2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步练习题 （Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步练习题 （Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 486.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-04 20:25:12 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
同步练习题（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝54°，则∠2＝ °．
2．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
3．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝ ．
5．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝ ．
6．如图，点A、B、C均在⊙O上，D是AB的延长线上的一点．若∠CBD＝70°，则∠AOC的大小为 ．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD＝8，点E在BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则⊙O的半径OB＝ ．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
10．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为 ．
11．如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CB为半径画弧，点F是边AD上任一点，连接BF交于点E，则∠DEF＝ °．
12．已知⊙O半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角度数是 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于E，连接OC，BC．
（1）若BE＝4，CD＝16，求OC．
（2）求证：∠ACO＝∠BCD．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求EF的长．
15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．
（1）求证：＝；
（2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长．
16．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
18．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
19．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
20．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
（1）求证：∠CGF＝∠AGD．
（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4．
①求CD的长．
②若，求△CDG与△ADG的面积之比．
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
23．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）若BE＝2，CD＝8，求AD的长．
参考答案
1．解：连接OE，如图，
∵∠AOE＝2∠1＝2×54°＝108°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵∠BOE＝2∠2，
∴∠2＝×72°＝36°．
故答案为：36．
2．解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
3．解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′|＝|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，
∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，
∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|＝＝3cm．
故答案为：3cm．
4．解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB＝＝＝2，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC＝AM＝，
在Rt△COH中，OH＝OC cos60°＝a，CH＝OH＝a，
∴AH＝4﹣a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4﹣a）2+（a）2，
∴a＝2+或2﹣（因为OC＞OB，所以2﹣舍弃），
∴OC＝2+．
故答案为：2+．
5．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
6．解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠P＝∠CBD＝70°，
∴∠AOC＝2∠P＝2×70°＝140°．
故答案为140°．
7．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
8．解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝8，
作OF⊥BD于F，
则BF＝DF＝4，
∵∠BOD＝120°，OB＝OD，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝BF＝，OB＝2OF＝，
故答案为：．
9．解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为．
故答案为：．
10．解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．
故答案为：12．
11．解：连接CE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵CB＝CE＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CED＝∠CDE，
∴∠BED＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠DEF＝180°﹣135°＝45°．
故答案为45．
12．解：如图所示，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝，
在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝，
根据勾股定理得：OC＝＝＝，即OC＝AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
