2021-2022学年苏科版数学九年级下册5.2二次函数图像和性质基础练习 （Word版含解析）

5.2二次函数图像和性质基础练习
一、单选题
1.已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，则下列说法中错误的是（ ）
A. a确定抛物线的形状与开口方向
B. 若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
C. 若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
D. 若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变
2.将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是（ ）
A. y=（x+2）2+1 B. y=（x+2）2﹣1 C. y=（x﹣2）2+1 D. y=（x﹣2）2﹣1
3.二次函数 的图象经过点（-1,0），则代数式 的值为（ ）
A. 0 B. -2 C. -1 D. 2
4.抛物线 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.二次函数y=-3（x+1）2-2的顶点坐标是（　　）
A. （-1，-2） B. （-1，2） C. （1，-2） D. （1，2）
6.如果点M（-2，y1），N（-1，y2）在抛物线y=－x2+2x上，那么下列结论正确的是（ ）
A. y1＜y2 B. y1＞y2 C. y1≤y2 D. y1≥y2 ．
7.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）a，b同号；（2）b2﹣4ac＞0； （3）4a+b+c＞0；（4）当y=﹣2时，x的值只能取0；（5）当x=1和x=3时，函数值相等．
其中正确的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8.对于二次函数y＝ （x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下 B. 对称轴是直线x＝﹣2 C. 顶点坐标是（2，1） D. 与x轴有两个交点
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣ ， y1）、C（﹣ ， y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2 ，
其中正确结论是（　　）
A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③
10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=﹣1，下列结论：（1）ac＜0；（2）4ac＜b2；（3）2a+b=0；（4）a﹣b+c＞2，其中正确的结论共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
11.抛物线 的顶点坐标是________.
12.二次函数 ，∵ ________，∴函数有最________值.
13.已知二次函数y=x2+bx+3的对称轴为x=2，则b=________
14.二次函数y=2（x-3）2-1的顶点坐标为________．
15.如果将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为 ．
16.抛物线y=ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a= .
17.若抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点的坐标为（0，﹣3），则c= ．
18.已知函数 ，若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为 ．
三、解答题
19.写出抛物线y＝﹣x2+4x的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值.
20.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式：h＝v0t﹣ gt2（0＜t＜4），其中g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，问：这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地面最远？
21.求抛物线y=2x2﹣3x+1的顶点和对称轴．
22.求二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标．
23.已知 +3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴
24.用40cm长的铁丝围成一个扇形，求此扇形面积的最大值．
25.已知，二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图形开口向上，并且经过原点O（0，0），求a的值．
26.将抛物线 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴．
27.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，试判断P，Q的大小关系．
28. 已知在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=-2x +bx+c的图像经过点A（-3,0）和点B（0,6）。（1）求此二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图像向右平移5个单位后的顶点设为C，直线BC与x轴相交于点D,求∠sin∠ABD；（3）在第（2）小题的条件下，连接OC，试探究直线AB与OC的位置关系，并且说明理由。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的几何变换，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；
∴抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c，a确定抛物线的形状与开口方向；
若将抛物线C沿y轴平移，顶点发生了变化，对称轴没有变化，a的值不变，则﹣ 不变，所以b的值不变；
若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a的值不变，
故选D．
【分析】根据平移的性质判断即可．
2.【答案】 C
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线相应的函数表达式是y=（x﹣2）2+1．
故选C．
【分析】由抛物线平移不改变y的值，根据平移口诀“左加右减，上加下减”可知移动后的顶点坐标，再由顶点式可求移动后的函数表达式．
3.【答案】 D
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把（-1，0）代入y=ax2+bx-2，得a-b-2=0，
即a-b=2，
故答案为：D．
【分析】二次函数图像的特点及性质，图形上的点代进去使函数解析式成立。
4.【答案】 B
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：∵ ，
∴顶点坐标为（4,2）；
故答案为：B.
【分析】对于二次函数y=a(x-h)2+k, 当a>0时，图象张口向上，对称轴x=h, 顶点为（h,k） ,有最小值k；当a>0时，图象张口向下，对称轴x=h, 顶点为（h,k） ,有最大值k.
