(共22张PPT)
2.5.1二次函数与一元二次方程的关系
北师大版 九年级下册
复习旧知
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______。
当△﹥0时，方程根的情况是____________________；
当△=0时，方程根的情况是____________________；
当△﹤0时，方程根的情况是______________。
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的图象是一条___________，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点。
复习旧知
如图，一次函数 y=-3x+3 与y=x-2两直线相交，请问如何求它们的交点P？
x
y
3
-2
1
2
P
y=x-2
y=-3x+3
解得
知识点：把函数转化为方程求解。
列为
所以P坐标为（，-）
新知讲解
竖直上抛物体的高度h (m) 与运动时间 t (s) 的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0 表示,其中 h0 (m)是抛出时的高度, v0 (m/s) 是抛出时的速度.一个小球从地面被以 40 m/s 的速度竖直向上抛起, 小球距离地面的高度h (m) 与运动时间 t(s) 的关系如图所示,
新知讲解
(1)h和t的关系式是什么
(2)小球经过多少秒后落地
你有几种求解方法
h=－5t2＋40t.
①由图象可知8秒后小球落地.
②将h=0代入二次函数解得t=0或t=8，
t=0为开始时间,t=8为结束时间.
议一议
(1) 观察每个图象与x 轴有几个交点？交点坐标是什么？
(2) 一元二次方程 x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个实数根
一元二次方程 x2-2x+2=0 有实数根吗 请分别求出它们的根.
二次函数y=x2+2x、 y=x2-2x+1、y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
新知讲解
二次函数y=x2+2x的图象与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0
有几个根？
与x轴有2个交点：
（-2,0）、（0,0）
解：x(x+2)=0
x=0或x+2=0
∴ x1=-2，x2=0
方程有两个不相等的实数根
典例精析
二次函数y=x2-2x+1
的图象与x轴有几个交点 ？
一元二次方程x2-2x+1=0
有几个根？
与x轴有一个交点：(1,0)
解： (x-1)2=0
∴ x1=x2=1
方程有两个相等的实数根
想一想
二次函数y=x2-2x+2
的图象与x轴有几个交点？
一元二次方程x2-2x+2=0
有几个根？
与x轴没有交点
方程没有实数根
归纳总结
有两个不同实根
有两个相同实根
没有根
有两个交点
有一个交点
没有交点
ax2+bx+c = 0 的根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴
△= b2 – 4ac
从上面的对比,我们可以发现二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
△ > 0
△ = 0
△ < 0
想一想
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60 m 你是如何知道的
60=－5t2＋40t.
解得：
所以当2s和7s 的时候小球离地面的高度是60m.
例题解析
例、 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有交点；
例题解析
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝.
当m为正整数1时，x2为整数且x1≠x2，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1.
课堂练习
1.若一元二次方程无实根，则抛物线的图象位于（ ）
A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根是（ ）
A.x1=1，x2=-1
B.x1=0，x2=2
C.x1=-1，x2=2
D.x1=1，x2=0
A
C
课堂练习
3.已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 .
9
a<9
4.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 .
(-2，0) ( ，0)
课堂练习
5、如图，你能直观看出哪些方程的根；
解：由图象可知：方程-x2+2x+3=4的根为x1=x2=1
方程-x2+2x+3=3的根为x1=0,x2=2
方程-x2+2x+3=0的根为x1=-1,x2=3
课堂练习
6.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)该同学把铅球推出去多远？
解：(1)设二次函数的解析式为y=a（x-4）2+3，把（0，0.6）代入得
0.6=a（0-4）2+3，
课堂练习
(2)当y=0时，0=
解得：,(舍去)
答：该男同学把铅球推出去(4+2 )m远．
作业布置
1.课本习题2.10第1、3题
2.一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)可以用公式h = －4.9t2 ＋19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)画出函数h = －4.9t2 ＋19.6t的图象；
(2)当t=1, t=2时，足球距地面的高度分别是多少？
(3)方程－4.9t2 ＋19.6t = 0, －4.9t2 ＋19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？
课堂小结
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
y=ax2+bx+c(a ≠0)，当y取定值时就成了一元二次方程；ax2+bx+c=0(a ≠0),右边换成y时就成了二次函数.
