人教版数学九年级上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案

21.2.4一元二次方程根与系数的关系
教学目标：
1．理解并掌握根与系数关系：，；
2．会用根与系数关系解决问题.
重点、难点：
重点：理解并掌握根与系数关系及其应用.
难点：根与系数关系的推导，用根与系数关系解决问题时结合根的判别式。
学情分析：
1.本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。
2．学生已学习过用求根公式法解一元二次方程。
3．在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学过程：
活动1：
1、忆一忆：我爱记公式（请学生写出）
( 1 ) 一元二次方程的一般式：
（2）一元二次方程的求根公式：x1= x2=
（请一男生和一女生pk完成，关注是否写到b2-4ac≥0.）
设计意图：复习知识点，也为公式验证做好铺垫。采用pk方式，激发学生兴趣。
2.引入：
问题：写一个一元二次方程，使它的两个根的和等于-6,两根积等于 2 .
思考达人小明对着一道题目又开始迸发思维的火花，受这个题目的启发，找来方程开始探究一元二次方程根与系数的关系。让我们一起跟随小明的步伐，一起探索数学的奥妙吧。
设计意图：利用情境引入，激发学生思维，调动学生探究的积极性。
活动2———探究之旅
探究：解下列方程并完成填空：
方程 两根 两根和X1+x2 两根积x1x2
x1 x2
①x2-7x+12=0
②x2+3x-4=0
③2x2-3x-2=0
④3x2-4x+1=0
（分组完成4个方程的求解）
师：观察表中的数据，你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律。
学生：由方程1、2可发现两根和是一次项系数的相反数，两根积是常数项。
(学生一边回答，一边让幻灯片中两根和、两根积与一次项系数、常数项呼应闪烁。)
师：方程1、2有什么共同的特点？
学生：它们二次项的系数都为1.
师：如果x2+px+q=0的两根,用式子表示你发现的规律。
学生：=-p =q
师：方程3，4上面发现的结论在这里成立吗？
学生：不成立，但是我发现方程3，4可以转化为二次项的系数都为1的形式，就可用上面的结论了。
设计意图：利用表格让学生直观的发现根与系数的关系，体验从特殊到一般的认知规律，感受转化思想的美妙。在探究过程中体验合作、交流、成功带来的身心的愉悦。
猜想
师:受此启发方程ax2+bx+c=0的两根, 用式子表示你发现的规律。
把二次项系数化为1，x2+ x+ =0
.
验证
（请两位学生展示验证过程。）
利用求根公式推导根与系数的关系（韦达定理）
ax2+bx+c=0的两根,
设计意图：进一步体验探索新知的历程：观察，发现，猜想，验证。
活动3——应用之旅
例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根和与两根积：
（1）x2+3x-1=0 （2）2x2-4x+1=0 （3）3x2+2=2x (4)2x2+3x=0
学生板书，点评。
小结：（1）先把方程化为一般式；（2）注意符号。
设计意图：让学生实践方程的根与系数关系的应用，并从中总结根与系数关系使用的注意事项，从而提升解题的准确率。
应用一：造方程
（学生思考口答）利用根与系数关系：=-p =q得：x2+6x+2=0
应用二：不解方程求根
已知方程x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
（学生思考板书）
引导学生对比解方程的方法，让学生体验一元二次方程根与系数应用的优势。
应用三：变形求值
设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
（1）（x1+1）（x2+1） （2） （3）X12+x22
（学生思考板书，点评）
小结：使用各种技巧变形，转化为两根和、两根积的形式。
设计意图：通过造方程、不解方程求根、变形求值三类问题的应用，开拓学生的视野，拓宽学生思维，提升学生灵活应用知识的能力。
活动4——挑战之旅
1、关于x的方程 2x2+（m2-9）x+m+1=0，
当m= 时，两根互为倒数；
当m= 时，两根互为相反数；(此问题易忽略舍根)
分析：两根互为倒数即x1x2=1；两根互为相反数即x1+x2=0.
（学生思考口答）
小结：利用根与系数关系解决系数求解问题时，还要考虑b2-4ac≥0.
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值。
学生思考分析：
（1）利用完全平方公式变形： X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4
（2）记得考虑b2-4ac≥0。
学生解答投影，点评。
设计意图：通过这两组题，培养学生严谨的思维习惯。从而再一次体验应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意b2-4ac≥0的前提条件。
活动5： 总结 归纳
1.一元二次方程根与系数的关系是什么？
2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即在初中代数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与系数的关系.
活动6：作业
习题21.2 7，8，13
教学反思：本节课从学生对事物的认识多是直观、形象的出发，设计探究的方式、过程。学生能在轻松、愉悦的状态下掌握新知，并学以致用。但学生在解题的规范上、准确率上有待提升。
那么x1+x2= — , x1x2=
求一个一元二次方程，使它的两个根的和等于-6，两根的积等于2.