2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2 双曲线方程及其几何性质 综合提升（word版含答案））
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.2 双曲线方程及其几何性质 综合提升（word版含答案）） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 293.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-06 15:51:27 | ||
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文档简介
专题 双曲线
双曲线及其标准方程
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距： 两焦点间 的距离，表示为|F1F2|.
注意： (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
例题1：在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝8，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
变式1：平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
知识点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
例题2：(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
(2) “m＜3”是“方程+＝1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
（Ⅱ）a=2，经过点A（2，﹣5），焦点在y轴上．
（Ⅲ）经过两点（3，0），（﹣6，﹣3）；
变式2：(1)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
(2)命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线＝1表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）求实轴长为2，焦距为4的双曲线的标准方程；
（Ⅱ），经过点（﹣5，2），焦点在x轴上．
（Ⅲ）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为的双曲线的标准方程．
知识点三 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
注意：实轴和虚轴 等长 的双曲线，它的渐近线方程是 y＝±x ，离心率为.
例题3：求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
变式3：求双曲线25y2－144x2＝3600的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
重难点
重点一、双曲线方程问题
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2﹣ny2＝1(mn＞0)．
例题4：求下列双曲线方程
(1)已知双曲线过点（3，﹣2）和点（，1）；
(2)已知双曲线C过点（，-1），且与双曲线＝1有相同的渐近线．
变式4：求满足下列条件的双曲线方程
(1)已知双曲线经过两点A（，）， B（，）；
(2)已知双曲线C过点M（2，2），且与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线．
重点二、双曲线渐近线与离心率问题
例题5：(1)已知曲线C：＝1（a＞0，b＞0）其中一条渐近线与直线l：x+2y＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
(2)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆交双曲线的右支于点P，若∠PF1F2＝30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式5：若点M（4，0）到双曲线C：＝1（b＞0）的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
(2)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
课堂反馈
一．选择题（共5小题）
1．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支
2．“n＞m＞0”是“方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．双曲线C：＝1（m＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．椭圆C1：＝1与双曲线C2：＝1（a＞0，b＞0）的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±x D．y＝x
5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±2x
二．多选题（共4小题）
6．双曲C1：＝1与C2：＝λ（λ＞0且λ≠1）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同 C．离心率相同 D．渐近线相同
7．已知双曲线C：＝1，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为x±y=0
8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为
x﹣2y＝0，则双曲线C的方程可能为（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
9．若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝x，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为＝1 B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2
三．填空题（共5小题）
10．若双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则实数t＝ ．
11．已知双曲线C1：＝1，与C1共渐近线的双曲线C2过（2，4），则C2的方程是 ．
12．已知双曲线＝1的焦点为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，
若|AF1|+|BF1|＝2|AB|，则|AB|等于 ．
13．已知双曲线E：＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线E的焦距等于 ．
14．双曲线＝1的右焦点到渐近线的距离为 ．
四．解答题（共2小题）
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与双曲线＝1有公共焦点，且经过点（4，3）；
（2）焦点为（0，±5），且渐近线方程为y＝±2x．
16．设F1、F2是双曲线＝1的左、右焦点，点P在该双曲线上，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
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日期：2021/12/1 19:56:43；用户：高中数学；邮箱：gzsxx@；学号：29081547
答案解析
例题1：在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝8，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
【解答】解：由于两点间的距离|F1F2|＝10，动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝8＜10，