同理∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOB与∠ADB都对，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∵大角∠AOB＝270°，
∴∠AEB＝135°，
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
13．（1）解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于E，
∴CE＝CD＝8，
设OC＝OB＝x，
∴OE＝x﹣4，
∵∠CEO＝90°，
∴OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
∴x＝10，
∴OC＝10；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BCD＝∠BAC
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD．
14．解：（1）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝∠ACD＝30°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝60°；
（2）连接OD．
∵OA＝OD，∠OAD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，OA＝OD＝2，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EF，
∵DE＝OD sin60°＝，
∴EF＝．
15．（1）证明：连接BD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴＝；
（2）解：连接DO延长DO交BC于点T．
∵＝，
∴DT⊥BC，
∴BT＝CT＝4，
∴DT＝＝＝8，
设OD＝OC＝r，
在Rt△OTC中，r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴AC＝10，
∴AD＝＝＝2．
16．（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
17．（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
18．（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，
∴DE＝＝（cm）．
19．解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠A+∠E＝90°，
∵∠E＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠E＝66°，
∴∠BOC＝2∠A＝132°；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
在△OBC中，∠COB＝，
∵∠E＝90°﹣∠A，∠A＝∠BOC，
∴∠OCB＝∠E，
∵∠COD＝∠EOC，
∴△COD∽△EOC，
∴，
∵OB＝2，OD＝1，
∴，
解得OE＝4，
∴DE＝OE﹣OD＝3．
20．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
21．（1）证明：连接BG，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠DGB＝∠BGC，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴∠AGB﹣∠DGB＝∠FGB﹣∠CGB，
∴∠CGF＝∠AGD；
（2）解：①连接BD，BC，
∵∠∠DGF＝120°，
∴∠AGD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ABD＝＝，
∵AB＝4，
∴CD＝AD＝2；
②∵∠DAG＝∠FAD，∠AGD＝∠ADC，
∴△ADG∽△AFD，
∴，
∵，AD＝CD＝2，
∴＝，DF＝3，AF AG＝AD2＝12，
∴CF＝DF﹣CD＝，
∵∠GCF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴＝，
∴FG FA＝FC FD＝＝9，
∴＝，即＝，
∴，
∵＝，
∴，
∴＝．
22．（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵ADCG在⊙O上，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图2，连接BG，AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，
∵DG平分∠AGC，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，
∴∠CGF＝∠AGD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EAF＝30°+15°＝45°，
Rt△AEF中，AE＝EF，
∵AF＝，
∴AE＝EF＝，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝1，
∴DC＝2DE＝2．
23．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝．
24．（1）证明：∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠AGD＝∠ADC，
∵四边形ABCG是圆内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：连接OD，如图，
∵CD⊥AB，CD＝8
∴DE＝CE＝4，
在Rt△DOE中，∵DO2＝OE2+ED2，
∴DO2＝（OD﹣2）2+42，解得OD＝5，
∴AE＝10﹣2＝8，
∴AD＝．
同步练习题（附答案）
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝54°，则∠2＝ °．
2．如图，劣弧与的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB＝60°，求∠CAB的度数 ．
3．如图，⊙O的直径CD为6cm，OA，OB都是⊙O的半径，∠AOD＝2∠AOB＝60°，点P在直径CD上移动，则AP+BP的最小值为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点，且与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在第二象限⊙M上，且∠AOC＝60°，则OC＝ ．
5．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝ ．
6．如图，点A、B、C均在⊙O上，D是AB的延长线上的一点．若∠CBD＝70°，则∠AOC的大小为 ．
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为 度．
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且AB＝AD＝8，点E在BC的延长线上，若∠DCE＝60°，则⊙O的半径OB＝ ．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点，则线段CD长的最小值为 ．
