沪教版七年级上第10章第2节 分式的运算教案

10．3分式的乘除
教学目标
1、通过以前学过的分数的乘除法法则探索分式的乘除法运算法则。
2、运用分数的乘除法法则进行运算，并会计算分式的乘方。
3、培养学生的观察、类比、归纳的能力和与同伴合作交流的情感，进一步体会数学知识的实际价值。
教学重点及难点
1、分式的乘除法法则的推导。
2、利用分式的乘除法法则进行运算。
教学过程
一、复习旧知，引入新课
1、大家还记得分数的乘法和除法的法则吗？
2、？
你们做的很好，那么下面这两道题目如何计算呢？
你会计算和吗？
通过复习分数的乘除法法则，让学生计算分数的乘除法题目。在学生回答猜想后，引导学生运用“数式相通”的类比思想，归纳分式乘除法法则。学生探究，教师引导。让学生全面参与、独立思考，由自己总结出分式的乘除法法则，培养学生的归纳、创造能力。
注意强调先要将除法转化成乘法再进行计算，结果最后要化成最简分数。并注意提醒学生在进行分数和分式的乘除时，先约分再乘除比较简便。为后面分式的乘除法计算打下基础。
二、新课讲授
请同学们说说看，分式的乘除法法则是什么？
两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与除式相乘。
用式子表示为：
例1 计算
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
例2计算：
（1）
（2）
（3）
解：（1）
（2）
（3）
思考：
利用分式的乘法与的数学意义，得出分式平方的计算方法。并由此推导出分式乘方的计算方法。
三、巩固练习
练习10.3 ——1、2、3、4
根据课堂的实际情况，灵活掌握习题的数量，重点看学生能否正确运用分式乘除法法则，能否利用分式的基本性质约分化简分式。
四、课堂小结
（1）内容总结
通过本节课的学习，你学到了哪些知识？要注意什么问题？（2）方法归纳
在本节课的学习过程中，你有什么体会？
五、回家作业
布置作业，练习册10.3
教后感：
在教学过程中感觉良好，因为学生对分式的基本性质掌握的较好。运算法则也能熟记。但实际在课后的练习和回家作业的反馈中发现问题很多：
1、正负符号的确定。
2、因式分解部分学生有些遗忘，不能熟练运用各种方法进行因式分解，或因式分解不能分解到最后。
3、计算的错误率一直较高的现象还是比较普遍，所以有必要停下来加强巩固，以便学习分式的加减和混合运算。
10.4分式的加减(1)
教学目标
通过同分母分式的加减与同分母分数的加减的类比，理解同分母分式加减法则的形成过程。
会利用同分母分式的加减法则进行同分母分式的加减运算。
教学重点及难点
同分母分式的加减法法则的推导。
同分母分式加减法法则的灵活运用。
教学过程
引 入
小丽和小明都用了13秒的时间进行短跑,小丽跑了60米，小明跑了70米;
(1) 谁的速度快,快多少
(2) 若小丽和小明均用去了x秒，则小明比小丽速度快多少
(3) 若小丽和小明均用去了x2秒，小明比小丽快多少
使学生在复习同分母分数的运算的基础上，对同分母分式的知识有大概的了解和认识，引起他们的思考和兴趣。
计 算
观 察
你发现了什么规律吗？同分母分数的运算法则和同分母分式的运算有什么相同的地方？
总 结
同分母分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。
例题1 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
计算的结果一般化简成最简的分式
（4）
分母为符号相反的代数式，一般统一分母，提出负号。
判断正误
（1）
注意加括号
（2）
正确提取负号
练习
（1）
（2）
（3）
（4）
教后感：
本节学习的同分母分式的加减运算，可以通过类比同分母分数的加减运算法则来归纳总结，学生较易理解和掌握。在新知识的教授过程中，教师应更好地引导学生从同分母分数的运算过渡到同分母分式的运算，从而水到渠成的得出结论；
在课堂上，教师应给出一些错误的解题情况让学生辨析和讨论，加深印象；避免学生对知识点理解的错误和运算的错误；
在例题的设置方面，应坚持从易到难的原则，首先给出一些基本的运算来巩固新知，然后再适当得加以扩展和延伸，给学生充分的思考时间，使学生能够比较自然地联想到下节课要学到的异分母分式的运算，为开展异分母分式的运算学习奠定基础。
10.4分式的加减(2)
教学目标
在教学过程中渗透类比思想，能用类比分数的加减运算，得出异分母分式加减运算法则；
