2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第三册第八章向量的数量积与三角恒等变换单元测试卷（Word含解析）

向量的数量积与三角恒等变换
（原卷+答案）
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a，b满足：|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于(　　)
A．1 B．4 C．3 D．
2．若cos θ>0，且sin 2θ<0，则角θ的终边所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．1 B． C．2 D．4
4．已知θ为第二象限角，且cos ＝－，则的值是(　　)
A．－1 B． C．1 D．2
5．若sin ＝，则cos 等于(　　)
A．－ B．－ C． D．
6．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)
A．8 B．4 C．2 D．1
7．已知f(x)＝sin ，g(x)＝cos ，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)g(x)的周期为2π
B．函数y＝f(x)g(x)的最大值为1
C．将f(x)的图像向左平移个单位长度后得到g(x)的图像
D．将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像
8．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，＝，则·＝(　　)
A． B．－ C． D．－
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)
9．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝cos x(cos x＋sin x)－，则下面的结论不正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线C2
10．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论不正确的是(　　)
A．|b|＝1 B．a⊥b C．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥
11．函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的单调递增区间有(　　)
A． B． C． D．
12．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝，tan α＋tan β＋tan αtan β＝，则(　　)
A．<α< B．β<<α C．<α<β D．<β<α
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)
13．若cos x cos y＋sin x sin y＝，则cos (2x－2y)＝________．
14．已知两个单位向量e1，e2的夹角为120°，且向量a＝e1＋2e2，b＝4e1，则a·b＝________．
15．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范围是________．
16．若tan α＋＝，α∈，则sin ＋2cos cos2α的值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，点P在AM上，且满足＝2，求·(＋)的值．
18．(本小题满分12分)已知cos2θ＝，θ∈，求sin －2sin 2θ的值．
19.(本小题满分12分)设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；
(2)求函数k＝f(t)的最小值．
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－2sin2x＋sin2x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；
(2)在给出的直角坐标系中(如下图)，画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像．
21．(本小题满分12分)在△ABC中，设·＝·.
(1)求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若|＋|＝2，且B∈，求·的取值范围．
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos ＋sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．
参考答案
1．解析：由|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)可求得|a＋b|.
答案：D
2．解析：∵sin 2θ＝2sin θcos θ<0，∴θ是第二、四象限的角．又cos θ>0，∴θ是第四象限的角．
答案：D
3．解析：由于2a－b与b垂直，则(2a－b)·b＝0，即(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0.解得n＝±.
所以a＝(1，±).所以|a|＝＝2.
答案：C
4．解析：∵θ为第二象限角，∴为第一或第三象限角．
∵cos ＝－，∴为第三象限角且sin ＝－，
∴＝＝1.故选C.
答案：C
5．解析：cos ＝cos
＝－cos ＝2sin2－1＝－.
答案：A
6．解析：∵2＝16，∴||＝4，又|＋|＝|－|，∴·＝0.∵M为BC的中点，
∴||＝||＝×4＝2，故选C.
答案：C
7．解析：因为f(x)＝sin＝cos x，
g(x)＝cos ＝sin x，
所以y＝f(x)g(x)＝sin cos ＝cos x sin x＝sin 2x，所以其周期T＝＝π，最大值是，故排除A，B；
很明显将f(x)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)＝cos (x－)的图像．
答案：D
8．解析：由题意作出图形，如图所示．
由图可得＝＝(－)＝－＋，所以＝＋＝－＋＝＋.
所以·＝·
＝－·||2＋·||2－··
＝－×4＋×9－×||×||×cos ∠BAC
＝－＋4－×2×3×cos
＝.故选A.
答案：A
9．解析：∵y＝cos x(cos x＋sin x)－＝cos2x＋sinx cos x－＝＋sin 2x－＝cos 2x＋sin 2x
＝cos 2x cos ＋sin 2x sin ＝cos ，
∴将曲线C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位，得到曲线C2.
