14.1.2 直角三角形的判定 同步练习 2021-2022学年华东师大版八年级数学上册（word版含答案）

随堂测试：直角三角形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、单选题
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列条件能判断△ABC不是直角三角形的是（　　）
A．∠B＝∠C+∠A B．a2＝（b+c）（b﹣c）
C．a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a＝9，b＝23，c＝25
2．已知a，b，c是三角形的三边，若满足，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a4﹣b4＝a2c2﹣b2c2，则△ABC是（　　）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　）
A．150° B．135° C．120° D．165°
5．若的三边a、b、c满足条件，则为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
6．下列说法：（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为．其中说法正确的有（　）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的是（ ）
A．AB=2 B．∠BAC=90° C．
D．点A到直线BC的距离是2
9．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．一个三角形三边之比为，它的周长为60，则它的面积是（ ）．
A．144 B．120 C．196 D．60
二、填空题
11．已知a，b，c为三角形的三边，且满足，这个三角形是______三角形．
12．如图，在四边形ABCD中，点E为AB的中点，于点E，，，，，则四边形ABCD的面积为_________．
13．如图，在中，已知是的高线，则长为__________．
14．如图，在钝角中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，，若，则的度数为________．
15．若三角形的三边长分别为，，，且，则的形状为________．
16．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD到点E，使得DE=AD，连接．若AB=5，AC=3，AD=2，则△ABC的面积为_________．
三、解答题
17．已知的三边长为，，，且，，，试判断的形状，并说明理由．
18．如图，在中，，，．动点从点出发沿射线以每秒1单位的速度移动，设运动的时间为．
（1）求证为直角三角形．
（2）若为直角三角形，求的值．
（3）若为等腰三角形，求的值．
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参考答案
1．D
【分析】
利用三角形的内角和定理求解可判断A，利用平方差公式把a2＝（b+c）（b﹣c）变形，再利用勾股定理的逆定理可判断B，再分别计算C，D选项中较短的两边的平方和是否等于最长边的平方，结合勾股定理的逆定理，可判断C，D，从而可得答案.
【详解】
解： ∠B＝∠C+∠A，
故A不符合题意；
a2＝（b+c）（b﹣c），
是直角三角形， 故B不符合题意；
a＝1.5，b＝2，c＝2.5，
为直角三角形， 故C不符合题意；
a＝9，b＝23，c＝25，
不是直角三角形，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，平方差公式的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形”是解题的关键.
2．A
【分析】
根据绝对值，算术平方根的非负性以及平方的性质，求得的值，再根据勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】
解：∵
∴，，
∴，，
∵，即
∴三角形的形状是为直角三角形
故选A
【点睛】
此题考查了勾股定理的逆定理，涉及了绝对值，算术平方根的非负性以及平方的性质，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3．B
【分析】
将等式左右因式分解，再移项因式分解，最以即可求出，，的关系，从而判断三角形的形状．
【详解】
解：，
，
，
，
或，
，，
∵，
∴，
∴或，
为等腰三角形或直角三角形，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了等式的性质以及等腰三角形、直角三角形的判定．
4．A
【分析】
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，根据等边三角形的性质得到PE=PB=4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，求得∠APE=90°是解题的关键．
5．C
【详解】
解析：∵，∴或．
当只有成立时，是等腰三角形．
当只有成立时，是直角三角形．
当，同时成立时，是等腰直角三角形．
答案：C
题型解法：此类题型首先根据题意化简式子，找出隐含条件，然后根据三边的关系判断三角形的形状．当三角形的三边满足勾股定理时，即可判断为直角三角形．
6．B
【分析】
在（1）（2）（3）中分别利用勾股定理及逆定理判断，在（4）中，先利用勾股定理求出斜边的长度，再利用直角三角形的面积公式（a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高）求出高即可．
【详解】
解：（1）根据勾股定理的逆定理，若a2+c2=b2，则也为直角三角形，故错误；
（2）若是直角三角形，，利用勾股定理则a2+b2=c2，符合勾股定理，故正确；
（3）在中，若a2+b2=c2，则，符合勾股定理的逆定理，故正确；
（4）首先根据勾股定理计算其斜边是，则斜边上的高为，故正确．
综上所述，（2）（3）（4）正确．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及直角三角形面积求解公式，能够熟练运用直角三角形的勾股定理和勾股定理的逆定理是解答此题的关键．
7．A
【分析】
如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG＝90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC ∠DAE＝∠ACG，即可得解．
【详解】
