(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( )
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增多，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C.由频率与概率的关系及概率的定义C对．
2．下列试验是古典概型的是( )
A．从装有大小完全相同的红、绿、黑各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色
B．在适宜条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
C．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，观察出现正面、反面、一正面一反面的次数
D．从一组直径为(120±0.3) mm的零件中取出一个，测量它的直径
解析：选A.由古典概型的定义可知．
3．从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论哪个是最准确的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个相互斥 D．任何两个都不互斥
解析：选C.由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥．
4．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.恰有一个合格的概率：＝.
5．从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有1个白球，都是白球
B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．恰有1个白球，恰有2个白球
D．至少有1个白球，都是红球
解析：选C.由互斥事件与对立事件定义可得．
6．(2010年高考安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.所有基本事件总数为6×6＝36种，
甲选正方形边时垂直的情况为8种，甲选对角线时垂直的情况有2种，故概率为＝，选C.
7．在区间(0,1)内任取一个数a，能使方程x2＋2ax＋＝0有两个不相等的实根的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.由题意知Δ＞0，即4a2－2＞0，解得a＞或a＜－(不符合题意，舍去)．∵a＞，∴P＝＝.
8．如图，两个圆盘都是六等分，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选A.可求得同时落在奇数所在区域的基本事件有4×4＝16种，而总的基本事件有6×6＝36种，于是由古典概率公式可得所求概率为＝.
9．某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，则该射手在一次射击中射中10环或9环的概率是( )
A．0.44 B．0.56
C．0.21 D．0.23
解析：选A.由互斥事件定义可得：所求概率为：0.21＋0.23＝0.44.
10．两根相距6 m的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m的概率是( )
A. B.
C．0 D．1
解析：选B.由已知得：P＝＝.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上)
11．有五条线段，长度分别是1,2,5,7,9，从这五条线段中任取三条，则以所得的三条线段为边不能构成三角形的概率为________．
解析：从五条线段中任取三条共有10种结果，能构成三角形的结果有3,5,7或3,7,9或5,7,9，共3种，所以不能构成三角形的结果有7种，故所求概率为P＝＝0.7.
答案：0.7
12．盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别，现由10个人依次摸出1个球，设第一个人摸出的1个球是黑球的概率为P1，第十个人摸出黑球的概率是P10，则P1与P10的关系是________．
解析：第一个人摸出黑球的概率为，第10个人摸出黑球的概率也是，所以P10＝P1.
答案：P10＝P1
13．广告法对插播广告时间有规定，某人对某台的电视节目作了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率约为，那么该台每小时约有________分钟广告．
解析：这是一个与时间长度有关的几何概率，这人看不到广告的概率为，则看到广告的概率约为，故60×＝6(分钟)．
答案：6
14．如图，在一个边长为a、b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为a与a，高为b，向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为________．
解析：两“几何度量”即为两面积，直接套用几何概率公式，S矩形＝ab，S梯形＝(a＋a)·b＝ab，所以所投的点落在梯形内部的概率为＝＝.
答案：
15．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为________．
解析：在5个长度中一次随机抽取2个，则有(2.5，2.6)，(2.5,2.7)，(2.5,2.8)，(2.5,2.9)，(2.6,2.7)，(2.6，2.8)，(2.6,2.9)，(2.7,2.8)，(2.7,2.9)，(2.8,2.9)共10种情况．
满足长度恰好相差0.3 m的基本事件有(2.5,2.8)，(2.6，2.9)，共2种情况，所以它们的长度恰好相差0.3 m的概率为P＝＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分12分)2010年11月17日，在广州亚运会射击赛场上，中国选手王成意发挥出色，获女子50米步枪三种姿势金牌，伊朗美女伊拉希·艾哈迈迪获得银牌．下表是两人在参赛前训练中击中10环以上的次数统计：
(王成意)射击次数 10 20 50 100 200 400
命中10环以上的次数 9 17 44 92 179 360
命中10环以上的频率
(艾哈迈迪)射击次数 10 20 50 100 200 400
命中10环以上的次数 8 17 44 93 177 363
命中10环以上的频率
请根据上表回答以下问题：
(1)分别计算出两位运动员击中10环以上的频率；
(2)根据两表中的数据预测两位运动员在奥运会上每次击中10环以上的概率．
解：(1)两位运动员击中10环以上的频率为：
王成意：0.9,0.85,0.88,0.92,0.895,0.9；
艾哈迈迪：0.8,0.85,0.88,0.93,0.885,0.908.