所以满足条件|PF1|﹣|PF2|＝8的点P的轨迹是双曲线中离F2较近的一支．
故选：D．
变式1：平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
【解答】解：根据双曲线的定义，
|MF1|﹣|MF2|＝±4，
且|F1F2|＝6＞4，
∴点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6．
故选：D．
例题2：(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
(2) “m＜3”是“方程+＝1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当为双曲线时，（m+2）（m﹣3）＜0
∴﹣2＜m＜3，
∵（﹣2，3） （3，+∞）
故选：B．
(3)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
（Ⅱ），经过点A（2，﹣5），焦点在y轴上．
（Ⅲ）经过两点（3，0），（﹣6，﹣3）；
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线的焦点在x轴上，c＝5，b＝3，
∴a2＝c2﹣b2＝16，
∴双曲线方程为：；
（Ⅱ）∵双曲线的焦点在y轴上，
∴可设双曲线的标准方程为，
∵由题设知，，且点A（2，﹣5）在双曲线上，
∴
∴解得a2＝20，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为．
（Ⅲ）根据题意，若双曲线经过点（3，0），
则双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，设其标准方程为﹣＝1；
又由双曲线经过点（﹣6，﹣3），则有4﹣＝1，则b2＝3，
则双曲线的标准方程为﹣＝1；
变式2：(1)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解答】由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
答案 D
(2)命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：3＜m＜5 曲线表示双曲线，
因为曲线表示双曲线，
所以（m﹣3）（5﹣m）＞0，解得3＜m＜5，
∴命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：C．
(3)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）（Ⅰ）求实轴长为2，焦距为4的双曲线的标准方程；
（Ⅱ），经过点（﹣5，2），焦点在x轴上．
（Ⅲ）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为的双曲线的标准方程．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，要求椭圆的实轴长为2，焦距为4，即2a＝2，2c＝4，
则a＝1，c＝2，则b＝＝；
若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为x2-＝1，
若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为y2-＝1，
故要求椭圆的标准方程为x2-＝1或y2-＝1；
（Ⅱ）∵焦点在x轴上，，
∴设所求双曲线方程为：（其中0＜λ＜6）
∵双曲线经过点（﹣5，2），∴
∴λ＝5或λ＝30（舍去）
∴所求双曲线方程是
（Ⅲ）要求双曲线以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为，
则其焦点在x轴上，且c＝3，2a＝2，即a＝，
则b＝＝2，
则要求双曲线的标准方程为．
例题3：求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【解答】把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
变式3：求双曲线25y2－144x2＝3600的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程25y2－144x2＝3600化为标准方程为.
由此可知，实半轴长a＝12，虚半轴长b＝5；
c＝＝＝13，焦点坐标是(0，－13)，(0，13)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝x.
例题4：求下列双曲线方程
(1)已知双曲线过点（3，﹣2）和点；
已知双曲线C过点，且与双曲线＝1有相同的渐近线．
【解答】解：（1）若双曲线焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为：mx2﹣ny2＝1(mn＞0)，
则，解得m，n，
∴双曲线C的标准方程是：．
（2）设与双曲线＝1有相同的渐近线的双曲线C的方程为：﹣＝λ，
由双曲线C过点（2，﹣1）可得：﹣＝λ，解得λ＝，
所以双曲线C的标准方程：﹣＝1；
故答案为：﹣＝1．
变式4：求满足下列条件的双曲线方程
(1)已知双曲线经过两点，；
(2)已知双曲线C过点M（2，2），且与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线．
【解答】(1)解：设双曲线的方程为nx2﹣my2＝1，mn＞0，
把两点，代入，得：，
解得n＝1，m＝，
∴所求的双曲线方程为x2﹣＝1，c＝，
双曲线的焦距为：．
(2)解：设与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线的双曲线方程为与x2﹣4y2＝4λ（λ≠0），
代入点M（2，2），得22﹣4×22＝4λ，即λ＝﹣3．
∴双曲线C的方程为．
故答案为：．
例题5：(1)已知曲线其中一条渐近线与直线l：x+2y＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），
则其渐近线方程为y＝±x，
又由其一条渐近线与直线l：x+2y＝2平行，有＝，即b＝a，
则c＝＝a＝a，
则其离心率e＝＝，
故选：B．
(2)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆交双曲线的右支于点P，若∠PF1F2＝30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设|F1F2|＝2c，
由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点
则△F1F2P是直角三角形，∠F1PF2＝90°，
由∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，
∴|PF1|﹣|PF2|＝c﹣c＝2a，
∴e＝＝＝．
故选：D．
变式5：若点M（4，0）到双曲线C：＝1（b＞0）的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：由双曲线的对称性，M到任意一条渐近线的距离相等，
由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝±x，
即bx±3y＝0，
所以M到渐近线的距离d＝，
所以2＝，b＞0，
可得：b2＝3，
所以双曲线的离心率e＝＝＝＝，
故选：D．
(2)已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B． C． D．
【解答】解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，，由|AF1|+|AF2|＝14，得m+n＝14，
又AF1⊥AF2，所以m2+n2＝102，
解方程组，得m＝8，n＝6或m＝6，n＝8；
所以||AF1|﹣|AF2||＝2＝2a，所以a＝1，
又|F1F2|＝10，所以c＝5，
所以b＝＝2，
双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故选：B．
课堂反馈
一．选择题（共5小题）
1．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支
