的最大项为，最小项为，求的值．
5．数列中，在，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
6．已知无穷等差数列，首项，公差，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列
（1）求和；
（2）求的通项公式；
（3）中的第110项是中的第几项？
答案解析
题组一
1．【解答】解：在数列中，，且对任意大于1的正整数，点，在函数的图象上，
可得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以．
故选：．
2．【解答】解：等差数列首项为，公差为1，
所以，
所以，
则，
若对任意的正整数都有，
所以，
所以，
解得．
故选：．
3．【解答】解：（1）证明：由，，，
可得数列是首项为，公差为的等差数列，
则，即有；
题组二
1．【解答】解：设等差数列的公差为，
所以，，
又因为数列前六项均为正数，第七项起为负数，
所以，
因为数列是公差为整数的等差数列，
所以．
故选：．
2．【解答】解：由是等差数列，得，解得，
又，解得，
公差．
故选：．
二．填空题（共2小题）
3．【解答】解：依题意，等差数列各项都为正数，
所以，，
所以．
当且仅当时等号成立．
故答案为：9．
4．【解答】解：，，成等差数列，．
则，
，
，，则，
即，．
即．
．
当且仅当时，上式等号成立．
的最小值为．
故答案为：．
题组三
1．【解答】解：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为分，
且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．
，
解得，
“立春”时日影长度为：（分．
故选：．
2．【解答】解：由题意可得：，．
故选：．
二．填空题（共1小题）
3．【解答】解：数列满足，且，整理得（常数），
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
则，
由于，则，
解得，
所以正整数．
故答案为：23．
三．解答题（共3小题）
4．【解答】（1）证明：由，
得，且，
得，．
，
由，解得．
数列是以首项为2，公差为2的等差数列；
（2）解：，
当时，最大，当时，最小，
．
5．【解答】解：（1）由，得，
又，即，数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，
则，可得；
（2）对任意的，恒成立，
即对任意的，恒成立，
对任意的，恒成立，
令，则．
当时，，即．
．
故实数的取值范围是，．
6．【解答】解：（1）由题意，等差数列的通项公式为，
令取出项为，则需满足，
，
．
（2）取出的序号成等差数列，
所对应的项组成的新数列也为等差数列，且首项为，公差为，
．
（3），
当时，
项，
中的第110项是中的第439项