(2)由(1)中的计算数据的结果可以知道，两位运动员击中10环以上的频率都集中在0.90这个值的附近，所以两人每次击中10环以上的概率都约为0.90，也就是说两人的实力相当．
17．(本小题满分12分)一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球：
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两只球都是白球的概率是多少？
解：(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示)：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
因此，共有10个基本事件．
(2)如图，上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝.
18．(本小题满分12分)现有一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品．
(1)如果从中取出1件，然后放回，再任取1件，求连续2次取出的都是正品的概率；
(2)如果从中一次取2件，求2件都是正品的概率．
解：(1)为返回抽样问题．每次抽样都有10种可能，连续取2次，所以等可能出现的结果为102种，设事件A为“两次返回抽样，取出的都是正品”，则A包含的结果为82种．
∴P(A)＝＝.
(2)为不返回抽样问题，可视为有顺序性，从中取第一次有10种结果，取第二次有9种不同结果，所以从10件产品中一次取2件，所有等可能出现的结果是10×9＝90种．设B表示“一次抽2件都是正品”，则B包含的结果有8×7＝56种．
∴P(B)＝＝.
19．(本小题满分13分)(2010年高考天津卷)有编号为A1，A2，…，A10的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47
其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品．
(1)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；
(2)从一等品零件中，随机抽取2个．
①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；
②求这2个零件直径相等的概率．
解：(1)由所给数据可知，一等品零件共有6个．
设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A，则P(A)＝＝.
(2)①一等品零件的编号为A1，A2，A3，A4，A5，A6.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共有15种．
②“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A1，A4}，{A1，A6}，{A4，A6}，{A2，A3}，{A2，A5}，{A3，A5}，共有6种．所以P(B)＝＝.
20．(本小题满分13分)甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．
解：
以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15.如图平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示，由几何概率公式得P(A)＝＝＝.
21．(本小题满分13分)(2010年高考湖南卷)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).
高校 相关人数 抽取人数
A 18 x
B 36 2
C 54 y
(1)求x，y；
(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
解：(1)由题意可得，＝＝，所以x＝1，y＝3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共3种，因此P(X)＝.故选中的2人都来自高校C的概率为.1．抛掷一枚骰子，出现偶数字的基本事件个数为( )
A．1 B．2
C．4 D．3
解析：选D.因为抛一枚骰子基本事件有6个，它们分别是1,2,3,4,5,6，故出现偶数字的基本事件是3个．
2．下列试验中是古典概型的是( )
A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
解析：选B.
选项 分析 结果
A 发芽与不发芽的概率不同 不是
B 摸到白球与黑球的概率都是 是
C 基本事件有无限个 不是
D 命中10环，9环，…，0环的概率不等 不是
3.一枚硬币连掷2次，恰好出现一次正面的概率是( )
A. B.
C. D．0
解析：选A.列举出所有基本事件，找出“只有一次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有一次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为＝.
4．在100件产品中有10件次品，从中任取7件，至少有5件次品的概率可以看成三个互斥事件的概率和，则这三个互斥事件分别是__________________，__________________和________________．
解析：由互斥事件的定义可得．
答案：取7件中恰有5件次品 取7件中恰有6件次品 7件均为次品
一、选择题
1．抛掷两个骰子，则两个骰子点数之和不大于4的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.抛掷两个骰子，所得点数的情况共6×6＝36种．其中点数之和不大于4的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种，故所求概率为＝.
2．从某班学生中任找一人，如果该同学身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160 cm,175 cm]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
解析：选B.由题意易知所求概率为1－0.2－0.5＝0.3.
3．(2010年高考北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数有5种选法，从{1,2,3}中随机选取一个数有3种选法，所以共有5×3＝15种选法．而满足b>a的选法有：当b＝3时，a有2种，当b＝2时，a有1种，共有2＋1＝3种选法．由古典概型知b>a的概率P＝＝，故选D.
4．(2011年金华高二检测)有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设k∈Z，则7k表示7的倍数．
令1≤7k≤100，则≤k≤14.