【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|＝4＝2a
a＝2
而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点
c＝2
而在双曲线中c＞a
所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，
故选：A．
2．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若n＞m＞0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，
若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则n＞0且m＞0，
所以“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”充分不必要条件．
故选：A．
3．双曲线C：＝1（m＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：根据题意，双曲线C：＝1（m＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，
则有，即m＝8，
则双曲线的方程为双曲线：＝1，
其中a＝，b＝2，则c＝，
则双曲线的离心率e＝＝．
故选：D．
4．椭圆C1：＝1与双曲线C2：＝1（a＞0，b＞0）的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B． C． D．
【解答】解：设椭圆的离心率为e1，则e1＝，
双曲线的离心率为e2，
由题意可得e1e2＝＝ ＝1，
可得＝，
由双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，
故选：D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B． C． D．
【解答】解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，，由|AF1|+|AF2|＝14，得m+n＝14，
又AF1⊥AF2，所以m2+n2＝102，
解方程组，得m＝8，n＝6或m＝6，n＝8；
所以||AF1|﹣|AF2||＝2＝2a，所以a＝1，
又|F1F2|＝10，所以c＝5，
所以b＝＝2，
双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故选：B．
二．多选题（共4小题）
6．双曲C1：＝1与C2：＝λ（λ＞0且λ≠1）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同 C．离心率相同 D．渐近线相同
【解答】解：由C2：＝λ得，
C2：，e＝＝＝；渐近线y＝±＝±x＝±x；顶点（±2，0），（0，±）；焦点（±，0）．
双曲线C1：＝1，e＝＝＝；渐近线y＝±＝±x；顶点（±2，0），（0，±1）；焦点（±，0）．
∴离心率相同，渐近线相同．
故选：CD．
7．已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，且b＝1，a＝，c＝2，渐近线方程为y＝±x．
对于A，实轴长是2，虚轴长是2，故错；
对于B，焦距为2c＝4，故正确；
对于C，离心率e＝＝，故错；
对于D，渐近线方程为y＝，即，故正确．
故选：BD．
8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则双曲线C的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线C与椭圆有相同的焦距，可得c＝，
一条渐近线的方程为x﹣2y＝0，
可得a＝2b，又c2＝a2+b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线方程为：﹣y2＝1或y2﹣＝1．
故选：AD．
9．若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
【解答】解：由双曲线是焦点坐标，设双曲线的方程为﹣＝1，
所以渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由题意＝，即b＝a，
再由c2＝a2+b2＝a2+（a）2＝a2＝25，
可得a2＝9，b2＝16，
所以双曲线的方程为﹣＝1，所以A正确，
离心率e＝＝，所以B不正确；
焦点F到渐近线的距离d＝＝b＝4，所以C不正确；
|PF|的最小值为c﹣a＝5﹣3＝2，所以D正确．
故选：AD．
三．填空题（共5小题）
10．若双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则实数t＝ 9 ．
【解答】解：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，
∴7+t＝25﹣9，
∴t＝9
故答案为：9．
11．已知双曲线C1：﹣＝1，与C1共渐近线的双曲线C2过（2，4），则C2的方程是 ﹣＝1 ．
【解答】解：由题意可设与C1共渐近线的双曲线C2的方程为﹣＝λ（λ≠0，λ≠1），
由双曲线C2过（2，4），可得﹣＝λ，
即λ＝﹣1，
所以C2的方程是﹣＝1．
故答案为：﹣＝1．
12．已知双曲线﹣＝1的焦点为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若|AF1|+|BF1|＝2|AB|，则|AB|等于 8 ．
【解答】解：双曲线﹣＝1的a＝2，
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
相加可得|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）＝|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，
又|AF1|+|BF1|＝2|AB|，可得2|AB|﹣|AB|＝4a＝8．
故答案为：8．
13．已知双曲线E：＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线E的焦距等于 4 ．
【解答】解：因为双曲线E：＝1（b＞0），
所以a＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，
所以b＝3，
所以c＝＝＝2，
所以焦距2c＝4，
故答案为：4．
14．双曲线的右焦点到渐近线的距离为 2 ．
【解答】解：在双曲线中，a2＝1，b2＝4，
∴c＝＝，
则双曲线的右焦点坐标为F（，0），一条渐近线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0．
∴双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为d＝＝2．
故答案为：2．
四．解答题（共2小题）
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与双曲线＝1有公共焦点，且经过点（4，3）；
（2）焦点为（0，±5），且渐近线方程为y＝±2x．
【解答】解：（1）由题意设双曲线的方程为：﹣＝1，﹣20＜k＜5，
将（4，3）代入﹣＝1，解得：k＝﹣11，
所以双曲线的方程为：﹣＝1；
（2）由题意设双曲线的方程为：﹣＝1，（a＞0，b＞0），
由题意可得，解得a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的方程为：﹣＝1．
16．设F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在该双曲线上，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
【解答】解：由PF1⊥PF2知，点P在以F1F2为直径的圆x2+y2＝3上，，
所以△PF1F2的面积为．
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1
双曲线及其标准方程
知识点一 双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距： 两焦点间 的距离，表示为|F1F2|.
