辽宁省丹东市凤城第一高级中学2021-2022学年高一上学期11月月考数学试卷（PDF版含答案）

数学试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考试号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知全集U R ，集合 A {y | y x 2 3, x R}，B {x | 2 x 4}，则图中阴影部分表
示的集合为
A． [ 2,3] B． ( 2,3)
C． ( 2,3] D． [ 2,3)
2．“ x 2且 y 3”是“ x y 5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
3．函数 f (x) ax 1 1的图象恒过定点 P，则点 P的坐标为
A． (0,1) B． (1,1) C． (2,1) D． (1, 2)
4．已知 x 2， y 1， (x 2)(y 1) 4，则 x y的最小值是
A．1 B．4 C．7 D． 3 17
5．已知 f (x)是定义域为R 的奇函数，当 x 0时， f (x) x2 2x 3，则不等式 f (x) 0的
解集为
A． ( 3,0) (0,3) B． ( , 3) (0,3)
C． ( 3,0) (3, ) D． ( ,1) (4,7)
1
x3 , x 0
6．已知函数 f (x) x ，若 f (a 1) f ( a)，则实数 a的取值范围是
3 , x 0
A ( , 1． ] B [1 , 1 1． ) C． [0, ] D． [ ,1]
2 2 2 2
7 1 4 m．已知 a b c，若 恒成立，则m的最大值为
a b b c a c
A．3 B．4 C．8 D．9
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字
命名的“高斯函数”为：设 x R ，用 [x]表示不超过 x的最大整数， y [x]称为高斯函数，
3x 2
例如：[ 2.1] 3，[3.1] 3，已知函数 f (x) x 1 ，则函数 y [ f (x)]的值域为1 3
A．{0, 3} B．{0, 1} C．{0, 1, 2} D．{1,0, 1, 2}
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．对于任意实数 a， b， c， d，下列命题正确的是
A．若 ac2 bc2，则 a b B．若 a b， c d ，则 a c b d
C．若 a b， c d ，则 ac bd D．若 a b 1 1，则
a b
10．下列函数中，最小值为 2的函数是
A． y x 1 B． y x2 2x 3
x
2
C． y x 2 x 2 D y x 2 ．
x2 1
11 2
a, a b
．已知函数 f (x) x 1， g(x) ．记max{a,b}
x
，则下列关于函数
b, a b
F (x) max{ f (x), g(x)} (x 0) 的说法正确的是
A x (0,2) F (x) 2．当 时，
x
B．函数 F (x)的最小值为 2
C．函数 F (x)在 ( 1,0)上单调递减
D．若关于 x的方程 F (x) m恰有两个不相等的实数根，则 2 m 1或m 1
12．若 4x 4 y 5 x 5 y ，则下列关系正确的是
A． x y B． y 3 x 3 C 1． x y D． ( ) y 3 x
3
2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13 x 3．函数 f (x) 的定义域为 ．
| x 1| 5
14．若函数 f (x) 2|x| 1在区间 [a, )上单调递增，则实数 a的最小值为 ．
15．某种细菌在培养过程中，每 15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由 1个分
裂成 4096个需经过 小时．
2x , x 0
16．已知函数 f (x) 2 2 ，若对任意的 x ( ,0]，均存在 x (0, )
x 2ax a a 1, x 0
1 2
使得 f (x1) f (x2 )，则实数 a的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
化简求值（需要写出计算过程）．
（1）若100a 4，10b 25，求 2a b的值；
（2）化简 ( 5)2 3 (2 )3 并求值；
1 1