∴k＝1,2,3，…，14，即在1～100中共有14个7的倍数．
即“从100张卡片中任取1张”有100种等可能的结果，而“取到的卡号是7的倍数”这一事件含有14种结果．
∴P＝＝.
∴应选A.
5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成平局的概率为( )
A．60% B．30%
C．10% D．50%
解析：选D.事件A是“甲获胜”，事件B是“甲、乙成平局”，A与B互斥．
∵P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A＋B)－P(A)＝90%－40%＝50%.
6．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率( )
A．颜色全同 B．颜色不全同
C．颜色全不同 D．无红球
解析：选B.有放回地取球3次，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为＝；颜色不全同的结果有24种，其概率为＝；颜色全不同的结果有3种，其概率为＝；无红球的情况有8种，其概率为.故选B.
二、填空题
7．下列试验是古典概型的为________．
①从6名同学中任意选出4人组合参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；
②近三天中有一天降雨的概率；
③10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．
解析：①③是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．②不是古典概型，因为不符合等可能性，受多方面因素影响．
答案：①③
8．(2010年高考辽宁卷)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．
解析：三张卡片排成一排共有BEE，EBE，EEB三种情况，故恰好排成BEE的概率为.
答案：
9．从含有三件正品和一件次品的4件产品中不放回地任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是________．
解析：设三件正品为A1，A2，A3，一件次品为B，
则共有的取法为A1A2，A2A3，A1A3，A1B，A2B，A3B，故恰有一件次品一件正品的概率为＝.
答案：
三、解答题
10．9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为 0.5；若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．求甲坑不需要补种的概率．
解：甲坑中种子发芽记为1，不发芽记为0，则基本事件为(1,1,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(1,0,0)、(0,1,1)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,0,0)共8种，而都不发芽的情形只有1种(0,0,0)，故甲坑需要补种的概率为.所以甲坑不需要补种的概率为1－＝.
11．先后抛掷两枚大小相同的骰子．
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
解：如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝.
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝.
12．(2010年高考山东卷)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n解：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．
从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个．因此所求事件的概率为P＝＝.
(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．
又满足条件n≥m＋2的事件有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个．
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝.
又因为n＜m＋2与n≥m＋2为对立事件，
故满足条件n1－P1＝1－＝.1．若某个班级内有40名学生，抽10名学生去参加某项活动，每个学生被抽到的概率为，其中解释正确的是( )
A．4个人中，必有1个被抽到
B．每个人被抽到的可能性为
C．由于抽到与不被抽到有两种情况，不被抽到的概率为
D．以上说法都不正确
解析：选B.A、C、D错误．C、D两个选项容易理解其错误．A错的原因是忽略了是从整个班级内抽取，仅从一部分中取，误解了前提条件和概率的意义．
2．设某厂产品的次品率为2%，则估算该厂8000件产品中合格品的件数可能是( )
A．160 B．7840
C．7998 D．7800
解析：选B.合格品的件数为8000×98%＝7840.