注意： (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线．
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线．
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
例题1：在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝8，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
变式1：平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
知识点二 双曲线标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
例题2：(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
(2) “m＜3”是“方程+＝1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
（Ⅱ）a=2，经过点A（2，﹣5），焦点在y轴上．
（Ⅲ）经过两点（3，0），（﹣6，﹣3）；
变式2：(1)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
(2)命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线＝1表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）求实轴长为2，焦距为4的双曲线的标准方程；
（Ⅱ），经过点（﹣5，2），焦点在x轴上．
（Ⅲ）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为的双曲线的标准方程．
知识点三 双曲线的性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)
注意：实轴和虚轴 等长 的双曲线，它的渐近线方程是 y＝±x ，离心率为.
例题3：求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
变式3：求双曲线25y2－144x2＝3600的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
重难点
重点一、双曲线方程问题
巧设双曲线方程
(1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝λ(λ≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2﹣ny2＝1(mn＞0)．
例题4：求下列双曲线方程
(1)已知双曲线过点（3，﹣2）和点（，1）；
(2)已知双曲线C过点（，-1），且与双曲线＝1有相同的渐近线．
变式4：求满足下列条件的双曲线方程
(1)已知双曲线经过两点A（，）， B（，）；
(2)已知双曲线C过点M（2，2），且与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线．
重点二、双曲线渐近线与离心率问题
例题5：(1)已知曲线C：＝1（a＞0，b＞0）其中一条渐近线与直线l：x+2y＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
(2)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆交双曲线的右支于点P，若∠PF1F2＝30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式5：若点M（4，0）到双曲线C：＝1（b＞0）的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
(2)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B．y＝x C．y＝x D．y＝x
课堂反馈
一．选择题（共5小题）
1．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支
2．“n＞m＞0”是“方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．双曲线C：＝1（m＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
4．椭圆C1：＝1与双曲线C2：＝1（a＞0，b＞0）的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B．y＝x C．y＝±x D．y＝x
5．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±2x
二．多选题（共4小题）
6．双曲C1：＝1与C2：＝λ（λ＞0且λ≠1）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同 C．离心率相同 D．渐近线相同
7．已知双曲线C：＝1，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为x±y=0
8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为
x﹣2y＝0，则双曲线C的方程可能为（ ）
A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1
9．若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝x，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为＝1 B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2
三．填空题（共5小题）
10．若双曲线＝1的焦点与椭圆＝1的焦点相同，则实数t＝ ．
11．已知双曲线C1：＝1，与C1共渐近线的双曲线C2过（2，4），则C2的方程是 ．
12．已知双曲线＝1的焦点为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，
