2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 解答题专题训练 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 解答题专题训练 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 541.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-04 20:26:25 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
解答题专题训练（附答案）
1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条互相垂直的弦，垂足为点E，F为AD的中点，连接FE并延长交BC于点G．
（1）求证：EF＝AF；
（2）求证：EF⊥BC．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4，AD＝2，求⊙O的半径．
3．如图，AB，CD是⊙O的直径，点F是AD延长线上一点，且CF⊥AB于点E，交⊙O于点G．
（1）求证：∠F＝∠FCB．
（2）若FC＝6，tan∠F＝，求⊙O的直径．
4．如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
5．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE与点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝3，AC＝4，求CE的长．
6．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．
7．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
8．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝ 时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝ 时，四边形ABCD为正方形．
9．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
11．如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）连接AD，BD，判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求弦CD的长．
12．如图，点E为⊙O弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C的弦CF∥BD交AB于点G．求证∠AGF＝∠F．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，点E为BC边上一点，以BE为直径的半圆恰好经过点D，且交线段CD于点F，连接BD，BF．
（1）求证：BF＝BA；
（2）若AF＝6，cosA＝．求直径BE的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，CO的延长线交⊙O于点F，AF，CD的延长线交于点G．
（1）求证：∠G＝∠CDB．
（2）若tan∠G＝，DG＝4，求⊙O的半径．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G是弧BC上一点，连结BC，AG，GD，AG分别交CD，BC于点E，F．已知AE＝CE．
（1）求证：C是弧AG的中点．
（2）若AB＝13，tanD＝，求DG的长．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙的直径，D为⊙O上任意一点，连接AD交BC于点F，过A作EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：BE＝CD；
（2）填空：①当∠EAB＝ °时，四边形ABDC是正方形．
②若四边形ABDC的面积为6，则AD的长为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F，sin∠CFD＝，求线段AE的长．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠BAC＝2∠CBF；
（2）若AB＝3，CF＝2，求tan∠CBF．
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，DC＝2AD．以DC为直径作半圆O，交BC于点E，且BD＝2BE＝2．连接OB，过点D作DF⊥OB交于点F，垂足为G，连接BF．
（1）求⊙O的半径R；
（2）求证：∠DBF＝2∠ABD．
参考答案
1．证明：（1）∵AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∵AF＝FD，
∴EF＝AD＝AF．
（2）∵EF＝AF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A＝∠C，
∴∠AEF＝∠C，
∵∠AEF+∠FED＝90°，∠FED＝∠CEG，
∴∠C+∠CEG＝90°，
∴∠CGE＝90°，
∴EF⊥BC．
2．（1）证明：∵AB是⊙O直，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，
即点D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
∵DC＝BD，DE＝4，
∴DE＝BD＝4，
在Rt△ADB中，AD＝2，
AB＝＝＝2，
∴⊙O 的半径为：＝．
3．（1）证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DAC＝90°，
∴AF⊥AC，BC⊥AC，
∴AF∥BC，
∴∠F＝∠FCB；
（2）解：∵CF⊥AB，
∴GE＝CE，∠ACF+∠BAC＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠BAC，
令GE＝CE＝x，
∵tan∠F＝，
∴tan∠BAC＝＝，
∴AE＝2x，
∵tan∠F＝，
∴EF＝4x，
∵FC＝6，
∴EF＝6﹣x，
∴6﹣x＝4x，
∴x＝，
即CE＝，AE＝，
设OC＝r，