二次函数与一元二次方程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式 的符号
一元二次方程根的情况
Δ
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2.5.1二次函数与一元二次方程教学设计
课题 2.5.1二次函数与一元二次方程 单元 2 学科 数学 年级 九
学习 目标 1．理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的对应关系； 2．会利用二次函数的图象与x轴交点的横坐标解相应的一元二次方程．
重点 理解二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程 的根的个数之间的关系。
难点 理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ =______。 当△﹥0时，方程根的情况是________________； 当△=0时，方程根的情况是_________________； 当△﹤0时，方程根的情况是______________。 2、二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条___________，它与x轴的交点有几种可能的情况？ 3.如图，一次函数 y=-3x+3 与y=x-2两直线相交，请问如何求它们的交点P？ 知识点：把函数转化为方程求解。 列为 解得 所以P坐标为（，-） 让学生独立解决3个问题，学生口答，教师对应课件展示答案. 首先利用所学习过的一元一次方程和一次函数的关系进行回顾，让学生进一步理解和掌握所学知识，为本课的学习做铺垫，最后提出问题“一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？”自然引入新课.
讲授新课 1.我们已经知道，竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可以近似地用公式表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s)是抛出时的速度． 一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球距离地面的高度h(m)与运动时间t(s)的关系如图所示，观察并思考下列问题： （1）h和t的关系式是什么？ （2）小球经过多少秒后落地 你有几种求解方法 与同伴进行交流． [方法一]看图象可知，8秒落地 [方法二]解方程： 2.分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图. （1）观察二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？ (2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根 验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗 (3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系 整理： [想一想] 何时小球离地面的高度是60m？你是如何知道的？ 解法1：令h=60 故2s和6s时，小球离地面的高度是60m． 解法2：看图象． 例、 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 学生尝试独立解决，交流、汇报. 让学生以小组为单位进行讨论，充分发表自己的见解,寻求最合理的答案. 教师进行巡视，参与到学生的讨论之中，解答学生的疑难问题，获取信息，为讲解做准备. 举手学生回答，口述自己的想法和思考结果，有不同见解的学生发表看法 对本节课知识进行巩固练习，同时也提升题目的难度，使学生能够综合应用.提升其解决问题的能力和应用能力. 问题情境的创设，意在让学生初步感受二次函数在生活中的应用模型，同时通过设置疑问，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强应用意识. 让学生通过自己动手去画二次函数图象，一方面可以使其进一步复习掌握二次函数图象的画法，巩固已学知识；另一方面使其直观感受到二次函数 与x轴交点的三种情况，为探讨二次函数与一元二次方程之间的关系做铺垫，学生很容易发现二者之间的联系，进而降低了课本难度，利于学生理解和掌握新知. 在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学的意识，增强学习数学的兴趣和信心，使其解题能力和应用能力得到进一步提升.
课堂练习 1.若一元二次方程无实根，则抛物线的图象位于（ ） A.x轴上方 B.第一、二、三象限 C.x轴下方 D.第二、三、四象限 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c=0的根是（ ） A.x1=1，x2=-1 B.x1=0，x2=2 C.x1=-1，x2=2 D.x1=1，x2=0 已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则 a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 . 4. 一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1=－2 ，x2=，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐标是 . 5. 如图，你能直观看出哪些方程的根； 6.如图，某学生推铅球，铅球出手（点A处）的高度是0.6m，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高3m时，水平距离x=4m． (1)求这个二次函数的解析式； (2)该同学把铅球推出去多远？ 学生自主动手解决，老师进行订正。 及时练习巩固，体现学以致用的观念，消除学生学无所用的思想顾虑。
课堂小结 谈一谈这节课，你有哪些收获？ 教师与学生一起进行交流，共同回顾本节知识 让学生与同伴交流获得结果，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.
板书 §2.5.1二次函数与一元二次方程分别求出二次函数y=x2+2x, y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图. 例题学 生 活 动 区
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