3．以下结论错误的有( )
①如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生；
②如果一件事发生的机会达到99.5%，那么它就必然发生；
③如果一件事不是不可能发生的，那么它就必然发生；
④如果一件事不是必然发生的，那么它就不可能发生．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选D.只要在试验中可能发生也可能不发生，就一定是随机事件，而与发生的可能性大小无关．
4．在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的________，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的________．
解析：根据频数和频率的概念可得nA为频数，fn(A)＝为频率．
答案：频数 频率
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为
B．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票，则一定会有47元的回报
D．大量试验后，可以用频率近似估计概率
解析：选D.A的结果是频率；B错的原因是误解了概率是的含义；C错的原因是忽略了整体与部分的区别．
2．某市的天气预报中有“降水概率预报”，例如预报“明天降水率为90%”，这是指( )
A．明天该地区约90%的时间会降水，其余时间不降水
B．明天该地区约90%的地方会降水，其他地方不降水
C．气象专家中，有90%认为明天会降水
D．明天该地区降水的可能性为90%
解析：选D.“降水率为90%”只是说明降水的可能性很大，但不能理解成A，B，C.这体现了随机事件在一次试验中发生与否是随机的．
3．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某配镜商要到一中学给学生配镜．若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为( )
A．374副 B．224.4副
C．不少于225副 D．不多于225副
解析：选C.根据概率，该校近视生人数应为37.4%×600＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．
4．下列说法中正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
解析：选C.任何事件的概率总是在[0,1]之间，其中必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，“任何事件”包含“必然事件”和“不可能事件”，故A错误 .只有通过试验，才会得到频率的值，故频率不是客观存在的，一般来说，当试验的次数不同时，频率是不同的，它与试验次数有关，故B错误．当试验次数增多时，频率呈现出一定的规律性，频率值越来越接近于某个常数，这个常数就是概率，故C正确．虽然在试验前不知道概率的确切值，但概率是一个确定的值，它不是随机的，通过多次试验，不难发现它是频率的稳定值，故D错误．
5．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1
C．每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
解析：选B.由概率的定义知B正确．
6．从一批准备出厂的电视机中随机抽取10台进行质量检查，其中有1台是次品．若用C表示“抽到次品”这一事件，则对C这一事件发生的说法正确的是( )
A．概率为
B．频率为
C．概率接近
D．每抽10台电视机，必有1台次品
解析：选B.10台电视机中有1台次品，连续从这10台中抽取，每次抽取一台，10次试验中必会抽到这台次品一次，故C发生的频率为.
二、填空题
7．样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________，数据落在[2,10)内的概率约为________．
解析：由于组距为4，
∴[6,10)内频率为0.32，
∴频数为0.32×200＝64.
[2,10)内频率为0.08＋0.32＝0.4.
答案：64 0.4
8．小明在抛掷图钉时，在200次至300次抛掷中钉尖触地的频率约在35%～35.4%之间，那么再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是________．
解析：由于在抛掷图钉试验中，“钉尖触地”这一事件的发生是随机的，故再抛掷100次，钉尖触地次数的取值范围是[0,100]．
答案：[0,100]
9．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色相同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，则可估计袋中数量多的是________球．
解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率为，估计其概率约为，即取出黑球的概率约是，那么取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量多的是白球．
答案：白
三、解答题
10．某种心脏手术，成功率为0.6，现准备进行3例此种手术，试估计：
(1)恰好成功1例的概率；
(2)恰好成功2例的概率．
解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9代表手术成功，这样可以体现成功的概率为0.6.因为做3例手术，所以每3个随机数作为一组．例如产生907,966,191,925，…，730,113,537,989共100组随机数．
(1)若出现0,1,2,3中2个数的数组个数为N1，则恰好成功1例的概率近似为.
(2)若出现0,1,2,3中1个数的数组个数为N2，则恰好成功2例的概率近似为.
11．如果掷一枚质地均匀的硬币，连续5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于，这种理解正确吗？
解：这种理解是不正确的．
掷一枚质地均匀的硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过大量的试验，其结果呈现出一定的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为.
连续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面向上和反面向上的可能性还是，而不会大于.
12．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．
(1)求此人中靶的概率；
(2)若此人射击1次，则中靶的概率约为多大？击中10环的概率约为多大？
解：(1)因为中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为＝0.9.故此人中靶的概率约为0.9.