（3 5）计算： 0.064 3 ( ) 0 (2 1) 2 0.1 2 ．
2 4
18．（12分）
已知函数 f (x) x2 2ax 1 a， a R ．
1 a 2 y f (x)（ ）若 ，试求函数 在区间 (4, )上的最小值；
x 4
（2）对于任意的 x [0,2]，不等式 f (x) a总成立，试求实数 a的取值范围．
3
20．（12分）
已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0．
（1）当 a 1， b 2， c 1时，求该不等式的解集；
（2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集．
① a 1， b 2 m， c 2m；
② a m，b m 2， c 2．
21．（12分）
某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液
中的含药量 y( g)与服药后的时间 t(h)之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲
线段 AB是函数 y k at (t 1， a 0， k， a是常数）的图象，且 A(1,8)， B(7,1)．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量 y关于时间 t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于 2( g)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早
上 6 : 00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？
（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过 3h，该病人每毫升血液
中含药量为多少 g？（精确到 0.1 g)
22．（12分）
设函数 f (x) a x a x （ x R ， a 0且 a 1）．
（1）若 0 a 1，证明 y f (x)是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
（2）若 f (1) 0，求使不等式 f (x2 tx) f (4 x) 0恒成立时实数 t的取值范围；
3
（3）若 f (1) ，g(x) a2x a 2x 2mf (x)，且 g(x)在 [1, )上的最小值为 2，求实数m
2
的值．
4
数学试题（答案）
一、单选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C B B D C
二、多选题：
题号 9 10 11 12
答案 AB BCD ABD AD
三、填空题：
13. [3,4) (4, )； 14. 0； 15. 3； 16. [ 1 5 ,1]
2
四、解答题：
17. 解：（1） 100a 4，10b 25，
100a 10b 102a b 100 ， 2a b 2．（4分）
（2） ( 5)2 3 (2 )3 | 5 | (2 ) 5 2 3．（7分）
3 1 ( )
（3）原式 (0.4) 3 3 1 100 5 1 3 100 102 .（10分）
2 2 2
f (x) x2 4x 1 1
18. 解：（1）当 a 2时， y (x 4) 4 2 4 6（3分）
x 4 x 4 x 4
当且仅当 x 4 1 ，即 x 5时取“ ”，（4分）
x 4
y f (x) 函数 在区间 (4, )上的最小值为 6．（5分）
x 4
（2）由题意知： x2 2ax 1 a a 对于任意的 x [0， 2]恒成立，
即 x2 2ax 1 0对于任意的 x [0， 2]恒成立，（7分）
令 g(x) x2 2ax 1， x [0， 2]，
g(0) 1 0
则 ，（10分） g(2) 3 4a 0
a 3 3解得： ， a的取值范围为 [ ， )．（12分）
4 4
1
（9分）
20. 解：（1）当 a 1， b 2， c 1时不等式为 x2 2x 1 0，
可化为 x2 2x 1 0，（2分）
解得1 2 x 1 2 ，（4分）
所以不等式的解集为 [1 2,1 2]；（5分）
（2）若选① a 1， b 2 m， c 2m，不等式为 x2 (2 m)x 2m 0，
即 (x 2)(x m) 0，（7分）
（1）当m 2时，不等式解集为{x | x 2 或 x m}，（8分）
（2）当m 2时，不等式解集为 R，（9分）
（3）当m 2时，不等式解集为{x | x m或 x 2}，（10分）
综上所述：当m 2时，不等式解集为{x | x 2或 x m}，
当m 2时，不等式解集为R，
当m 2时，不等式解集为{x | x m或 x 2}，（12分）
若选② a m，b m 2， c 2．不等式为mx2 (m 2)x 2 0，
（1）当m 0时， 2x 2 0，不等式解集为{x | x 1}，（6分）
当m 0时，不等式可化为 (mx 2)(x 1) 0，（7分）
（2）当m 0时，不等式解集为{x | x 2 1或 x }，（8分）
m
2
（3）当m 2时，不等式解集为{x | 1 x 2}，（9分）
m
（4）当m 2时，不等式解集为{x | x 1}，（10分）
2
（5）当 2 m 0时，不等式解集为{x | x 1}，（11分）
m
综上所述：当m 2 2时，不等式解集为{x | 1 x }，
m
当m 2时，不等式解集为{x | x 1}，
2
当 2 m 0时，不等式解集为{x | x 1}，
m
当m 0时，不等式解集为{x | x 1}，
当m 0时，不等式解集为{x | x 2 1或 x }．（12分）
m
21. 解：（1）当 0 t 1时， y 8t ；（2分）

ka 8 a
2

当 t 1时，把 A(1,8)、 B(7,1)代入 y kat ，得 7 ，解得 2 ，（4分）
ka 1


k 8 2
8t, (0 t 1)
故 y 2 （5分）t
8 2( ) ,(t 1) 2
t 1
（2 ）设第一次服药后最迟过 t小时服第二次药，则 ，解得 t 5，即第一次服
8 2(
2 )t 2
2
药后 5h后服第二次药，也即上午11: 00服药；（8分）
（3）第二次服药 3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：y1 8 2(
2 )8 2 g
2 2
（9分）
2
含第二次服药量为： y 8 2( )32 4 g（10分）2
2
所以此时两次服药剩余的量为 4 4.7 g
2
故该病人每毫升血液中的含药量为 4.7 g （12分）
22. 解：（1） f (x)的定义域为R，关于原点对称，（1分）
且 f ( x) a x ax f (x)，
f (x)为奇函数，（2分）
3
0 a 1， y ax递减， y a x递减，故 f (x)是减函数；（3分）
（2） f ( x) ax a x (a 0且 a 1)．
f （1） 0 1， a 0，
a
又 a 0，且 a 1，
0 a 1，
故 f (x)在 R上单调递减，（5分）
不等式化为 f (x2 tx) f (x 4)，
x2 tx x 4，即 x2 (t 1)x 4 0恒成立，（6分）
△ (t 1)2 16 0，
解得 3 t 5；（7分）
3 f 1 3 a 1 3（ ） （ ） ， ，即 2a2 3a 2 0，
2 a 2
解得 a 2 a 1或 （舍去），（8分）
2
g(x) a2x a 2x 2mf (x) (2x 2 x )2 2m(2x 2 x ) 2，（9分）
令 t f (x) 2x 2 x ，由（1）可知 f (x) 2x 2 x 为增函数，
x 1 3， t f （1） ，
2
令 h(t) t 2 2mt 2 (t m)2 2 m2 (t 3) ，（9分）
2
3
若m ，当 t m时， h(t) 2min 2 m 2， m 2；（10分）2
m 3 3 25 3若 时，当 t 时， h(t) 2，解得m ，无解；（11分）
2 2 min 12 2
综上，m 2．（12分）
4