解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12＋22＝5，CG2＝12＋32＝10，
∴AC2＋AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
∵，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC ∠DAE＝∠ACF ∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8．C
【分析】
根据勾股定理以及其逆定理和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．
【详解】
解：AB=，故选项A正确，不符合题意；
∵AC＝，BC，
∴，
∴△ACB是直角三角形，
∴∠CAB=90°，故选项B正确，不符合题意；
S△ABC，故选项C错误，符合题意；
点A到直线BC的距离，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．
9．A
【分析】
由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∠ABC 的度数 ．　
【详解】
解：如图，连结AC，
由题意可得：
∴AC=BC，，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
故选A ．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．
10．B
【分析】
根据边的比和周长求出三个边长，再根据勾股定理逆定理证明它是直角三角形，再求出面积．
【详解】
解：，
，
，
三角形的三个边是10，24，26，
∵，
∴这是个直角三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形的方法．
11．直角
【分析】
根据非负数的性质求出a，b，c的值，再根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
故这个三角形是直角三角形；
故答案为：直角．
【点睛】
本题考查了非负数的性质和勾股定理逆定理，解题关键是熟练运用非负数的性质求出a，b，c的值．
12．
【分析】
连接BD，先利用勾股定理求出BD，再根据勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，最后把四边形ABCD的面积当成两个三角形的面积和来求．
【详解】
解：连接BD，
∵点E为AB的中点，于点E，，，
∴EB＝AB＝3，
∴，
∵，即，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴四边形ABCD的面积＝，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，正确作出辅助线是解题的关键．
13．
【分析】
先证明△ABC是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
【详解】
解：∵在△ABC中，AB=13，AC=12，BC=5，
∴，
∴△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=，
则，
∴CD=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的面积的计算方法及面积公式应用，关键是根据三角形的面积公式即可求得CD的长．
14．
【分析】
如图中，连接AD、AE．首先证明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理可得，
推出，由此即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接，．
∵，的垂直平分线分别交于点，，
∴，，∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，根据线段垂直平分线作出辅助线，根据三角形内角和定理解决问题是关键．
15．等腰直角三角形
【分析】
根据绝对值的非负性和算术平方根的非负性可得：，从而得出，然后根据等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】
解：∵，
∴
∴
∴的形状为等腰直角三角形
故答案为：等腰直角三角形．
【点睛】
此题考查的是非负性的应用和等腰直角三角形的判定，掌握绝对值的非负性、算术平方根的非负性、等腰三角形的定义和勾股定理的逆定理是解题关键．
16．6
【分析】
先利用SAS定理证明，于是得到，然后根据勾股定理逆定理证得△ABE为直角三角形，即可求解．
【详解】
解：∵AD为BC边上的中线，AD=DE，∠ADC=∠BDE
∴
∴
∵AD=2，DE=AD
∴AE=2AD=4
∴
∴
∴
∴BE⊥AE
∴
∴
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理，熟练进行逻辑推理是解题关键．
17．直角三角形，理由见解析
【分析】
先利用完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2-2ab=47=c2，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC为直角三角形．
【详解】
解：是直角三角形
理由：∵，，
∴；
又∵，∴
∴是以为斜边的直角三角形．
【点睛】
本题考查了完全平方公式，勾股定理的逆定理，难度适中．正确求出a2+b2=47是解题的关键．
18．（1）证明见解析；（2）或；（3）或或．
【分析】
（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可；
（3）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求出的长度，继而可求出值．
【详解】
证明：（1）∵在中，，，
∴，
∴为直角三角形，；
（2）若为直角三角形，由题意知，
①当为直角时，如图（1），点与点重合，，，
②当为直角时，如图（2），，
在中，，
在中，，
即，解得．
综上所述，当为直角三角形时，或．
（3）若为等腰三角形，由题意知，
①当时，如图（3），；
②当时，如图（4），∵，，；
③当时，如图（5），，，
在中，，即，解得；
综上所述，当为等腰三角形时，或或．
【点睛】
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．答案第1页，共2页
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