10．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为8，则GE+FH的最大值为 ．
11．如图，以正方形ABCD的顶点C为圆心，CB为半径画弧，点F是边AD上任一点，连接BF交于点E，则∠DEF＝ °．
12．已知⊙O半径为1，AB是⊙O的一条弦，且AB＝，则弦AB所对的圆周角度数是 ．
13．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于E，连接OC，BC．
（1）若BE＝4，CD＝16，求OC．
（2）求证：∠ACO＝∠BCD．
14．如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数．
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求EF的长．
15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC为⊙O的直径，∠ACD与∠BCD互余．
（1）求证：＝；
（2）若CD＝4，BC＝8，求AD的长．
16．如图，△ABC与⊙O交于D，E两点，AB是直径且长为12，OD∥BC．
（1）若∠B＝40°，求∠A的度数；
（2）证明：CD＝DE；
（3）若AD＝4，求CE的长度．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点．
（2）若∠BOD＝75°，求∠CED的度数．
18．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的长．
19．如图，已知EF过圆O的圆心O，且弦AB⊥EF，连接AE交⊙O于点C，连接BC交EF于点
D，连接OB、OC．
（1）若∠E＝24°，求∠BOC的度数；
（2）若OB＝2，OD＝1，求DE的长．
20．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
（1）求证：∠CGF＝∠AGD．
（2）已知∠DGF＝120°，AB＝4．
①求CD的长．
②若，求△CDG与△ADG的面积之比．
22．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）当DG平分∠AGC，∠ADG＝45°，AF＝，求弦DC的长．
23．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD．
（1）求证：四边形OBDC是菱形；
（2）若∠ABO＝15°，OB＝2，求弦AC长．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F．
（1）求证：∠FGC＝∠AGD．
（2）若BE＝2，CD＝8，求AD的长．
参考答案
1．解：连接OE，如图，
∵∠AOE＝2∠1＝2×54°＝108°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣108°＝72°，
∵∠BOE＝2∠2，
∴∠2＝×72°＝36°．
故答案为：36．
2．解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，
∴两弧所对圆心角相差20°，
∴2∠A﹣2∠C＝20°，
∴∠A﹣∠C＝10°…①；
∵∠CEB是△AEC的外角，
∴∠A+∠C＝∠CEB＝60°…②；
①+②，得：2∠A＝70°，即∠A＝35°．
故答案为：35°．
3．解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B就是最小值（P此时为A′B与CD的交点），
∵|OA|＝|OB|＝|OA′|＝|CD|＝3cm且∠AOD＝2∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∵A关于CD的对称点A′，
∴∠DOA′＝∠AOD＝60°，
∴∠BOA′＝∠BOD+∠DOA′＝90°，
∴△BOA′为等腰直角三角形，
∴AP+BP的最小值为：|A′B|＝＝3cm．
故答案为：3cm．
4．解：连接AC，CM，AB，过点C作CH⊥OA于H，设OC＝a．
∵∠AOB＝90°，
∴AB是直径，
∵A（﹣4，0），B（0，2），
∴AB＝＝＝2，
∵∠AMC＝2∠AOC＝120°，
∴AC＝AM＝，
在Rt△COH中，OH＝OC cos60°＝a，CH＝OH＝a，
∴AH＝4﹣a，
在Rt△ACH中，AC2＝AH2+CH2，
∴15＝（4﹣a）2+（a）2，
∴a＝2+或2﹣（因为OC＞OB，所以2﹣舍弃），
∴OC＝2+．
故答案为：2+．
5．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
6．解：作对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBD＝180°，
∴∠P＝∠CBD＝70°，
∴∠AOC＝2∠P＝2×70°＝140°．
故答案为140°．
7．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°，
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°，
故答案为：50．
8．解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝60°，
∴∠BOD＝2∠A＝120°，
∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝8，
作OF⊥BD于F，
则BF＝DF＝4，
∵∠BOD＝120°，OB＝OD，
∴∠OBF＝30°，
∴OF＝BF＝，OB＝2OF＝，
故答案为：．
9．解：取AB的中点E，过点E作直线y＝x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴OE＝2，
∴ED＝＝，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为．
故答案为：．
10．解：如图1，连接OA、OB，
，
∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为8，
∴AB＝OA＝OB＝8，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝4，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：8×2＝16，
∴GE+FH的最大值为：16﹣4＝12．
故答案为：12．
11．解：连接CE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，
∵CB＝CE＝CD，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CED＝∠CDE，
∴∠BED＝（360°﹣90°）＝135°，
∴∠DEF＝180°﹣135°＝45°．
故答案为45．
12．解：如图所示，
∵OC⊥AB，
∴C为AB的中点，即AC＝BC＝AB＝，
在Rt△AOC中，OA＝1，AC＝，
根据勾股定理得：OC＝＝＝，即OC＝AC，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠AOC＝45°，
同理∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°，
∵∠AOB与∠ADB都对，
∴∠ADB＝∠AOB＝45°，
∵大角∠AOB＝270°，
∴∠AEB＝135°，
∴弦AB所对的圆周角为45°或135°．
故答案为：45°或135°．