5.【答案】 A
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
【分析】因为顶点式y=a（x-h)2+k，其顶点坐标是（h，k)，对照求二次函数y=-3（x+1)2-2的顶点坐标．
【解答】∵二次函数y=-3（x+1)2-2是顶点式，
∴顶点坐标为（-1，-2)．
故选A．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
6.【答案】 A
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】抛物线y=﹣x2+2x的对称轴是x=﹣ =1，
∵a=﹣1＜0，抛物线开口向下，﹣2＜﹣1＜1，
∴y1＜y2 ．
故答案为：A．
【分析】先求出对称轴，再根据抛物线的开口方向，及二次函数的增减性，即当x＜1时，y随x的增大而增大，就可得出结论。
7.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2＞0，
∴b＜0，
∵a，b异号，故本小题错误；
2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，故本小题正确；
3）∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴﹣ =2，即b=﹣4a．
∵x=﹣1时y=0，
∴a﹣b+c=0，
∴c=﹣5a，
∴4a+b+c=4a﹣4a﹣5a=﹣5a＜0，
∴4a+b+c＜0，故本小题错误；
4）∵抛物线的对称轴为直线x=2，且抛物线与y轴的交点为（0，﹣2）
∴当y=2时，x=0或4，故本小题错误；
5）∵当x=1和x=3距离对称轴x=2的距离相同，
∴当x=1和x=3时，函数值相等，故本小题正确．
故选B．
【分析】（1）根据抛物线开口向上可得出a＞0，再求出抛物线的对称轴方程可对b作出判断；（2）根据抛物线与x轴有两个交点可进行判断；（3）抛物线的对称轴为直线x=2可得出b=﹣4a，再由x=﹣1时y=0可得出a﹣b+c=0，故c=﹣5a，再代入4a+b+c即可得出结论；（4）根据抛物线的对称性可以得出结论；（5）根据1和3关于直线x=2对称可得出结论．
8.【答案】 C
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：二次函数y＝ （x﹣2） 2+1的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
当y＝0时， （x﹣2）2+1＝0，方程没有实数解．
故答案为：C．
【分析】二次函数的顶点式y=a（x﹣h）2+k，当a＞0，抛物线开口向上，当a＜0，抛物线开口向下；对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）。当△0时，抛物线与x轴有两个交点，当△=0时，抛物线与x轴有一个交点，当△<0时，抛物线与x轴没有交点，据此解答即可.
9.【答案】 B
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣ ， y1）、C（﹣ ， y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2 ，
故④正确．
故选B.
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
10.【答案】 C
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由抛物线的开口方向可知：a＜0，
由抛物线与y轴交点可知：c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
由抛物线与x轴有两个交点，可知：△＞0，
即b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
由于抛物线的对称轴为：x=﹣1
∴﹣ =﹣1
∴b=2a
∴2a﹣b=0，故③错误；
由于x=0时，y=2，
且x=﹣1时，此时抛物线可取得最大值，
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞2
故④正确；
故选C.
【分析】由抛物线的图象与性质即可判断．
二、填空题
11.【答案】 （3,1）
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解:由抛物线解析式可知,抛物线顶点坐标为（3,1）,故答案为: （3,1）.
【分析】已知抛物线解析式为顶点式,可直接求出顶点坐标.
12.【答案】 ；小
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵二次函数y=2x2 1中a=2>0，
∴函数有最小值.
故答案为：2，小.
【分析】根据二次函数的开口方向确定最值，当开口向上时有最小值，反之就有最大值.
13.【答案】 ﹣4
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为x=2，
∴﹣ =2，
∴b=﹣4．
【分析】可直接由对称轴公式﹣ =2，求得b的值．
14.【答案】 （3，-1）
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2（x-3）2-1是顶点式，
∴顶点坐标为（3，-1）
故答案为：（3，-1）.
【分析】根据二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），由此即可得出答案.
15.【答案】 y＝2（x+3）2
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2 ，
故答案为y＝2（x+3）2
【分析】根据函数平移的性质：左加右减，上加下减求解即可。
16.【答案】
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点（﹣2，3）代入y=ax2+bx+2得：4a﹣2b+2=3，
2b﹣4a=﹣1，
3b﹣6a=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【分析】先把点（﹣2，3）代入y=ax2+bx+2得：4a﹣2b+2=3，即2b﹣4a=﹣1，再利用等式的性质在两边同乘以 ， 即可解答．
17.【答案】 ﹣3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：将（0，﹣3）代入可得c=﹣3，
故答案为：﹣3．
【分析】将点（0，﹣3）代入即可得．
18.【答案】 3
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】函数 的图象如图：
根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．
故答案为：3．
【分析】画出函数的图像，求使y＝k成立的x值恰好有3个，故直线y=k与抛物线刚好有3个交点，根据图像发现当y=3时与抛物线刚好有3个交点，从而得出答案。
三、解答题
19.【答案】 解： ；
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，4），最大值是4.
