《24.2.2直线和圆的位置关系》
一、 教材分析
本课选自人教版《数学》九年级上册,是24.2.2直线和圆的位置关系的第一课时,是初中数学圆的位置关系部分比较简单但是很重要的组成部分,初步给出了切线定义,是进一步学习切线和切线长定理的基础。本课的主要内容,就是让学生通过对海上日出的探究活动,得到直线和圆的三种位置关系,进而学习和应用判断这三种位置关系的两种方法。用数学联系生活,自主探究,自主学习的模式,激发学生学习数学的兴趣,也能够让他们领略生活中数学的美。在合作学习的整个过程中,教师不再是课堂上知识的传授者,而是课堂上探究活动的组织者、引导者。另外一题多变的教学手法,化难为简,使学生的知识水平更上一个新的台阶。
二、 教学目标
1.知识与能力
探究并掌握直线和圆的三种位置关系及其他概念;初步了解切线定义;
能够运用交点个数,和d、r关系两个方法判断直线和圆的位置关系。
2.过程与方法
在探索直线和圆的位置关系的过程中体会数学来源于生活,感受数学与生活的联系,用多媒体动画帮助学生理解动态图形变化,用一题多变的教学手法,提高学生的知识水平。
3.情感、态度与价值观
通过探究直线和圆的位置关系,发展学生的观察能力,培养学生分析、归纳问题的能力。
三、 教学重点
掌握直线和圆的三种位置关系及两种判断方法。
四、教学难点
用d、r关系判断直线和圆的位置关系。
五、 教学方法
创设情境——主体探究——自主学习——知识应用(由基础——提高——变式拔高)——归纳总结
六 教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 多媒体展示 设计意图
复习巩固: 复习24.2.1点和圆的位置关系: 1、分类; 2、判断方法 复习完后动画显示三个类型的点,让同学们一起边看动画边一起回答,重点强调点和圆的位置关系中d的意义。 1、点在圆上,点在圆内,点在圆外。 2、 法1:由图形位置直接观察判断; 法2:d、r数量分析:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP = d,则有: 1.点P在圆内 d < r ; 2点P在圆上 d = r; 3.点P在圆外 d > r 动画显示连接半径r和点与圆的距离d,直观观察三个类型的点d、r数量关系 复习旧知,有利于学生形成整体知识网,个人答题结合共同答题,进一步加深印象,尤其是点与圆的距离d的意义和找法要重点强调。
出示教学目标 找学生朗读 学生朗读 1.探索并了解直线和圆的位置关系; 2.能够根据本节课所学的两种方法判断直线和圆的位置关系。 明确学生学习目标,带着问题学习。
创设问题情境,激发学生兴趣,引出新知: 1、海上日出动画,把太阳看作一个圆,地平线看作一条直线,由此通过观察线、圆的交点个数情况学生得出直线和圆的位置关系; 2、自学书95~96页,掌握三种类型的各相关概念,并填写表格; 3、订正表格内容; 1、观察并回答,交点有三种情况,0个、1个或者2个三种; 2、自学并填表; 3、回答表格内容; 动画显示以圆和线制作出的“日出” 并显示三种类型的位置情况 图表1展示(后备注) 从生活中景物出发,抽象出数学图形,观察并归纳数学规律,提高学生抽象思维能力、归纳能力,体会数学是源自于生活的。
应用提高,并引出新知 基础练习 看图判断直线l与 ⊙O的位置关系 (投影出示习题) 交点个数无法经延伸准确判断,引出d、r数量分析法。 相离 相交 相切 大多数同学认为是相交,但少数认为是相切,强调直线的延伸性 学生有多种答案,但都要求延伸看交点个数 基础练习: 动画演示延伸过程 动画演示延伸过程,但是无法精确说明交点个数 基础练习,直接用交点个数判断直线和圆的位置关系; 第四个图形说明直线的延伸性,考虑问题一定要全面; 并用最后一个说明直观看交点无法判断出时应该另辟蹊径,引出数量分析的必要性。
再探新知 1、日出的过程,引导学生去发现在这个动态过程中直线的位置是没有改变的,这三个类型位置关系的产生主要是因为圆上下移动,导致圆与直线的距离发生了大小的变化,从而询问学生用哪条线段表示这段距离比较合适呢? 2、 填写表格2 3、让学生思考并回答,已知直线和圆的位置关系能够得到d、r的数量关系,那反过来是否成立,从而得到两者是等价的关系。 1、再次观察日出的过程,思考直线和圆位置关系怎样参照点和圆的位置关系来进行数量分析; 发现用圆心和直线之间的距离表示d,即过圆心做直线的垂线段。 2、 填写表格2 3、由d、r数量关系同样可以得到点和圆的位置关系。 1、再次演示日出的动画; 2、出示比表格1多一行的表格2(后备注),在表格中动画演示d、r 大小关系显示; 3、幻灯片动画演示两者之间的等价关系。 教师主体引导,分散难点; 动画演示,直观形象更有助于学生的理解和记忆; 自主发现,印象深刻; 使知识体系完整; 逆向思维培养。
