2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 同步练习题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.2圆的对称性 同步练习题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 278.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-04 20:27:54 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.2圆的对称性》同步练习题（附答案）
1．下列图形中，∠AOB为圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
5．如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且＝＝，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
6．在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（ ）
A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定
7．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠BOD＝60°，则∠AOC＝（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不正确
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
9．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
10．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．90°
11．在半径为5的圆内有长为5的弦，则此弦所对圆周角的度数为 ．
12．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝ ．
13．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于 °
14．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为 ．
15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
16．已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：＝．
17．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，且CD＝CE．
求证：C为的中点．
18．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
19．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．
20．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
参考答案
1．解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
3．解：①正确；
②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；
③圆中90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
4．解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
5．解：如图，连接OD、OC．
∵＝＝（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；
故选：B．
6．解：取的中点E，连接AE，BE，
则＝，
∵＝2，
∴＝＝，
∴CD＝AE＝BE，
∵AE+BE＞AB，
∴AB＜2CD．
故选：C．
7．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
∵＝，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
故选：C．
8．解：∵∠BOC＝100°，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝80°，
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝20°．
故选：A．
9．解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝2，
∴R＝2，
故选：C．
10．解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△CQN中
，
∴△APQ≌△CQN（SAS），
∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN
∵∠AQP+∠PAQ＝90°，
∴∠AQP+∠CQN＝90°，
∴∠AQC＝90°，
即所对的圆心角的大小是90°，
故选：D．
11．解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故答案为60°或120°
12．解：∵AB＝CD，
∴∠COD＝∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠COD＝50°，
故答案是：50°．
13．解：如图，连接OA．
.∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴弧AC的度数为120°．
故答案为120．
14．解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠EPF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APF＝∠APC，
∵AE⊥PC，AF⊥PF，
∴AE＝AF，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴BF＝CE，
∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴PF＝PE，
∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝PE，
∴PE＝PA，
∴PB+PC＝PA．
故答案为PB+PC＝PA．
15．证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
16．证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵OA平分∠BAC，
∴OD＝OE，
∴AB＝CD，
∴．
17．证明：∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD＝∠COE，
∴＝，即C为的中点．
18．证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
19．解：（1）连接OC，
∵＝，
∴∠BOA＝AOC，
∵AOC，
∴∠AOB＝∠D，
∴OB∥CD；
（2）连接AC交OB于M，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵OB∥CD，∴∠AMO＝90°，
∴AM＝CM，
∵OA＝OC，
∴OM＝CD＝，
∵AB＝15，
设OA＝OB＝r，
∴AB2﹣BM2＝AM2＝OA2﹣OM2，
即152﹣（r﹣）2＝r2﹣（）2，
∴r＝12.5，
∴⊙O的半径是12.5．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．
1．下列图形中，∠AOB为圆心角的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
5．如图，已知⊙O的半径等于1cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且＝＝，则四边形ABCD的周长等于（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
6．在⊙O中，如果＝2．那么弦AB与弦CD之间的关系是（ ）
A．AB＝2CD B．AB＞2CD C．AB＜2CD D．无法确定
7．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠BOD＝60°，则∠AOC＝（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不正确
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（ ）