∴A，C，D不合题意，故选ACD.
答案：ACD
10．解析：在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A错误；
又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，B，C错误；
因为(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正确．
答案：ABC
11．解析：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函数的单调递增区间为(k∈Z)，
当k＝0时，得，当k＝1时，得，当k＝2时，得.故选ACD.
答案：ACD
12．解析：因为α为锐角，sin α－cos α＝>0，
所以<α<.
又tan α＋tan β＋tan αtan β＝，
所以tan (α＋β)＝＝，
所以α＋β＝，
又α>，所以β<<α.
答案：AB
13．解析：由cos x cos y＋sin x sin y＝，可知cos (x－y)＝，则cos (2x－2y)＝2cos2(x－y)－1＝2×－1＝－.
答案：－
14．解析：∵|e1|＝|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为120°，∴a·b＝(e1＋2e2)·(4e1)＝4e＋8e1·e2＝4＋8×1×1×cos120°＝4＋8×1×1×＝0.
答案：0
15．解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cos 〈a，b〉－2×16＝－14－3×3×4cos 〈a，b〉≥4，
∴cos 〈a，b〉≤－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴θ＝〈a，b〉∈.
答案：
16．解析：由tan α＋＝，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝.因为α∈，所以tan α＝3，所以sin ＋2cos cos2α＝sin2α＋cos 2α＋＝sin 2α＋cos 2α＋＝·＋·＋＝·＋·＋＝×＋×＋＝0.
答案：0
17．解析：如图，由AM＝3，且＝2，可知||＝2.
∵M为BC的中点，
∴＋＝2＝，
∴·(＋)＝·
＝－2＝－||2＝－4.
18．解析：∵cos2θ＝，θ∈，
∴cos θ<0，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝，
∴cos2θ＝，∴cosθ＝－，sin θ＝，
∴sin －sin 2θ＝sin θcos ＋cos θsin －2sin θcos θ＝×－×＋2××
＝－＋＝.
19．解析：(1)∵a⊥b，∴a·b＝0.
∵x⊥y，∴x·y＝0，
即[a＋(t－3)b]·[－ka＋tb]＝0.
－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0.
∵|a|＝2，|b|＝1，
∴－4k＋t2－3t＝0，即k＝(t2－3t).
(2)由(1)知k＝(t2－3t)＝－，
∴函数k＝f(t)的最小值为－.
20．解析：(1)f(x)＝(1－2sin2x)＋sin2x
＝sin 2x＋cos 2x＝2sin .
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－2.
(2)列表：
x 0 π
2x＋ π 2π
f(x) 2 0 －2 0
描点、连线得到图像，如下图所示．
21．解析：(1)证明：因为·＝·，
所以·(－)＝0.
又＋＋＝0，则＝－(＋)，
所以－(＋)·(－)＝0.
所以2－2＝0.所以||2＝||2.
即|AB|＝|BC|，即△ABC为等腰三角形．
(2)因为B∈，则cos B∈.
设||＝||＝a.
又|＋|＝2，所以|＋|2＝4.
则有a2＋a2＋2a2cos B＝4.
所以a2＝，
则·＝a2cos B＝＝2－.
又cos B∈，所以·∈.
22．解析：(1)f(x)＝cos ＋sin2x＝(cos2x·cos －sin 2x sin )＋＝－sin 2x，
故f(x)的最小正周期为π.
(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin 2x，故
①当x∈时，x＋∈.
由于对任意x∈R，有g＝g(x)，
从而g(x)＝g＝sin
＝sin (2x＋π)＝－sin 2x.
②当x∈时，x＋π∈.
由于对任意x∈R，有g＝g(x)，所以g(x＋π)＝g＝g(x)，
从而g(x)＝g(x＋π)＝sin [2(x＋π)]＝sin 2x.
综合①②，得g(x)在区间[－π，0]上的解析式为
g(x)＝