在Rt△COE中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝+，
解得，r＝，
故⊙O的直径为3．
4．解：（1）DE＝DC，理由如下：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，
∴＝，
∴DE＝BD，
∴DE＝DC；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，
设⊙O的半径为r，
则AB＝2r，CE＝2r﹣2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
在Rt△CBE中，BE2＝BC2﹣CE2，
∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，
∵BD＝2，BC＝2BD，
∴BC＝4，
∴（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣3（舍去），
∴2r＝8，
即⊙O的直径为8．
5．（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴＝，
∵C是弧BD的中点，
∴＝，
∴＝，
∴∠1＝∠2，
∴CF＝BF；
（2）解：∵C是弧BD的中点，CD＝3，
∴BC＝CD＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴AB CE＝AC BC，
∴CE＝＝＝．
6．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AC＝2，
∴AH＝AC＝，
∴OA＝＝＝2，
故⊙O的半径为2；
（2）AB+BC＝BM，理由如下：
在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE（SAS），
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
7．（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．
（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．
8．证明：（1）∵，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠CDE＝∠ABC，
在△CDE和△ABC中，，
∴△CDE≌△ABC（AAS）；
（2）如图，①连接AF，
∵AC是直径，
∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，
∵四边形OCFD是菱形，
∴DF∥AC，OD∥CE，
∵OA＝OC，
∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵DF∥AC，
∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵∠AFC＝90°，
∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
∵AC＝CE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠E＝60°；
故答案为：60°；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵AC＝CE，CD⊥AE，
∴∠DCE＝∠ACD＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形．
∴∠E＝45°．
故答案为：45°．
9．（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
10．（1）证明：连接AC，CD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD；
（2）由（1）可知＝，
∴OC⊥AD，
又∵AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴OE＝r﹣2，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
11．解：（1）△ABD为等腰直角三角形；
理由如下：如图，连接AD、BD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形；
（2）过A点作AH⊥CD于H，如图，
由 （1）△ABD为等腰直角三角形
∴AD＝AB＝10＝5厘米；
在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝AC＝6＝3厘米，
在Rt△ADH中，DH＝＝4厘米，
∴CD＝CH+DH＝34＝7厘米．
12．证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC+∠BDC＝90°，
∵点E为⊙O弦CD的中点，AB是过点E的直径，
∴AB⊥CD，
∴∠B+∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠B，
∵CF∥BD，
∴∠AGF＝∠B，
∴∠AGF＝∠ADC，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠F，
∴∠AGF＝∠F．
13．（1）证明：连接DE，
∵∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BE是直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠DBE＝90°，
∵∠DBA+∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠DBA＝∠A，
∵∠DEB＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠A，
∴BF＝BA；
（2）解：过点B作BH⊥AF于点F，
由（1）知，BF＝BA，
∴AH＝AF＝3，
∵cosA＝，
∴AB＝＝＝4，
∴BH＝＝＝，
由（1）得，∠DEB＝∠A，
∴cos∠DEB＝cosA＝，
设DE＝3x，则BE＝4x，BD＝x，
∴AD＝BD＝x，
在Rt△BDH中，BD2＝DH2+BH2，
即＝+，
解得，x＝，
∴BE＝4x＝．
14．（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OA＝OF，