若|AF1|+|BF1|＝2|AB|，则|AB|等于 ．
13．已知双曲线E：＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线E的焦距等于 ．
14．双曲线＝1的右焦点到渐近线的距离为 ．
四．解答题（共2小题）
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与双曲线＝1有公共焦点，且经过点（4，3）；
（2）焦点为（0，±5），且渐近线方程为y＝±2x．
16．设F1、F2是双曲线＝1的左、右焦点，点P在该双曲线上，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
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答案解析
例题1：在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（﹣5，0），F2（5，0），动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝8，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的左支 D．双曲线的右支
【解答】解：由于两点间的距离|F1F2|＝10，动点P满足|PF1|﹣|PF2|＝8＜10，
所以满足条件|PF1|﹣|PF2|＝8的点P的轨迹是双曲线中离F2较近的一支．
故选：D．
变式1：平面内到两定点F1（﹣3，0）、F2（3，0）的距离之差的绝对值等于4的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．线段 C．两条射线 D．双曲线
【解答】解：根据双曲线的定义，
|MF1|﹣|MF2|＝±4，
且|F1F2|＝6＞4，
∴点M的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，且焦距为6．
故选：D．
例题2：(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且双曲线的焦距为2，则该双曲线的方程为__________．
(2) “m＜3”是“方程+＝1表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当为双曲线时，（m+2）（m﹣3）＜0
∴﹣2＜m＜3，
∵（﹣2，3） （3，+∞）
故选：B．
(3)求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）c＝5，b＝3，焦点在x轴上；
（Ⅱ），经过点A（2，﹣5），焦点在y轴上．
（Ⅲ）经过两点（3，0），（﹣6，﹣3）；
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线的焦点在x轴上，c＝5，b＝3，
∴a2＝c2﹣b2＝16，
∴双曲线方程为：；
（Ⅱ）∵双曲线的焦点在y轴上，
∴可设双曲线的标准方程为，
∵由题设知，，且点A（2，﹣5）在双曲线上，
∴
∴解得a2＝20，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为．
（Ⅲ）根据题意，若双曲线经过点（3，0），
则双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，设其标准方程为﹣＝1；
又由双曲线经过点（﹣6，﹣3），则有4﹣＝1，则b2＝3，
则双曲线的标准方程为﹣＝1；
变式2：(1)设动点P到A(－5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解答】由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．
由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
答案 D
(2)命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：3＜m＜5 曲线表示双曲线，
因为曲线表示双曲线，
所以（m﹣3）（5﹣m）＞0，解得3＜m＜5，
∴命题p：“3＜m＜4”是命题q：“曲线表示双曲线”的充分不必要条件．
故选：C．
(3)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（Ⅰ）（Ⅰ）求实轴长为2，焦距为4的双曲线的标准方程；
（Ⅱ），经过点（﹣5，2），焦点在x轴上．
（Ⅲ）求以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为的双曲线的标准方程．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，要求椭圆的实轴长为2，焦距为4，即2a＝2，2c＝4，
则a＝1，c＝2，则b＝＝；
若要求椭圆的焦点在x轴上，则其标准方程为x2-＝1，
若要求椭圆的焦点在y轴上，则其标准方程为y2-＝1，
故要求椭圆的标准方程为x2-＝1或y2-＝1；
（Ⅱ）∵焦点在x轴上，，
∴设所求双曲线方程为：（其中0＜λ＜6）
∵双曲线经过点（﹣5，2），∴
∴λ＝5或λ＝30（舍去）
∴所求双曲线方程是
（Ⅲ）要求双曲线以A（﹣3，0）为一个焦点，实轴长为，
则其焦点在x轴上，且c＝3，2a＝2，即a＝，
则b＝＝2，
则要求双曲线的标准方程为．
例题3：求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
【解答】把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，
由此可知，实半轴长a＝，
虚半轴长b＝，c＝，
焦点坐标为(，0)，(－，0)，
离心率e＝＝＝，
顶点坐标为(－，0)，(，0)，
所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.
变式3：求双曲线25y2－144x2＝3600的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程25y2－144x2＝3600化为标准方程为.
由此可知，实半轴长a＝12，虚半轴长b＝5；
c＝＝＝13，焦点坐标是(0，－13)，(0，13)；
离心率e＝＝；渐近线方程为y＝x.