(2)若此人射击1次，中靶的概率约为0.9，击中10环的概率约为0.2.1．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中“正面朝上恰好有5次”是( )
A．必然事件 B．随机事件
C．不可能事件 D．无法确定
解析：选B.“正面朝上恰好有5次”是可能发生也可能不发生的事件，故该事件为随机事件．
2．下列事件在R内是必然事件的是( )
A．|x－1|＝0 B．x2＋1＜0
C.＞0 D．(x＋1)2＝x2＋2x＋1
解析：选D.A、C为随机事件，B为不可能事件．
3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( )
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
解析：选B.至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件．共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．
4．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为__________________．
解析：观察事件A的特点．
答案：掷出的点数为偶数
一、选择题
1．在10件同类产品中，有8件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的不可能事件是( )
A．3件都是正品 B．至少有一件是次品
C．3件都是次品 D．至少有一件是正品
解析：选C.10件同类产品中只有2件次品，取3件产品中都是次品是不可能的．
2．从6个男生，2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是( )
A．3个都是男生 B．至少有1个男生
C．3个都是女生 D．至少有1个女生
解析：选B.由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1个男生参选．
3．下列命题：①集合{x||x|＜0}为空集是必然事件；②若y＝f(x)是奇函数，则f(x)＝0是随机事件；③若loga(x－1)＞0，则x＞1是必然事件；④对顶角不相等是不可能事件，其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选D.∵|x|≥0恒成立，∴①正确；∵函数y＝f(x)只有当x＝0有意义时，才有f(0)＝0，∴②正确；∵当底数a与真数x－1在相同区间(0,1)或相同区间(1，＋∞)时，loga(x－1)＞0才成立，∴③是随机事件，即③错误；∵对顶角相等是必然事件，∴④正确．
4．A、B是互斥事件，Ω\A、Ω\B分别是A、B的对立事件，则A、B的关系是( )
A．一定互斥 B．一定不互斥
C．不一定互斥 D．与A∪B彼此互斥
解析：选C.如图
A、B互斥，但Ω\A、Ω\B不一定互斥．
5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
C．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
D．“至少有1个黑球”与“都是红球”
解析：选C.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，因而互斥，而当这两个事件均不发生时，“没有黑球”这一事件发生，因而这两个事件不对立．故选C.
6．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是( )
A．① B．②④
C．③ D．①③
解析：选C.从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C.
二、填空题
7．“从盛有3个排球，2个足球的筐子里任取一球，取得排球”的事件中，一次试验是指__________，试验结果是指____________________．
解析：从实际意义出发进行推理．
答案：取出一球 得到一排球或者一足球
8．下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________(填序号)．
解析：根据随机事件、不可能事件、必然事件的定义可判断．
答案：③ ⑤ ①②④
9．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.
答案：③④ ② ①
三、解答题
10．在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或5点}，C＝{出现的点数为奇数}，D＝{出现的点数为偶数}，E＝{出现的点数为3的倍数}．试说明以上6个事件的关系，并求两两运算的结果．
解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种：1点，2点，3点，4点，5点，6点．它们构成6个事件，Ai＝{出现点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A5，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6，E＝A3∪A6.
则(1)事件A与B是互斥但不对立事件，事件A包含于C，事件A与D是互斥但不对立事件，事件A与E是互斥但不对立事件；事件B包含于C，事件B与D是互斥但不对立事件，事件B与E既不互斥也不对立，C与D是对立事件，C与E、D与E既不是互斥事件，也不是对立事件．
(2)A∩B＝ ，A∪B＝C＝{出现点数为1,3或者5}；A∩C＝A1，A∪C＝C＝{出现点数为1,3或者5}；A∩D＝ ，A∪D＝{出现点数为1,2,4或者6}，A∩E＝ ，A∪E＝{出现点数为1,3或者6}；B∩C＝B，B∪C＝C＝{出现点数为1,3或者5}；B∩D＝ ，B∪D＝{出现点数为2,3,4,5或者6}；B∩E＝{出现点数为3}，B∪E＝{出现点数为3,5或者6}；C∩D＝ ，C∪D＝S{S表示必然事件}；C∩E＝{出现点数为3}，C∪E＝C＝{出现点数为1,3,5或者6}；D∩E＝A6，D∪E＝{出现点数为2,3,4或者6}．
11．判断下列说法是否正确，并说明原因：
(1)将一枚硬币抛掷两次，设事件A：“两次都出现正面”，事件B：“两次都出现反面”，则事件A与B是互斥事件；
(2)在10件产品中有3件是次品，从中取3件．事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与B是互斥事件．
解：(1)是互斥事件．因为这两个事件在一次试验中不会同时发生．
(2)不是互斥事件，因为事件A包括三种情况：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件正品；事件B包含两种情况：2件次品1件正品，3件次品．从而事件A、B可以同时发生，故不互斥．
12．某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)A与C； (2)B与E； (3)B与D；
(4)B与C； (5)C与E.