∴∠GAE＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠AFC，∠GAE+∠G＝90°，∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠G＝∠CDB．
（2）由（1）知，∠G＝∠CDB，
∴tan∠CDB＝tanG＝，
∴＝，
设BE＝x，则DE＝2x，GE＝2x+4，
∵＝，
∴AE＝x+2，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，∠CDB+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠CDB＝∠G，
∴tan∠DAE＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2，
∴AB＝AE+BE＝x+2+x＝6，
∴⊙O的半径为3．
15．（1）证明：连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴＝，
∴＝，
∴C是弧AG的中点；
（2）解：如（1）图，
由（1）得，＝＝，
∴OC⊥AG，∠ACD＝∠D，
∵tanD＝，
∴tanB＝tanD＝tan∠ACH＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴＝＝，
∴AH＝CH，BH＝CH，
∵AB＝13，
∴AH+BH＝CH+CH＝13，
∴CH＝6＝DH，
∴AH＝4，BH＝9，
∴AC＝＝2，
∵OC＝，
∴cos∠HCO＝＝，
∵∠HCO+∠COA＝∠OAE+∠COA＝90°，
∴∠HCO＝∠OAE，
∴cos∠OAE＝cos∠HCO＝，
∴tan∠OAE＝tan∠HCO＝，
∴EH＝AH tan∠OAE＝4×＝，
∴DE＝6+＝，CE＝6﹣＝，
∵∠ACD＝∠D，
∴AC∥DG，
∴△AEC∽△GED，
∴＝＝，
∴DG＝AC＝．
16．（1）证明：∵BC为ΘO直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵EA⊥AD，
∴∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
（2）解：①当∠EAB＝45°时，四边形ABDC是正方形．
理由：由（1）知，∠EAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是正方形．
故答案为：45；
②由（1）知，△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，S△ABE＝S△ADC，
∴S△AED＝S四边形ABDC＝6，
∴ AD2＝6，
∴AD＝2，
故答案为：2．
17．解：连接OD，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°
∵AB＝AC＝12，
∴OA＝OC＝OD＝6，
在Rt△ODF，sin∠OFD＝＝，
∴OF＝10，
∴AF＝16，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE＝＝，
∴AE＝×16＝．
18．解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
19．解：（1）连接AE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC，
∵AB为⊙O直径，BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线，
∴∠BAE+∠ABE＝∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠BAC＝2∠CBF；
（2）连接BD，
∵AB为⊙O直径，
∴AF⊥BD，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABD+∠DBF＝90°，
∴∠BAC＝∠DBF，
由（1）知∠BAC＝2∠CBF，
∴∠DBF＝2∠CBF，
∴∠DBC＝∠CBF，
∵AB＝AC＝3，CF＝2，
∴AF＝AC+CF＝5，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∵ AB BF＝ AF BD，
∴BD＝＝＝，
在Rt△DBF中，DF＝＝＝，
∴CD＝DF﹣CF＝，
在Rt△DBC中，tan∠DBC＝＝＝，
∴tan∠CBF＝tan∠DBC＝．
20．（1）解：连接DE，
∵DC为⊙O的直径，BD⊥AC，
∴∠CED＝∠BDC＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BED＝∠BDC，
又∵∠DBE＝∠CBD，
∴△BED∽△BDC，
∴＝，
∵BD＝2BE＝2，
∴BC＝4，
在Rt△BDC中，DC2＝BC2﹣BD2，
∴DC＝2，
即2R＝2，
∴R＝；
（2）证明：连接DE、OF，
∵OF＝OD，OG⊥DF，
∴DG＝FG，
在△BGD和△BGF中，
，
∴△BGD≌△BGF（SAS），
∴∠DBO＝∠FBO＝∠DBF，
∵DC＝2AD，DC＝2DO，
∴AD＝DO，
∵BD⊥AC，
∴BA＝BO，
∴BD是△ABO的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBO，
∴∠DBF＝2∠ABD．
解答题专题训练（附答案）
1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条互相垂直的弦，垂足为点E，F为AD的中点，连接FE并延长交BC于点G．
（1）求证：EF＝AF；
（2）求证：EF⊥BC．
2．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．
（1）求证：D是BC的中点；
（2）若DE＝4，AD＝2，求⊙O的半径．
3．如图，AB，CD是⊙O的直径，点F是AD延长线上一点，且CF⊥AB于点E，交⊙O于点G．
（1）求证：∠F＝∠FCB．
（2）若FC＝6，tan∠F＝，求⊙O的直径．
4．如图，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于点E、D，连接ED、BE．
（1）试判断DE与DC是否相等，并说明理由；
（2）如果BD＝2，AE＝2，求⊙O的直径．