基础练习 A、例题展示,并带领做一个格式示例,然后找同学回答剩下的两个问题。 B、基础训练: 学生自主练习,有困难时予以引导和补充。 C、提高训练 强调找d的方法,在圆心位置画出一个小圆并标出直线位置,以便能够清晰找到d,明确其实质就是等边三角形的高。 让学生思考并分析解题思路,在求d时引导学生明确它其实就是三角形斜边高。 D、变式训练 找学生读题,若有疑问稍加引导。 观察变式2与变式1有什么不同,并回答答案是否变化。 几何画板演示随⊙C半径的从小到大的过程,让学生观察何时有几个交点。 A、例题展示1、跟老师一起分析并回答后两题; B、基础训练: 学生思考并回答; 回答选项为C并说明原因。 回答选项为A并说明分析原因。 回答答案为0个,并说明原因。 C、提高训练 画图并首次在几何图形中尝试找到圆心和直线之间的距离d,找同学到黑板前给大家讲解。 答案:相离
思考并分析解题思路,用等积法求直角三角形斜边高,即圆心到直线的距离d。 相离 相切 相交 D、变式训练 学生自主探究并回答 02.4 刚才的直线AB变成了线段AB,但是答案有疑问,不知道是否变化。 2.44 观察交点情况并得到r的取值范围。 例题展示 例1、圆的直径是13cm,如果直线与圆心的距离分别是: 4.5cm; 6.5cm; 8cm. 那么直线与圆分别是什么位置关系?有几个公共点? B、基础训练: 1.圆心O到直线的距离等于⊙O的半径,则直线和⊙O的位置 关系是( ): A.相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交 2.⊙O的半径为3 ,圆心O到直线l的距离为d,若直线l与⊙O 没有公共点,则( ): A.d >3 B.d<3 C.d ≤3 D.d =3 3.已知圆的直径为10cm,圆心到直线m的距离为6cm,那么直线m与和这个圆的公共点的个数是________。 C、提高训练 1.等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的 圆与直线BC的位置关系 ,以A为圆心, 为 半径的圆与直线BC相切. 2、Rt△ABC中, ∠C=90。,AC=3cm , BC=4cm ,判断以点C为圆心,以下列r为半径的⊙C与AB 的位置关系: (1)r=2 cm ; (2) r=2.4cm ; (3) r=3cm . 动画展示圆心到直线的距离的找法 D、变式训练 变式1:在△ABC中,∠C=90 , AC=3, AB=5,若以C为圆心,以r为半径作圆,那么当直线AB和 ⊙C相离时,r的取值范围是 ;当直线AB和⊙C相切时,r的取值范围 ;当直线AB和⊙C相交时,r的取值范围是 。 变式2:在△ABC中,∠C=90 , AC=3, AB=5,若以C为圆心,以r为半径作圆: 1.那么当线段AB和 ⊙C有两个公共点时,r的取值范围 ; 2.当线段AB和⊙C有一个公共点时,r的取值范围 ; 3.当线段AB和⊙C相交时,r的取值范围是 。 几何画板演示 例题展示,示范思考方式; 培养学生的自主思考,自主发现问题解决问题的能力,训练学生的表达能力,增强学生的勇气,在成就中找到对学习的兴趣。 巩固d的找法 动画方式,加深印象,强化重点 知识的迁移,由定到动的转化,训练学生的思维活跃度,难度稍有提升。 几何画板演示,更直观,清晰的展示交点情况和此时的半径数值,难点降低。
归纳总结,并板书: 一、直线和圆的位置关系分类:相离、相切、相交 二、判断方法: 1、直线和圆的交点个数: 0个 1个 2个 2、d、r数量关系: d>r d=r d课后作业: 练习册本节知识。(最后两道选作) 基础为主,分层布置作业。
九、 教学反思
在整个教学过程中,本人利用多种教学方法,提示引导有很大进步,使学生根据引导在课堂中能自主提出问题,解决问题,不知不觉地进入学习氛围,把学生从被动的学习习惯中解脱出来。
尤其是一题多变的教学手段,分化降低题目难度,分化教学难点,让学生形成举一反三的学习习惯,教会学生以不变应万变,另外让学生意识到认真审题的重要性,一字之差就可以影响整个题目的最终结果,培养学生的严谨性;
另外本次教学中运用了大量的动画手段,演示问题,使学生更容易理解动态过程,培养他们的想象能力,使日后的动态想象更有依据,尤其是最后的几何画板的应用,相当成功,学生能够很迅速的找到,并理解题目,使得一道原本有相当难度的题目变得简单易懂。
本次学习存在的缺点:
1、学生对于如何找到点和圆的位置关系还不是很熟练,需加强练习;
2、手要放得更开一点,继续培养学生的表达能力,提高学生自主解题的能力;
3、语言程度仍需继续加强精炼度。
总之,在本节教学中,我始终坚持以学生为主体,教师为主导,用学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中,在整个教学过程中我尽自己最大的能力启发学生,挖掘学生潜力,培养学生应用意识,提高学生学习数学素养。作为一名青年教师,我依然存在着很多不足,希望自己能够再接再励,争取能够多为教育事业增砖加瓦。
附表1:直线和圆的位置关系归纳(用公共点个数来区分)
图形
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
公共点名称 无 切点 交点
直线名称 无 切线 割线
附表2:直线和圆的位置关系归纳(d、r数量分析)
图形
直线与圆的位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0 1 2
圆心到直线的距离d与半径r的关系 d>r d=r d公共点名称 无 切点 交点
直线名称 无 切线 割线