使学生理解异分母分式加减法则的形成过程；利用异分母分式的加减法则进行异分母分式的加减运算；
在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯；渗透类比、化归数学思想方法，提高运算能力。
教学重点及难点
异分母分式的加减法法则及其简单运用；确定异分母分式的最简公分母。
教学过程
情境引入：
通信员从营地前往相距1000米的哨所去送信，如果去时跑步前进速度为2a米/分，返回时因疲劳速度降低为a米/分，那么他送信共花去了多少时间？
让学生经过充分的思考和讨论后列式。
想一想：列式
（1）思考是如何计算的？
通过转化成同分母分数通分后再进行计算的；
根据以上几个例题，总结归纳异分母分式加减法法则，并与异分母分数加减法法则相比较，体会类比的思想。
（2）那么可以如何计算呢？
通过转化成同分母分式进行计算；需要通分，寻找公分母。
思 考：
异分母分数的加减法是否可以推广到异分母分式的加减呢？
练 习：
为什么要把6x和x2作为公分母，其它的可以吗？有什么不同之处？
总 结：
异分母分式的加减运算法则：
异分母分式相加减，先将它们转化成相同分母的分式，然后再进行加减；
将几个异分母的分式转化成与原来分式的值相同的同分母分式的过程叫做通分。
思 考：
通分中的公分母是如何确定的呢？
如果各分母的系数是整数，通常取各分母系数的最小公倍数，字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
例题1将分式化成分母分别为下列整式的分式；
（1）2x （2）xy
（3）x2y2 （4）x（x+2）
例题2计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（当式中有整式出现的时候，可把这个整式的分母看作1）
练 习：
计 算
（1） （2）
（3） （4）
（5）; （6）
（7） （8）
填 空：
若 ,则M=___________.
教学设计说明
本节课类比异分母分数的加减运算，得出异分母分式加减运算法则，发展有条理的思考及语言表达能力，会进行同分母分式的加减运算和简单的异分母分式的加减运算，结合已有的数学经验，通过自主探究，类比猜想，培养学生发展、解决新问题的能力，训练思维的严谨性，使他们在逐步的探索中获得成就感，培养学习积极性和参与性。
10．5可以化成一元一次方程的分式方程
教学目标
1.进一步了解数学思想中的“转化”思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径。
2. 在教师的引导下,探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性。
3．在讨论可以化为一元一次方程的分式方程时，提高学生综合分析和解决实际问题的能力。
教学重点与难点
1.探索如何将分式方程转化为整式方程。
2.探索分式方程产生增根的原因。
教学过程
一、情景引入
小明和小丽比赛打字的速度，小丽每分钟比小明少打30个字，在相同的时间里，小丽打了2400个字，小明打了3000个字。
请问：小丽和小明每分钟分别可打多少个字？
解：设小明每分钟可打x个字，则小丽每分钟可打(x-30)个字。
根据题意可列出以下等量关系：
这个方程的分母中含有未知数，与以前学过的方程不同，这就是我们要学习的分式方程。
分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
以前学过的像一元一次方程、二元一次方程等这类分母中不含有未知数的方程叫整式方程
二、引发思考
如何解这个方程呢？
先由学生讨论如何解这个方程，教师可适当引导，可以设法去掉方程中分式的分母，转化为以前学过的方程来求解。
方程两边同时乘以x（x-30），得
2400x=3000（x-30）
这就转化成我们以前学过的整式方程，得
x=150
得，x-30=120
如果我们想检验一下这种方法的正确性，就需要检验一下求出的数是否是方程的解。
检验：把x=150代入原方程，
因为 左边==20 右边==20
所以 左边=右边
所以x=150是原方程的解。
答：小明每分钟可打150个字，小丽每分钟可打120个字。
三、学习新课
练习：判断下列哪些方程是分式方程？
1． x+3y= 2. =5
3. 4.
5. 6.
学生讨论回答,得出结论 (1) (6)是整式方程, (2) (3) (4) 是分式方程, (5)是代数式.
例1. 解方程.
