初中数学因式分解规律和方法 学案（含答案）

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初中数学因式分解规律和方法详解（你一定想学会的方法）
书本上只给出了最基本的两种因式分解的方法：提公因式法和公式法，但实际训练和考试中，或者是到了高中以后，我们发现这两种方法根本不够用，或者用起来不太方便，这就需要我们掌握更多因式分解的方法。
下面我们就来详细介绍因式分解的规律和方法，由于提公因式法和公式法是课本中最基本的方法，这里我就不做详细讨论，只给出两个较为简单的例子，把重点放在后面。
提公因式法
书本概念：如果一个多项式的各项含有公因式， 那么就可以把这个公因式提出来， 从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
例1、（1）
解：原式 =
已知ab = 8,a+b = 9 ，求多项式的值
解： （提公因式）
= 8 × 9 = 72 （代入已知条件ab = 8,a+b = 9）
公式法
平方差公式
完全平方公式
例2、（1）
解：原式 = （先提公因式，再利用公式法）
（2）
解：原式 =
立方和公式：
立方差公式：
十字相乘法
十字相乘法的具体方法：十字左边相乘等于二次项系数,交叉相乘再相加等于一次项系数，右边相乘等于常数项。
十字相乘法是除了提公因式法和公式法之外，最重要的因式分解方法，应用十分方便且广泛，因此必须掌握。
例3、 （1） (2)
解：原式 = （x-1）(x-6) 解：原式 = （2a - b）(3a - 2b)
按十字相乘法分解如下： 按十字相乘法分解如下：
配方法
配方法因式分解方法：一般是先把含有字母的项配成完全平方的形式，剩下常数项，然后再利用平方差公式进行因式分解。
例4、阅读材料： 分解因式：x2+2x﹣3
解：原式=x2+2x+1﹣4=（x+1）2﹣4
=（x+1+2）（x+1﹣2）=（x+3）（x﹣1）
此种方法抓住了二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项成为完全平方式，我们把这种分解因式的方法叫配方法．请仔细体会配方法的特点，然后尝试用配方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2x﹣3=________；a2﹣4ab﹣5b2=________；
（2）无论m取何值，代数式m2+6m+13总有一个最小值，请你尝试用配方法求出它的最小值；
（3）观察下面这个形式优美的等式：a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
请你说明这个等式的正确性．
解：（1）（x﹣3）（x+1）；（a+b）（a﹣5b）
（2）m2+6m+13=m2+6m+9+4=（m+3）2+4，
因为（m+3）2≥0，
所以代数式m2+6m+13的最小值是4
（3）a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca，
= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），
= （a2﹣2b+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ca+a2），
= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
拆项法
拆项法因式分解的一般规律：将需要拆掉的项按照其余项的系数绝对值拆分。
例5、 （1）
解：原式 将需要拆掉的项2x按照其余项的系数绝对值拆成 -x和3x
例6、（2）
将需要拆掉的项-9x按照其余项的系数绝对值拆成 -x和 -8x
换元法因式分解
换元法因式分解的一般规律：将原式中相同的部分用一个字母代替，然后分解因式，最后再代入字母，即为所求。
例7、
解：令，则
原式
当然，因式分解的方法还有很多，比如分组分解法，求根公式法等，由于初中基本不会用到，这里暂且不做讨论。
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