5．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE与点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝3，AC＝4，求CE的长．
6．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．
7．如图，在⊙O中，AB为⊙O直径，直线MN（在直径AB上方）交⊙O于C、D两点，且MN∥AB，连接CB，DB；点P为直径AB下方⊙O上一点，连接DP，BP．
（1）求证：∠BDC+∠BCN＝90°；
（2）若tanP＝，⊙O半径为5，求CD的长．
8．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．
（1）求证：△CDE≌△ABC；
（2）若AC为⊙O的直径，填空：
①当∠E＝ 时，四边形OCFD为菱形；
②当∠E＝ 时，四边形ABCD为正方形．
9．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
10．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，OC交AD于点E．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若CE＝2，AD＝8，求⊙O的半径．
11．如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于D．
（1）连接AD，BD，判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求弦CD的长．
12．如图，点E为⊙O弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C的弦CF∥BD交AB于点G．求证∠AGF＝∠F．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，点E为BC边上一点，以BE为直径的半圆恰好经过点D，且交线段CD于点F，连接BD，BF．
（1）求证：BF＝BA；
（2）若AF＝6，cosA＝．求直径BE的长．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接BD，CO的延长线交⊙O于点F，AF，CD的延长线交于点G．
（1）求证：∠G＝∠CDB．
（2）若tan∠G＝，DG＝4，求⊙O的半径．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，G是弧BC上一点，连结BC，AG，GD，AG分别交CD，BC于点E，F．已知AE＝CE．
（1）求证：C是弧AG的中点．
（2）若AB＝13，tanD＝，求DG的长．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC为⊙的直径，D为⊙O上任意一点，连接AD交BC于点F，过A作EA⊥AD交DB的延长线于E，连接CD．
（1）求证：BE＝CD；
（2）填空：①当∠EAB＝ °时，四边形ABDC是正方形．
②若四边形ABDC的面积为6，则AD的长为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F，sin∠CFD＝，求线段AE的长．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．
（1）求∠ADB的度数；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．
19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠BAC＝2∠CBF；
（2）若AB＝3，CF＝2，求tan∠CBF．
20．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，DC＝2AD．以DC为直径作半圆O，交BC于点E，且BD＝2BE＝2．连接OB，过点D作DF⊥OB交于点F，垂足为G，连接BF．
（1）求⊙O的半径R；
（2）求证：∠DBF＝2∠ABD．
参考答案
1．证明：（1）∵AB⊥CD，
∴∠AED＝90°，
∵AF＝FD，
∴EF＝AD＝AF．
（2）∵EF＝AF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A＝∠C，
∴∠AEF＝∠C，
∵∠AEF+∠FED＝90°，∠FED＝∠CEG，
∴∠C+∠CEG＝90°，
∴∠CGE＝90°，
∴EF⊥BC．
2．（1）证明：∵AB是⊙O直，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴DB＝DC，
即点D是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵∠B＝∠E，
∴∠C＝∠E，
∴DE＝DC，
∵DC＝BD，DE＝4，
∴DE＝BD＝4，
在Rt△ADB中，AD＝2，
AB＝＝＝2，
∴⊙O 的半径为：＝．
3．（1）证明：∵AB，CD是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DAC＝90°，
∴AF⊥AC，BC⊥AC，
∴AF∥BC，
∴∠F＝∠FCB；
（2）解：∵CF⊥AB，
∴GE＝CE，∠ACF+∠BAC＝∠ACF+∠F＝90°，
∴∠F＝∠BAC，
令GE＝CE＝x，
∵tan∠F＝，
∴tan∠BAC＝＝，
∴AE＝2x，
∵tan∠F＝，
∴EF＝4x，
∵FC＝6，
∴EF＝6﹣x，
∴6﹣x＝4x，
∴x＝，
即CE＝，AE＝，
设OC＝r，
在Rt△COE中，OC2＝OE2+CE2，
即r2＝+，
解得，r＝，
故⊙O的直径为3．
4．解：（1）DE＝DC，理由如下：
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴∠CAD＝∠BAD，DC＝BD，
∴＝，
∴DE＝BD，
∴DE＝DC；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝2，
设⊙O的半径为r，
则AB＝2r，CE＝2r﹣2，
在Rt△ABE中，BE2＝AB2﹣AE2，
在Rt△CBE中，BE2＝BC2﹣CE2，
∴AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，
∵BD＝2，BC＝2BD，
∴BC＝4，
∴（2r）2﹣22＝﹣（2r﹣2）2，
∴r＝4或r＝﹣3（舍去），