例题4：求下列双曲线方程
(1)已知双曲线过点（3，﹣2）和点；
已知双曲线C过点，且与双曲线＝1有相同的渐近线．
【解答】解：（1）若双曲线焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为：mx2﹣ny2＝1(mn＞0)，
则，解得m，n，
∴双曲线C的标准方程是：．
（2）设与双曲线＝1有相同的渐近线的双曲线C的方程为：﹣＝λ，
由双曲线C过点（2，﹣1）可得：﹣＝λ，解得λ＝，
所以双曲线C的标准方程：﹣＝1；
故答案为：﹣＝1．
变式4：求满足下列条件的双曲线方程
(1)已知双曲线经过两点，；
(2)已知双曲线C过点M（2，2），且与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线．
【解答】(1)解：设双曲线的方程为nx2﹣my2＝1，mn＞0，
把两点，代入，得：，
解得n＝1，m＝，
∴所求的双曲线方程为x2﹣＝1，c＝，
双曲线的焦距为：．
(2)解：设与x2﹣4y2＝4有相同的渐近线的双曲线方程为与x2﹣4y2＝4λ（λ≠0），
代入点M（2，2），得22﹣4×22＝4λ，即λ＝﹣3．
∴双曲线C的方程为．
故答案为：．
例题5：(1)已知曲线其中一条渐近线与直线l：x+2y＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为（a＞0，b＞0），
则其渐近线方程为y＝±x，
又由其一条渐近线与直线l：x+2y＝2平行，有＝，即b＝a，
则c＝＝a＝a，
则其离心率e＝＝，
故选：B．
(2)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆交双曲线的右支于点P，若∠PF1F2＝30°，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设|F1F2|＝2c，
由于P是以F1F2为直径的圆与该双曲线的一个交点
则△F1F2P是直角三角形，∠F1PF2＝90°，
由∠PF1F2＝30°，
∴|PF1|＝c，|PF2|＝c，
∴|PF1|﹣|PF2|＝c﹣c＝2a，
∴e＝＝＝．
故选：D．
变式5：若点M（4，0）到双曲线C：＝1（b＞0）的一条渐近线的距离为2，则双曲线C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：由双曲线的对称性，M到任意一条渐近线的距离相等，
由双曲线的方程可得渐近线的方程：y＝±x，
即bx±3y＝0，
所以M到渐近线的距离d＝，
所以2＝，b＞0，
可得：b2＝3，
所以双曲线的离心率e＝＝＝＝，
故选：D．
(2)已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B． C． D．
【解答】解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，，由|AF1|+|AF2|＝14，得m+n＝14，
又AF1⊥AF2，所以m2+n2＝102，
解方程组，得m＝8，n＝6或m＝6，n＝8；
所以||AF1|﹣|AF2||＝2＝2a，所以a＝1，
又|F1F2|＝10，所以c＝5，
所以b＝＝2，
双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故选：B．
课堂反馈
一．选择题（共5小题）
1．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|＝4，则动点P的轨迹是（ ）
A．一条射线 B．双曲线 C．双曲线左支 D．双曲线右支
【解答】解：如果是双曲线，那么|PM|﹣|PN|＝4＝2a
a＝2
而两个定点M（﹣2，0），N（2，0）为双曲线的焦点
c＝2
而在双曲线中c＞a
所以把后三个关于双曲线的答案全部排除，
故选：A．
2．“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若n＞m＞0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线，
若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则n＞0且m＞0，
所以“n＞m＞0”是“方程表示焦点在y轴上的双曲线”充分不必要条件．
故选：A．
3．双曲线C：＝1（m＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【解答】解：根据题意，双曲线C：＝1（m＞0）的一条渐近线的方程为2x+y＝0，
则有，即m＝8，
则双曲线的方程为双曲线：＝1，
其中a＝，b＝2，则c＝，
则双曲线的离心率e＝＝．
故选：D．
4．椭圆C1：＝1与双曲线C2：＝1（a＞0，b＞0）的离心率之积为1，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B． C． D．
【解答】解：设椭圆的离心率为e1，则e1＝，
双曲线的离心率为e2，
由题意可得e1e2＝＝ ＝1，
可得＝，
由双曲线C2的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，
故选：D．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上有一点A，若|F1F2|＝10，|AF1|+|AF2|＝14，且AF1⊥AF2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±5x B． C． D．
【解答】解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，，由|AF1|+|AF2|＝14，得m+n＝14，
又AF1⊥AF2，所以m2+n2＝102，