解：(1)由于事件C“至多订一种报”中有可能“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
(2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．且B和E必有一个发生，故B与E也是对立事件．
(3)事件B“至少订一种报”中有可能“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不互斥．
(4)事件B“至少订一种报”中有这些可能：“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”；事件C“至多订一种报”中有这些可能：“一种报也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”．由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
(5)由(4)的分析，事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不互斥．1．下列概率模型中，几何概率的个数为( )
①从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到1的概率；
②从区间[－10,10]内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；
③从区间[－10,10]内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；
④向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.①不是几何概率，虽然区间[－10,10]有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；
②是几何概率，因为区间[－10,10]和[－1,1]上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；
③不是几何概率，因为区间[－10,10]上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；
④是几何概率，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有可能被投到，故满足无限性和等可能性．
2．在区间[1,3]上任取一数，则这个数大于1.5的概率为( )
A．0.25 B．0.5
C．0.6 D．0.75
解析：选D.P＝＝0.75.
3．面积为S的△ABC中，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概率．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝＝.
4．(2011年高考江西卷)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析：法一：不在家看书的概率＝＝＝.
法二：不在家看书的概率＝1－在家看书的概率＝1－＝.
答案：
一、选择题
1．已知地铁列车每10 min一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选C.记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A，则A所占时间区域长度为1 min，而整个区域的时间长度为11 min，故由几何概率的概率公式，得P(A)＝.
2．如图，转盘上有8个面积相等的扇形，转动转盘，则转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.转盘停在任何一个位置是等可能的，∵阴影部分对应的扇形面积(或弧长)之和是整个圆的面积(或周长)的，∴所求概率P＝.
3．在等腰Rt△ABC的斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率( )
A. B.
C. D.
解析：选C.
如图，在AB上截取AC′＝AC，于是P(AM＜AC)＝＝＝.所以AM的长小于AC的长的概率为.
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则cos的值介于0到之间的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选A.在区间[－1,1]上随机取一个实数x，cos的值位于[0,1]区间，若使cos的值位于[0，]区间，取到的实数x应在区间[－1，－]∪[，1]内，根据几何概率的计算公式可知P＝＝.
5．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )
A. B.
C. D．无法计算
解析：选B.由几何概率的公式知：＝，
又S正方形＝4，∴S阴影＝.
6．(2011年吉林高一检测)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )
解析：选A.根据几何概率的面积比，A中中奖概率为，B游戏盘的中奖概率为，C游戏盘的中奖概率为＝，D游戏盘的中奖概率为＝，故A游戏盘的中奖概率最大．
二、填空题
7．(2010年高考湖南卷)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析：∵区间[－1,2]的区间长度为3，随机数x的取值区间[0,1]的区间长度为1.
∴由几何概率知x∈[0,1]的概率为.
答案：
8．如图，在一个边长为3 cm的正方形内部有一个边长为2 cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是________．
解析：由题意知，此题是与面积有关的几何概率．由公式得：P＝＝.
答案：
9．如果函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，那么任取一点x0，使f(x0)≤0的概率为________．
解析：∵x∈[－5,5]，若f(x)≤0，则：x0－x0－2≤0，
∴－1≤x0≤2，∴P＝＝0.3.
答案：0.3
三、解答题
10.
往如图所示的正方形内随机地投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分的概率．
解：由
解得∴|AC|＝.
由解得
∴|BC|＝.
∴Rt△ACB的面积为S△ACB＝××＝.
又∵正方形的面积为4.
∴由几何概率公式得飞镖落在阴影部分的概率为＝.
11．两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设甲、乙两艘轮船停靠泊位的时间分别是2小时与4小时，求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率．
解：
如图所示，以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的等价条件是2≤x－y≤4，在平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的所有可能结果由图中的阴影部分来表示，
μA＝242－×222－×202＝134，
μΩ＝242＝576，
所以P(A)＝＝＝.
故有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为.
12．如图，圆O方程为x2＋y2＝4.
(1)已知点A的坐标为(2,0)，B为圆周上任意一点，求弧长小于π的概率；
(2)若P(x，y)为圆O内任意一点，求点P到原点距离大于1的概率．
解：(1)记事件M为“弧长小于π”，
∵圆O的周长C＝4π，满足事件M的弧长l＝2π，
∴弧长小于π的概率P(M)＝＝.
(2)记事件N为“点P到原点距离大于1”，则事件N构成的区域是圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＝4所构成的圆环，其面积为4π－π＝3π，而圆O的面积为4π，
所以点P到原点距离大于1的概率P(N)＝＝.