∴2r＝8，
即⊙O的直径为8．
5．（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴＝，
∵C是弧BD的中点，
∴＝，
∴＝，
∴∠1＝∠2，
∴CF＝BF；
（2）解：∵C是弧BD的中点，CD＝3，
∴BC＝CD＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴AB CE＝AC BC，
∴CE＝＝＝．
6．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AC＝2，
∴AH＝AC＝，
∴OA＝＝＝2，
故⊙O的半径为2；
（2）AB+BC＝BM，理由如下：
在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE（SAS），
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
7．（1）证明：连接CA．
∵，
∴∠BDC＝∠CAB，
∵MN∥AB，
∴∠BCN＝∠CBA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∴∠BDC+∠BCN＝90°．
（2）解：连接AD，过B作BE⊥MN交于E．
∵，
∴∠P＝∠DAB，
∵AB＝10，
在Rt△ADB中，，
设BD＝4x，AD＝3x，
∵BD2+AD2＝AB2，
∴（4x）2+（3x）2＝102，
∴x＝2，
∴BD＝8，AD＝6，
∵∠BDN＝∠DBA，∠BDN+∠DBN＝∠DBA+∠DAB＝90°，
∴∠DBN＝∠DAB＝∠P，
在Rt△EDB中，，
设DE＝4a，BE＝3a，DE2+BE2＝BD2，
∴（4a）2+（3a）2＝82，
∴，
∴，
∵四边形BCDP为圆内接四边形，
∴∠BCD+∠P＝180°，∠BCD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠P．
在Rt△ECB中，，，
∴．
8．证明：（1）∵，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，
∴∠CDE＝∠ABC，
在△CDE和△ABC中，，
∴△CDE≌△ABC（AAS）；
（2）如图，①连接AF，
∵AC是直径，
∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，
∵四边形OCFD是菱形，
∴DF∥AC，OD∥CE，
∵OA＝OC，
∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵DF∥AC，
∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），
∵∠AFC＝90°，
∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），
∵AC＝CE，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是等边三角形，
∴∠E＝60°；
故答案为：60°；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝45°，
∵AC＝CE，CD⊥AE，
∴∠DCE＝∠ACD＝45°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CE，
∴△ACE是等腰直角三角形．
∴∠E＝45°．
故答案为：45°．
9．（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
10．（1）证明：连接AC，CD，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴＝，
∴AC＝CD；
（2）由（1）可知＝，
∴OC⊥AD，
又∵AD＝8，
∴AE＝AD＝4，
设⊙O的半径为r，
∵CE＝2，
∴OE＝r﹣2，
由勾股定理得：AE2+OE2＝OA2，
即42+（r﹣2）2＝r2，
∴r＝5，
∴⊙O的半径为5．
11．解：（1）△ABD为等腰直角三角形；
理由如下：如图，连接AD、BD，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴，
∴AD＝BD，
∴△ABD为等腰直角三角形；
（2）过A点作AH⊥CD于H，如图，
由 （1）△ABD为等腰直角三角形
∴AD＝AB＝10＝5厘米；
在Rt△ACH中，∵∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝AC＝6＝3厘米，
在Rt△ADH中，DH＝＝4厘米，
∴CD＝CH+DH＝34＝7厘米．
12．证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ADC+∠BDC＝90°，
∵点E为⊙O弦CD的中点，AB是过点E的直径，
∴AB⊥CD，
∴∠B+∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠B，
∵CF∥BD，
∴∠AGF＝∠B，
∴∠AGF＝∠ADC，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠F，
∴∠AGF＝∠F．
13．（1）证明：连接DE，
∵∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠DBA，
∵BE是直径，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEB+∠DBE＝90°，
∵∠DBA+∠DBE＝90°，
∴∠DEB＝∠DBA＝∠A，
∵∠DEB＝∠DFB，
∴∠DFB＝∠A，
∴BF＝BA；
（2）解：过点B作BH⊥AF于点F，
由（1）知，BF＝BA，
∴AH＝AF＝3，
∵cosA＝，
∴AB＝＝＝4，
∴BH＝＝＝，
由（1）得，∠DEB＝∠A，
∴cos∠DEB＝cosA＝，
设DE＝3x，则BE＝4x，BD＝x，
∴AD＝BD＝x，
在Rt△BDH中，BD2＝DH2+BH2，
即＝+，
解得，x＝，
∴BE＝4x＝．
14．（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDE＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD，
∵OA＝OF，