13．（1）解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥弦CD于E，
∴CE＝CD＝8，
设OC＝OB＝x，
∴OE＝x﹣4，
∵∠CEO＝90°，
∴OC2＝OE2+CE2，
∴x2＝（x﹣4）2+82，
∴x＝10，
∴OC＝10；
（2）证明：∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BCD＝∠BAC
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD．
14．解：（1）连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝∠ACD＝30°，
∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝60°；
（2）连接OD．
∵OA＝OD，∠OAD＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，OA＝OD＝2，
∵AB⊥CD，
∴DE＝EF，
∵DE＝OD sin60°＝，
∴EF＝．
15．（1）证明：连接BD．
∵AC是直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠DAC＝∠BCD，
∵∠DAC＝∠DBC，
∴∠DBC＝∠BCD，
∴＝；
（2）解：连接DO延长DO交BC于点T．
∵＝，
∴DT⊥BC，
∴BT＝CT＝4，
∴DT＝＝＝8，
设OD＝OC＝r，
在Rt△OTC中，r2＝（8﹣r）2+42，
解得r＝5，
∴AC＝10，
∴AD＝＝＝2．
16．（1）解：∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B＝40°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A，
∴∠A＝；
（2）证明：∵四边形ABED内接于⊙O，
∴∠CDE＝∠B，∠DEC＝∠A，
∴∠CDE＝∠AOD，
∵∠C＝180°﹣∠CDE﹣∠DEC，
∠ADO＝180°﹣∠A﹣∠AOD，
∴∠C＝∠ADO＝∠A，
∴∠C＝∠DEC，
∴CD＝DE；
（3）解：连接OE，AE，由（2）得AB＝BC＝12，
∴∠AOE＝2∠B，∠B＝∠AOD，
∴∠AOE＝2∠AOD，
∴∠AOD＝∠DOE，
∴AD＝DE，
∴AC＝2AD＝8，
∵AB是直径：∠AEB＝90°，
设CE＝x，则BE＝12﹣x，
∵AC2﹣CE2＝AB2﹣BE2，
∴82﹣x2＝122﹣（12﹣x）2，
解得：，
∴CE＝．
17．（1）证明：连接AE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
即点E为BC的中点；
（2）解：∵∠BOD＝75°，
∴∠DAB＝∠BOD＝37.5°，
∵∠DAB+∠DEB＝180°，∠CED+∠DEB＝180°，
∴∠CED＝∠DAB＝37.5°．
18．（1）证明：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，
∴∠ABC＝∠4，
∴AB＝AC；
（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB，
∴，
∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，
∴AE＝＝，
∴DE＝＝（cm）．
19．解：（1）∵EF⊥AB，
∴∠A+∠E＝90°，
∵∠E＝24°，
∴∠A＝90°﹣∠E＝66°，
∴∠BOC＝2∠A＝132°；
（2）∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
在△OBC中，∠COB＝，
∵∠E＝90°﹣∠A，∠A＝∠BOC，
∴∠OCB＝∠E，
∵∠COD＝∠EOC，
∴△COD∽△EOC，
∴，
∵OB＝2，OD＝1，
∴，
解得OE＝4，
∴DE＝OE﹣OD＝3．
20．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
21．（1）证明：连接BG，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴∠DGB＝∠BGC，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∴∠AGB﹣∠DGB＝∠FGB﹣∠CGB，
∴∠CGF＝∠AGD；
（2）解：①连接BD，BC，
∵∠∠DGF＝120°，
∴∠AGD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠AGD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴sin∠ABD＝＝，
∵AB＝4，
∴CD＝AD＝2；
②∵∠DAG＝∠FAD，∠AGD＝∠ADC，
∴△ADG∽△AFD，
∴，
∵，AD＝CD＝2，
∴＝，DF＝3，AF AG＝AD2＝12，
∴CF＝DF﹣CD＝，
∵∠GCF＝∠DAF，∠F＝∠F，
∴△FCG∽△FAD，
∴＝，
∴FG FA＝FC FD＝＝9，
∴＝，即＝，
∴，
∵＝，
∴，
∴＝．
22．（1）证明：如图1，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴＝，
∴AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵ADCG在⊙O上，
∴∠CGF＝∠ADC，
∵∠AGD＝∠ACD，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：如图2，连接BG，AC，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴DE＝CE，
∵DG平分∠AGC，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠FGC＝∠AGD，
∴∠AGD＝∠CGD＝∠FGC，
∵∠AGD+∠CGD+∠FGC＝180°，
∴∠CGF＝∠AGD＝60°，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∵AB⊥CD，
∴∠CAE＝∠DAE＝30°，
∵∠ADG＝45°，
∴∠CDG＝∠CAG＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EAF＝30°+15°＝45°，
Rt△AEF中，AE＝EF，
∵AF＝，
∴AE＝EF＝，
Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝1，
∴DC＝2DE＝2．
23．（1）证明：连接OD，
由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴∠BOD＝∠COD＝60°，
∵OB＝OD，OC＝OD，
∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，
∴四边形OBDC是菱形；
（2）解连接OA，
∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，
∴AC＝．
24．（1）证明：∵弦CD⊥AB，
∴，
∴∠AGD＝∠ADC，
∵四边形ABCG是圆内接四边形，
∴∠FGC＝∠ADC，
∴∠FGC＝∠AGD；
（2）解：连接OD，如图，
∵CD⊥AB，CD＝8
∴DE＝CE＝4，
在Rt△DOE中，∵DO2＝OE2+ED2，
∴DO2＝（OD﹣2）2+42，解得OD＝5，
∴AE＝10﹣2＝8，
∴AD＝．