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】先将二次函数转化为顶点式，再根据二次函数的性质解答.
20.【答案】 解：由题意可得：h＝20t﹣ ×10t2＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20（0＜t＜4），
即这种爆竹在地面上点燃后，经过2s时间离地面最远.
【考点】根据实际问题列二次函数关系式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】直接根据题意得出二次函数解析式，进而利用配方法求出答案.
21.【答案】 解：∵y=2x2﹣3x+1=2（x﹣ ）2﹣ ，
∴抛物线y=2x2﹣3x+1的顶点坐标为（ ，﹣ ），对称轴是x= ．
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】将抛物线解析式配方为顶点式，可求顶点坐标和对称轴
22.【答案】 解：∵二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5，
∴二次函数的顶点坐标为（3，﹣5）．
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】利用顶点式表达式的特点求解即可．
23.【答案】 解：由题意得 解得 m=-1， 开口向下，顶点坐标 ，对称轴
【考点】二次函数的定义，二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】二次函数中自变量的最高次数为二次且二次项系数不为0，故可求得m的值；从而可求得所给二次函数的解析式，再将解析式配方为顶点式： ， 那么a>0时，抛物线开口向上，a<0时抛物线开口向下；顶点坐标为（h，k）；对称轴为x=h.
24.【答案】 解：设半径为r，弧长为l，则40=2r+l，∴l=40﹣2r，∴S扇形= lr= r （40﹣2r）=﹣r2+20r=﹣（r﹣10）2+100，∴当半径为10时，扇形面积最大，最大值为100cm2 ．
【考点】二次函数的三种形式，扇形面积的计算
【解析】【分析】根据用40cm长的铁丝围成一个扇形，设半径为r，弧长为l，得到40=2r+l，根据扇形的面积公式S扇形=lr，得到二次函数，用顶点式求出扇形面积的最大值.
25.【答案】 解：∵二次函数y=ax2﹣3x+a2﹣1的图形开口向上，并且经过原点O（0，0），
∴a＞0，把（0，0）代入函数解析式得：a2﹣1=0，
解得：a=1．
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】根据抛物线开口向上得到a大于0，根据图象过原点求出a的值即可．
26.【答案】 解：∵ = ，∴平移后的函数解析式是 ．顶点坐标是（-2，1）．对称轴是直线
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】先将函数解析式化为顶点式得y=,由平移的性质可知向左平移4个单位即在解析式中括号内加4即可，所以平移后的函数解析式是 y = ， 所以顶点坐标是（-2，1）．对称轴是直线 x = 2。
27.【答案】 解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0.∵ ＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0.∵ ＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴－ b－b＋c＜0，∴3b－2c＞0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b＋2c＞0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b＜0.∴P＞Q.
【考点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】根据抛物线的开口向下得出a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧，知a,b异号，根据抛物线的对称轴直线是1，得出b＋2a＝0，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，故3b－2c＞0，根据抛物线与y轴的正半轴相交，得出c＞0，故3b＋2c＞0，然后根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再按整式加减的方法分别化简P,Q的值，再利用作差法，即可得出P,Q的大小。
28.【答案】 解：（1）由题意得， 2×9 3b+c＝0 c＝6，
解得 b＝ 4 c＝6，
所以，此二次函数的解析式为y=-2x2-4x+6；
（2）∵y=-2x2-4x+6=-2（x+1）2+8，
∴函数y=2x2-4x+6的顶点坐标为（-1，8），
∴向右平移5个单位的后的顶点C（4，8），
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 ，
解得 ，
所以，直线BC的解析式为y=x+6，
令y=0，则x+6=0，
解得x=-12，
∴点D的坐标为（-12，0），
过点A作AH⊥BD于H，
OD=12，BD= ，
AD=-3-（-12）=-3+12=9，
∵∠ADH=∠BDO，∠AHD=∠BOD=90°，
∴△ADH∽△BDO，
∴AH:OB =AD:BD，
即AH:6 =9: ，
解得AH= ，
∵AB= ，
∴sin∠ABD=；
(3)过点C作CP⊥x轴于P，
由题意得，CP=8，PO=4，AO=3，BO=6，
∴tan∠COP==2，
tan∠BAO==2，
∴tan∠COP=tan∠BAO，
∴∠BAO=∠COP，
∴AB∥OC．
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【分析】考查二次函数综合应用．
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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