A．20° B．60° C．50° D．40°
9．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连接AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2
10．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（ ）
A．60° B．75° C．80° D．90°
11．在半径为5的圆内有长为5的弦，则此弦所对圆周角的度数为 ．
12．如图，在⊙O中，AB＝DC，∠AOB＝50°，则∠COD＝ ．
13．有一块三角板ABC，∠C为直角，∠ABC＝30°，将它放置在⊙O中，如图，点A、B在圆上，边BC经过圆心O，劣弧的度数等于 °
14．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点P为上任意一点，连接PA，PB，PC，则线段PA，PB，PC之间的数量关系为 ．
15．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
16．已知：如图，AB，AC是⊙O的两条弦，AO平分∠BAC．求证：＝．
17．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE．C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，且CD＝CE．
求证：C为的中点．
18．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
19．如图，AD为⊙O的直径，CD为弦，＝，连接OB．
（1）求证：OB∥CD；
（2）若AB＝15，CD＝7，求⊙O的半径．
20．如图，已知在⊙O中，直径MN＝10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM＝45°，求正方形的边长．
参考答案
1．解：根据圆心角定义可知：
A．顶点不是圆心，所以A选项不符合题意；
B．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以B选项不符合题意；
C．∠AOB顶点是圆心，两边与圆相交，所以C选项符合题意；
D．顶点在圆上，∠AOB圆周角，所以D选项不符合题意．
故选：C．
2．解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
3．解：①正确；
②能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；
③圆中90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；
④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；
因此正确的结论是①②；
故选：B．
4．解：∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，
∴的度数是120°，
∵点C、D是的三等分点，
∴的度数是×120°＝80°，
∴∠BOD＝80°，
故选：C．
5．解：如图，连接OD、OC．
∵＝＝（已知），
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB（在同圆中，等弧所对的圆心角相等）；
∵AB是直径，
∴∠AOD+∠DOC+∠COB＝180°，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°；
∵OA＝OD（⊙O的半径），
∴△AOD是等边三角形，
∴AD＝OD＝OA；
同理，得
OC＝OD＝CD，OC＝OB＝BC，
∴AD＝CD＝BC＝OA，
∴四边形ABCD的周长为：AD+CD+BC+AB＝5OA＝5×1cm＝5cm；
故选：B．
6．解：取的中点E，连接AE，BE，
则＝，
∵＝2，
∴＝＝，
∴CD＝AE＝BE，
∵AE+BE＞AB，
∴AB＜2CD．
故选：C．
7．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB＝180°，
∵＝，
∴∠COD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
故选：C．
8．解：∵∠BOC＝100°，∠BOC+∠AOC＝180°，
∴∠AOC＝80°，
∵AD∥OC，OD＝OA，
∴∠D＝∠A＝∠AOC＝80°，
∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝20°．
故选：A．
9．解：连接OA，OD，
∵弦AC＝BD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵AC⊥BD，AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABE＝90°，
∵OA＝OD，
∴AD＝R，
∵AD＝2，
∴R＝2，
故选：C．
10．解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△CQN中
，
∴△APQ≌△CQN（SAS），
∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN
∵∠AQP+∠PAQ＝90°，
∴∠AQP+∠CQN＝90°，
∴∠AQC＝90°，
即所对的圆心角的大小是90°，
故选：D．
11．解：如图所示，
∵OD⊥AB，
∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，
在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，
∴sin∠AOD＝＝，
又∵∠AOD为锐角，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠ACB＝∠AOB＝60°，
又∵圆内接四边形AEBC对角互补，
∴∠AEB＝120°，
则此弦所对的圆周角为60°或120°．
故答案为60°或120°
12．解：∵AB＝CD，
∴∠COD＝∠AOB，
∵∠AOB＝50°，
∴∠COD＝50°，
故答案是：50°．
13．解：如图，连接OA．
.∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴弧AC的度数为120°．
故答案为120．
14．解：如图作AE⊥PC于E，AF⊥PB交PB的延长线于F．
∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠EPF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴∠APF＝∠APC，
∵AE⊥PC，AF⊥PF，
∴AE＝AF，
∵∠F＝∠AEC＝90°，
∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），
∴BF＝CE，
∵∠AFP＝∠AEP＝90°，AP＝AP，AF＝AE，
∴Rt△APF≌Rt△APE（HL），
∴PF＝PE，
∴PB+PC＝PF﹣BF+PE+EC＝2PE，
∵∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PA＝PE，
∴PE＝PA，
∴PB+PC＝PA．
故答案为PB+PC＝PA．
15．证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
16．证明：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵OA平分∠BAC，
∴OD＝OE，
∴AB＝CD，
∴．
17．证明：∵OA＝OB，AD＝BE，
∴OD＝OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD＝∠COE，
∴＝，即C为的中点．
18．证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
19．解：（1）连接OC，
∵＝，
∴∠BOA＝AOC，
∵AOC，
∴∠AOB＝∠D，
∴OB∥CD；
（2）连接AC交OB于M，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵OB∥CD，∴∠AMO＝90°，
∴AM＝CM，
∵OA＝OC，
∴OM＝CD＝，
∵AB＝15，
设OA＝OB＝r，
∴AB2﹣BM2＝AM2＝OA2﹣OM2，
即152﹣（r﹣）2＝r2﹣（）2，
∴r＝12.5，
∴⊙O的半径是12.5．
20．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，
∴∠DCO＝90°，
∵∠POM＝45°，
∴∠CDO＝45°，
∴CD＝CO，
∴BO＝BC+CO＝BC+CD，
∴BO＝2AB，
连接AO，如图：
∵MN＝10，
∴AO＝5，
在Rt△ABO中，AB2+BO2＝AO2，
即AB2+（2AB）2＝52，
解得：AB＝，
则正方形ABCD的边长为．