∴∠GAE＝∠AFC＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠AFC，∠GAE+∠G＝90°，∠ADC+∠CDB＝90°，
∴∠G＝∠CDB．
（2）由（1）知，∠G＝∠CDB，
∴tan∠CDB＝tanG＝，
∴＝，
设BE＝x，则DE＝2x，GE＝2x+4，
∵＝，
∴AE＝x+2，
∵∠DAE+∠ADE＝90°，∠CDB+∠ADE＝90°，
∴∠DAE＝∠CDB＝∠G，
∴tan∠DAE＝，
∴＝，
∴＝，
∴x＝2，
∴AB＝AE+BE＝x+2+x＝6，
∴⊙O的半径为3．
15．（1）证明：连接OC，AC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴＝，
∴＝，
∴C是弧AG的中点；
（2）解：如（1）图，
由（1）得，＝＝，
∴OC⊥AG，∠ACD＝∠D，
∵tanD＝，
∴tanB＝tanD＝tan∠ACH＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴＝＝，
∴AH＝CH，BH＝CH，
∵AB＝13，
∴AH+BH＝CH+CH＝13，
∴CH＝6＝DH，
∴AH＝4，BH＝9，
∴AC＝＝2，
∵OC＝，
∴cos∠HCO＝＝，
∵∠HCO+∠COA＝∠OAE+∠COA＝90°，
∴∠HCO＝∠OAE，
∴cos∠OAE＝cos∠HCO＝，
∴tan∠OAE＝tan∠HCO＝，
∴EH＝AH tan∠OAE＝4×＝，
∴DE＝6+＝，CE＝6﹣＝，
∵∠ACD＝∠D，
∴AC∥DG，
∴△AEC∽△GED，
∴＝＝，
∴DG＝AC＝．
16．（1）证明：∵BC为ΘO直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝180°，
又∠ABD+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵EA⊥AD，
∴∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠BAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴BE＝CD；
（2）解：①当∠EAB＝45°时，四边形ABDC是正方形．
理由：由（1）知，∠EAB＝∠CAD，
∴∠CAD＝45°，
∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°，
∴＝，
∴BD＝CD，
∴△ABC，△BCD都是等腰直角三角形，
在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（ASA），
∴AB＝AC＝BD＝CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形ABDC是正方形．
故答案为：45；
②由（1）知，△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD，S△ABE＝S△ADC，
∴S△AED＝S四边形ABDC＝6，
∴ AD2＝6，
∴AD＝2，
故答案为：2．
17．解：连接OD，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°
∵AB＝AC＝12，
∴OA＝OC＝OD＝6，
在Rt△ODF，sin∠OFD＝＝，
∴OF＝10，
∴AF＝16，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE＝＝，
∴AE＝×16＝．
18．解：（1）如图1，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠ADB＝∠ACB＝45°；
（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：
如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，
∵AD∥BF，
∴∠EBF＝∠ADB＝45°，
又∠ABC＝90°，
∴α+β＝45°，
过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°．
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN（SAS），
∴EF＝FN，
在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
19．解：（1）连接AE，
∵AB为⊙O直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠BAC，
∵AB为⊙O直径，BF⊥AB，
∴BF是⊙O的切线，
∴∠BAE+∠ABE＝∠CBF+∠ABE＝90°，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠BAC＝2∠CBF；
（2）连接BD，
∵AB为⊙O直径，
∴AF⊥BD，
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∵BF⊥AB，
∴∠ABD+∠DBF＝90°，
∴∠BAC＝∠DBF，
由（1）知∠BAC＝2∠CBF，
∴∠DBF＝2∠CBF，
∴∠DBC＝∠CBF，
∵AB＝AC＝3，CF＝2，
∴AF＝AC+CF＝5，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，
∵ AB BF＝ AF BD，
∴BD＝＝＝，
在Rt△DBF中，DF＝＝＝，
∴CD＝DF﹣CF＝，
在Rt△DBC中，tan∠DBC＝＝＝，
∴tan∠CBF＝tan∠DBC＝．
20．（1）解：连接DE，
∵DC为⊙O的直径，BD⊥AC，
∴∠CED＝∠BDC＝90°，
∴∠BED＝180°﹣90°＝90°，
∴∠BED＝∠BDC，
又∵∠DBE＝∠CBD，
∴△BED∽△BDC，
∴＝，
∵BD＝2BE＝2，
∴BC＝4，
在Rt△BDC中，DC2＝BC2﹣BD2，
∴DC＝2，
即2R＝2，
∴R＝；
（2）证明：连接DE、OF，
∵OF＝OD，OG⊥DF，
∴DG＝FG，
在△BGD和△BGF中，
，
∴△BGD≌△BGF（SAS），
∴∠DBO＝∠FBO＝∠DBF，
∵DC＝2AD，DC＝2DO，
∴AD＝DO，
∵BD⊥AC，
∴BA＝BO，
∴BD是△ABO的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBO，
∴∠DBF＝2∠ABD．