先由学生讨论如何解这个方程
在学生讨论的基础上分析,解分式方程的关键是去分母,如何去掉分母呢 可以两边同时乘以分母的最简公分母,将分式方程转化为我们比较熟悉的整式方程
解 方程两边同时乘以2(3x+1)
2(2x-1)=3x+1
去括号,得 4x-2=3x+1
移项,化简得 x=3
检验,将x=3代入原方程,得
左边==右边
所以x=3是原方程的解
一元方程的解也叫做方程的根
如x=3也可以说是方程的根
例2. 解方程
由学生独立完成,看是否能发现问题,并发现问题产生的原因
解 方程两边同时乘以x-1,得
x+x-1=1,
移项,化简得 x=1,
检验,将x=1代入原方程,结果发现方程中分式的分母为零,此时分式无意义.
所以x=1不是原方程的解,原方程无解.
引出增根的概念, 使分式方程中分母为零的根叫做增根
x=1就是分式方程的增根
讨论: 1,2两题都是方程两边同时乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程,为什么第2题求出的x=1不是原方程的解呢 解分式方程时为什么有时会产生增根呢
分式方程转化为整式方程的过程必须两边同时乘以一个适当的整式.由于这个整式可能为零,使本不相等的两边也相等了,这时就产生了增根.所以解分式方程必须检验,而检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零.
由此可以想到,只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母),若该式的值不等于零,则是原方程的根; 若该式的值为零,则是原方程的增根,这种验根方法比较便捷.
练习: 解方程
(1). (2)
注意学生书写的格式规范
学生讨论归纳出解分式方程的一般步骤:
1.在方程的两边都乘以最简公分母,化为整式方程.
2.解方程.
3.检验.
教学设计说明：
本章讨论可以化为一元一次方程的分式方程，解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须验根的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
借助对分式的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，解分式方程用的是化归思想，分式方程一般要先化为整式方程再求解，注意验根是必不可少的步骤。
本节课的引入安排了实际生活中的例子，更贴近学生的实际，在学生讨论时，注意结合分析、解决实际问题的逐步深入。在讨论分式方程的解法时，从分析分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程化为整式方程，再解出未知数。这里解分式方程的基本思路是很自然、很合理地产生的，这种处理既突出了分式方程解法上的特点及其算理，又反映了整式方程与分式方程在解法上的内在联系。
在讨论增根问题时，通过具体例子展现了解分式方程时可能出现增根的现象，并结合例子分析了什么情况下产生增根，然后归纳出验根的方法。
10.6 整数指数幂及其运算(1)
教学目标
1.体验整数指数幂的扩充过程，体验数学研究的一般方法；
2.理解负整数指数幂的概念，了解整式和分式在形式上的统一；
3.掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行简单的整数指数幂的相关计算；
4.提高数学语言的概括能力。
教学重点与难点
1.负整数指数幂的概念；
2.理解整数指数幂的运算性质；会运用性质进行相关的计算。
教学过程
一．复习引入：
1.计算：28÷23=_____，510÷56=_____；
（由学生用数学式子表示上述同底数幂的除法法则，并指出其中字母的规定，强调指数是正整数，底数不等于零）
2.计算：25÷25=______；32006÷32006=_____；
（由学生用数学式子表示零指数幂的性质，并指出底数的规定）
3．思考：如何计算24÷26、35÷38
[说明]在学生独立思考的基础上，组织学生进行相互之间的讨论，并请学生代表讲解计算的过程及依据，体验分数与除法的关系；然后进一步提出“如何用幂的形式表示计算结果”的问题。
4.如果用前面学过的同底数幂的除法性质来计算，我们可以得到什么结果？这两种计算结果应该是相等的，那么我们今天又可以得到什么结论？如何用数学式子表示？
5.、、
[说明]以复习同底数幂的除法为基础，引领学生进行探究更为一般的同底数幂的运算，让学生能够充分体验数学知识的发生过程，理解新旧知识之间存在的内在联系，初步体会研究数学的一般方法。
二．学习新课：整数指数幂及其运算。
1．负整数指数幂的概念：（a≠0，p是自然数）
举例说明负整数指数幂的意义，如、、
