2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形 同步练习题（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步练习题（附答案）
1．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（　　）
A．36° B．45° C．54° D．60°
2．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠DAE的度数是（　　）
A．36° B．26° C．30° D．45°
3．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（　　）
A．36° B．60° C．72° D．75°
4．若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（　　）
A．4 B．4 C．2 D．2
5．正十边形的中心角是（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
7．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝1，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（　　）
A．2 B．4 C． D．
8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是（　　）
A．144° B．130° C．129° D．108°
9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，则∠PDG等于（　　）
A．72° B．54° C．36° D．64°
12．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）
A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°
13．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在正六边形ABCDEF中，连接CE，AD，AD与CE交于点O，连接OB，若正六边形边长为4，则OB的长为 　 　．
15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是 　 　．
16．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 　 　．
17．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，求∠BDF的度数．
18．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，求该圆的内接正三角形ACE的面积．
19．如图，⊙O的内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BE相交于点F．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求证：四边形CDEF为菱形．
20．已知如图，边长为2的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．求弦DE的长．
21．如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．
（1）①∠MPN＝　 　；
②求证：PM+PN＝3a．
（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON，求证：OM＝ON．
22．如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
参考答案
1．解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PB，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣∠P′BC＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
2．解：如图，连接AD，
∵正五边形ABCDE
∴∠DEA＝＝108°，EA＝ED，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣108°）＝36°，
故选：A．
3．解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：C．
4．解：连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴OA＝OB＝AB＝4，
即正六边形ABCDEF的外接圆的半径是4，
故选：B．
5．解：正十边形的中心角为：＝36°．
故选：B．
6．解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形．
OC＝OA sinA＝×＝，
则S△OAB＝AB OC＝××＝，
则正六边形的面积为6×＝3．
故选：C．
7．解：如图所示，连接OE、OF，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EOF＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠OEM＝60°，
∴OM＝OE sin∠OEM，
∴OE＝＝，
∵∠OEN＝30°，
∴ON＝OE＝，EN＝1．
∴CE＝2EN＝2．
∴S△ACE＝．
故选：D．
8．解：正五边形的内角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠E＝∠D＝108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE＝∠OCD＝90°，
∴∠AOC＝540°﹣90°﹣90°﹣108°﹣108°＝144°，
故选：A．
9．解：连接OB、OC，如图，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴所对的圆心角为90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠BPC＝∠BOC＝45°．
故选：B．
10．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
11．解：连接OC，OD．
在正五边形ABCDE中，∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣36°＝54°，
故选：B．
12．解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选：A．
13．解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
14．解：在正六边形ABCDEF中，BC＝CD＝DE＝4，∠BCD＝∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝∠DEC＝30°，
∵AD⊥CE，
∴OC＝OE＝CD cos30°＝2，
∵∠BCO＝∠BCD﹣∠DCO＝90°，
∴OB＝＝＝2，
故答案为：2．
15．解：在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝120°，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣120°）＝30°，
故答案为：30°．
16．解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
17．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴＝，＝∠BAE＝108°，
∴＝，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°．
18．解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴∠OCM＝60°，
∴OM＝OC sin∠OCM，
∴OC＝＝．
∵∠OCN＝30°，
∴ON＝OC＝，CN＝2，
∴CE＝2CN＝4，
∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3××4×＝4．
19．解：（1）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝＝108°，
∴∠BAC＝∠ACB＝＝36°；
（2）由（1）可得∠ABE＝∠AEB＝36°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
在△BCF中，∠BFC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴BC＝CF，
同理可得AE＝EF，
∴CD＝DE＝EF＝FC，
∴四边形CDEF为菱形．
20．解：连接CE，作EF⊥PF
∵∠DAP＝∠PCE，∠APD＝∠CPE，
∴△APD∽△CPE，
∴＝，
∵P为边CD的中点，
∴DP＝PC＝1，
∴AP＝＝＝，
∴＝，
∴PE＝，
∵FE∥AD
∴△APD∽△EPF，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝，
∴EF＝，
∴DE＝＝．
21．解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°
又∴PM∥AB，PN∥CD，
∴∠BPM＝60°，∠NPC＝60°，
∴∠MPN＝180°﹣∠BPM﹣∠NPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
故答案为：60°．
②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，
MP+PN＝MG+GH+HP+PL+LK+KN，
∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB，PN∥CD，
∴∠AMG＝∠BPH＝∠CPL＝∠DNK＝60°，
∴GM＝AM，HP＝BP，PL＝PC，NK＝ND，
∵AM＝BP，PC＝DN，
∴MG+HP+PL+KN＝a，GH＝LK＝a，
∴MP+PN＝MG+GH+HP+PL+LK+KN＝3a．
（2）如图2，连接OE，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AB∥MP，PN∥DC，
∴AM＝BP＝EN，
∵∠MAO＝∠OEN＝60°，OA＝OE，
在△ONE和△OMA中，
，
∴△OMA≌△ONE（SAS），
∴OM＝ON．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴＝，
∵E是的中点，
∴＝，
∴+＝+，即＝，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，AO，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠AED＝∠AOD＝45°，
∴∠AED＝∠F＝45°，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EF＝DE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DE＝DE，
∴DE＝+1，
∴S四边形AECD＝S△DEF＝DE2＝+．