解方程组，得m＝8，n＝6或m＝6，n＝8；
所以||AF1|﹣|AF2||＝2＝2a，所以a＝1，
又|F1F2|＝10，所以c＝5，
所以b＝＝2，
双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故选：B．
二．多选题（共4小题）
6．双曲C1：＝1与C2：＝λ（λ＞0且λ≠1）的（ ）
A．顶点相同 B．焦点相同 C．离心率相同 D．渐近线相同
【解答】解：由C2：＝λ得，
C2：，e＝＝＝；渐近线y＝±＝±x＝±x；顶点（±2，0），（0，±）；焦点（±，0）．
双曲线C1：＝1，e＝＝＝；渐近线y＝±＝±x；顶点（±2，0），（0，±1）；焦点（±，0）．
∴离心率相同，渐近线相同．
故选：CD．
7．已知双曲线，下列对双曲线C的判断正确的是（ ）
A．实轴长是虚轴长的2倍 B．焦距为4
C．离心率为 D．渐近线方程为
【解答】解：双曲线的焦点在x轴上，且b＝1，a＝，c＝2，渐近线方程为y＝±x．
对于A，实轴长是2，虚轴长是2，故错；
对于B，焦距为2c＝4，故正确；
对于C，离心率e＝＝，故错；
对于D，渐近线方程为y＝，即，故正确．
故选：BD．
8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则双曲线C的方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：双曲线C与椭圆有相同的焦距，可得c＝，
一条渐近线的方程为x﹣2y＝0，
可得a＝2b，又c2＝a2+b2，解得a＝2，b＝1，
所以双曲线方程为：﹣y2＝1或y2﹣＝1．
故选：AD．
9．若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．C的离心率为
C．焦点到渐近线的距离为3
D．|PF|的最小值为2
【解答】解：由双曲线是焦点坐标，设双曲线的方程为﹣＝1，
所以渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由题意＝，即b＝a，
再由c2＝a2+b2＝a2+（a）2＝a2＝25，
可得a2＝9，b2＝16，
所以双曲线的方程为﹣＝1，所以A正确，
离心率e＝＝，所以B不正确；
焦点F到渐近线的距离d＝＝b＝4，所以C不正确；
|PF|的最小值为c﹣a＝5﹣3＝2，所以D正确．
故选：AD．
三．填空题（共5小题）
10．若双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，则实数t＝ 9 ．
【解答】解：∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，
∴7+t＝25﹣9，
∴t＝9
故答案为：9．
11．已知双曲线C1：﹣＝1，与C1共渐近线的双曲线C2过（2，4），则C2的方程是 ﹣＝1 ．
【解答】解：由题意可设与C1共渐近线的双曲线C2的方程为﹣＝λ（λ≠0，λ≠1），
由双曲线C2过（2，4），可得﹣＝λ，
即λ＝﹣1，
所以C2的方程是﹣＝1．
故答案为：﹣＝1．
12．已知双曲线﹣＝1的焦点为F1，F2，过右焦点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若|AF1|+|BF1|＝2|AB|，则|AB|等于 8 ．
【解答】解：双曲线﹣＝1的a＝2，
由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
相加可得|AF1|+|BF1|﹣（|AF2|+|BF2|）＝|AF1|+|BF1|﹣|AB|＝4a，
又|AF1|+|BF1|＝2|AB|，可得2|AB|﹣|AB|＝4a＝8．
故答案为：8．
13．已知双曲线E：＝1（b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线E的焦距等于 4 ．
【解答】解：因为双曲线E：＝1（b＞0），
所以a＝，
渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，
所以b＝3，
所以c＝＝＝2，
所以焦距2c＝4，
故答案为：4．
14．双曲线的右焦点到渐近线的距离为 2 ．
【解答】解：在双曲线中，a2＝1，b2＝4，
∴c＝＝，
则双曲线的右焦点坐标为F（，0），一条渐近线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0．
∴双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为d＝＝2．
故答案为：2．
四．解答题（共2小题）
15．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）与双曲线＝1有公共焦点，且经过点（4，3）；
（2）焦点为（0，±5），且渐近线方程为y＝±2x．
【解答】解：（1）由题意设双曲线的方程为：﹣＝1，﹣20＜k＜5，
将（4，3）代入﹣＝1，解得：k＝﹣11，
所以双曲线的方程为：﹣＝1；
（2）由题意设双曲线的方程为：﹣＝1，（a＞0，b＞0），
由题意可得，解得a2＝20，b2＝5，
所以双曲线的方程为：﹣＝1．
16．设F1、F2是双曲线的左、右焦点，点P在该双曲线上，且PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．
【解答】解：由PF1⊥PF2知，点P在以F1F2为直径的圆x2+y2＝3上，，
所以△PF1F2的面积为．
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日期：2021/12/1 19:56:43；用户：高中数学；邮箱：gzsxx@；学号：29081547
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