、（其中x≠0，y≠1）
2．同底数幂的除法法则：
3．整数指数幂：当a≠0时，就是整数指数幂，n可以是正整数、负整数和零。
例题讲解：
例题1 计算：
（1）26÷28；
（2）102003÷102006；
（3）715÷715。
例题2 将下列各式写成只含有正整数指数幂的形式：
(1) x-3；
(2) a-3b4；
(3) (x+2y)-2；
(4) 。
[说明]两个例题均由学生思考后进行解答，教师讲评，明确解题的依据、步骤及表达上的规范；例题2的第(4)小题，还可以让学生体验，即当底数是分数形式时，还可以用这个方法把负整数指数幂化成正整数指数幂的形式，在具体的化简计算时显得简单。
4．整数指数幂的运算性质：
举例复习正整数指数幂的其它性质，同时思考、验证整数指数幂的相关运算法则：
23×25，(-3)4×(-3)6，25×2-3，(-3)-2×(-3)3;
(2×3)2，(2×3)-2;
(23)2，(22)-2，(2-3)-4;
归纳整数指数幂的运算性质：
（1）同底数幂的乘法性质：aman=am+n;
（2）同底数幂的除法性质：am÷an=am-n;
（3）积的乘方性质：(ab)m=ambm;
（4）幂的乘方性质：(am)n=amn;
（上述性质中a、b都不为0，m、n都为整数）
例题3计算：
（1）a2÷a·a3；
（2）(-a)3÷a5；
（3）x-5·x2；
（4）(2-2)3；
（5）100÷3-3；
（6）。
四．练习与巩固：
学生独立完成练习10.6中的1、2、3、4、5、7，并相互交流，其中（3）、（4）口答，其它写出过程，体验整数指数幂的性质的具体内容。
五．课堂小结：今天我们学习了哪些数学知识？
六．布置作业：练习册：习题10.6
10.6 整数指数幂及其运算(2)
教学目标
1.理解科学记数法的意义，理解绝对值小于1的有理数的科学记数法，会用科学记数法表示一个有理数；
2. 通过类比绝对值大于10的有理数的科学记数法，进一步体验类比思想，体验数学研究的一般方法；理解科学记数法在形式上的统一；
3.熟练掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行相关的整数指数幂的计算。
教学重点与难点
1.会用科学记数法表示绝对值小于1的有理数；
2.熟练运用整数指数幂的运算性质进行相关的计算。
教学过程
一．情景引入
1. 已知一个冠状病毒的直径约为0.00000008米，那么100个这种病毒连接起来，最长是多少厘米？如何把这两个小于1的数用另一种方法表示出来？
[说明]数学知识的产生都是与解决一定的实际问题有密切的关系.引入本例子,很自然地提出了实际问题，让学生自己探究解决的方法,体验数学研究的基本过程.教学时可以先让学生独立思考,然后再进行讨论交流,初步体验科学记数法的基本方法，让学生认识到，有了负整数指数幂，科学记数法不仅可以表示绝对值较大的数，也可以表示绝对值较小的数.
二．学习新课：绝对值小于1的有理数的科学记数法。
1．复习绝对值大于10的有理数的科学记数法的意义：把一个有理数表示成 的形式。
例如，用科学记数法表示下列各数：1000000； 120##00000； -32500。
2．用小数表示下列各数：10-1、10-2、10-3、---、10-8、---、10-n.
3．思考：怎样把小数0.00001表示成以10为底数的整数指数幂的形式？
4．思考：类似绝对值大于10的有理数的科学记数法，如何把数0.000024用2.4与10的几次幂的乘积的形式来表示？又如何表示-0.00025？
例题讲解：
例题1 把下列各数表示为的形式：
（1）0.0012；
（2）6100000；
（3）-0.00001032；
（4）-0.00000000321.
[说明]例题讲解在学生思考、讨论、交流的基础上共同完成，并让学生经过独立思考后进行归纳总结，得到一般的解题思路及方法。
例题2 杆状细菌的长、宽分别约为2微米和1微米（1微米=10-4厘米）。如果一只手上有1千个杆状细菌，它们连成一线，那么这些连成一线的细菌最长是多少厘米？（结果用科学记数法表示）
例题3计算下列式子：
(1) (x-1+y-1)(x-1-y-1)；
(2) (x-1+y-1)÷(x-1-y-1)；
(3) (x-2+y-2)÷(x-1-y-1)；
(4) (a-1+b-1)2-(a-1-b-1)2。
[说明]学生独立完成后，把具有代表性的方法在黑板上演示出来，让学生体验新旧知识之间、不同方法之间的联系与区别，体验负整数指数幂的计算一般可以转化为分式的计算，而整式计算中的乘法公式在整数指数幂的计算中同样可以运用，让学生体验到化归的数学思想。
四．练习与巩固
学生独立完成练习10.6中的6、8，并相互交流。
五．课堂小结 今天我们学习了哪些数学知识？