福建省莆田市仙游县智华高级中学2022届高三上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

智华高级中学2022届高三上学期期中考试
数学
本试卷共4页．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，则下列向量与平行的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．若等差数列{an}的公差为2，且a5是a2与a6的等比中项，则数列{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线，平面，，∥，，那么“⊥β”是“⊥β”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有255个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为
A． B． C． D．
8．，若，则的范围（ ）.
A． B． C． D．
2、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．以下说法，正确的是（ ）
A．，使成立
B．，函数都不是偶函数
C．“”是“”的充要条件
D．中，“”是“”的充要条件
10．已知函数，下列命题中的真命题是（ ）
A．若，则的图象向左平移个单位，得到的图象
B．若，则的图象关于直线对称
C．若在上的最小值为，则
D．若在上单调递减，则
11．如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点.现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（ ）
A．平面平面 B．
C．直线与平面所成的角为60° D．四面体的体积为
12．已知函数，则（ ）
A．是奇函数； B．；
C．在上单调递增； D．在上存在一个极值点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设复数(为虚数单位)，则___________.
14．在中，若的面积为2，且，则__________.
15．设函数.
①若，则的最大值为_______；
②若有且只有个零点，则实数的取值范围是________.
16．已知矩形中，，，是边的中点.现以为折痕将折起，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，且___________.
（1）求；
（2）求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（本题12分）已知数列的首项为，且.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19．（本题12分）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．
(I)证明：．并判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．
(Ⅱ)若四面体是鳖臑，且 ，求二面角的余弦值．
20．如图，在平面四边形ABCD中，，，，设.
（1）若，求BD的长度；
（2）若，求.
21．（本题12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面△ABC是边长为2的等边三角形，平面AA1B1B⊥平面ABC，AB1＝BB1＝2.
（1）过B1作出三棱柱的一个截面，使AB与截面垂直，并给出证明；
（2）过C作平面α//平面AB1C1，且平面α∩平面ACC1A1＝l，求l与平面BCC1B1所成角的正弦值.
22．（本题12分）已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程.
（2）若函数在定义域上为单调递增函数.
①求整数的最大值；
②证明：.
参考答案
1．B
2．A
3．A
4．C
5．B
6．C
7．A
8．C
9．CD
10．ACD
11．AB
12．BCD
13．
14．
15．
16．
17．条件选择见解析；（1）；（2）.
【详解】
解：（1）选①
因为，
所以，
所以，
整理得.
因为，
所以.
因为，
所以.
选②
因为，
所以，
所以，
整理得.
因为，
所以，
因为，
所以.
选③
因为，
所以，
所以，
整理得.
因为，
所以.
因为，
所以，.
（2）因为，
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，故.
18．（1）证明见解析，；（2）.
【分析】
（1）先构造等比数列：，再根据等比数列通项公式得，即得数列的通项公式；
（2）先化简，再根据 ，利用裂项相消法求和
【详解】
（1）解：（1）由得，
因为，所以，又因为
所以数列是以3为首项，以2为公比的等比数列，
可得，从而.
（2）依题意，，
故，
故.
19．(I)证明见解析，四面体是鳖臑，四个面的直角分别为，，，；(Ⅱ)．
【分析】
(I)首先根据已知条件证明线面垂直，进而可证线线垂直，通过所给已知条件以及证明结论可判断四面体为鳖臑；
(II) 通过四面体是鳖臑性质建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，然后根据公式求解即可.
【详解】
(I)因为平面，平面，
所以，
因为，是的中点，
所以，
又因为，
所以平面，
所以．
四面体是鳖臑，四个面的直角分别为，，，．
(II)若四面体是鳖臑，则为等腰直角三角形，，且．
如图所示，以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如下图：
由条件可得，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以取，则，
所以，
由(I)可知平面的法向量为，
由图像可知，二面角为锐角，设二面角为，
，
所以二面角的余弦值为．
故答案为：.
20．（1）；（2） .
【分析】
（1）在直角三角形ACD中，求得AD，在中，运用余弦定理可得BD；
（2）求得，，在中，运用正弦定理和两角差的正弦公式，即可得到所求值．
【详解】
（1），，，
可知，
在中，，，，
由余弦定理可知，，
则；
（2）由题意可知，，.
在中，由正弦定理可知，
，即有，
，
.
21．(1)证明见解析；(2)
【分析】
(1)设AB中点为O，连接OC、，得出截面为所求，通过证明
即可得出结论.
(2)以O为原点建系，如图，求出面的一个法向量，利用空间向量的数量积求解线面角的正弦值即可.
【详解】
(1)如图，设的中点为，连接，则截面即为所求.
因为分别为的中线，
所以，又，
所以平面.
(2)因为平面平面，且平面平面，
平面平面，所以，
故与平面所成的角等于与平面所成的角，
以为坐标原点,建立坐标系，如图，
则，
，
设平面的一个法向量为，
由得，令，得，
所以
所以，
即与平面所成角的正弦值为
22．(1)；(2)①2；②证明见解析.
【分析】
(1)将代入，求出函数及其导数，计算，再借助导数的几何意义即可求出切线方程；
(2)①求出函数的导数，由给定条件可得恒成立，再由恒成立的不等式去探求恒成立，不恒成立即可；
②利用①的结论并用去替换x，再变形整理，借助等比数列求和公式即可得解.
【详解】
(1)当时，，，
则，而，于是得，即，
所以所求切线方程为；
(2)①函数定义域为，求导得：，
因函数在定义域上为单调递增函数，且a为整数，则有，恒成立，
令函数，，，当时，当时，，
因此，在上单调递减，在上单调递增，，则有，成立，
在时，两边取对数有恒成立，于是得，从而有
而上述不等式中两个等号不同时取得，即恒成立，当时，恒有，
因此，当时，恒有，即有恒成立，
当时，有，而，即，不等式不恒成立，
综上得，整数的最大值为2；
②由①知，不等式恒成立，令，则，于是得，
因此，，
所以，，成立.