2021-2022学年度上学期五校期中联考高二数学参考答案
—选择题（每题5分，共12题。一共60分）
1C. 2 B 3C 4B 5D 6D 7B 8A 9B 10B 11C 12C
13解析：方法一：＋－＝(＋)－＝－＝.
方法二：＋－＝＋(－)＝＋＝.
答案：
14解析：因为A，B，D三点共线，所以存在实数λ使得＝λ.因为＝2e1－ke2，＝－＝(k－3)e1－2e2，所以所以k2－3k－4＝0，解得k＝－1或k＝4.
15解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.
答案：3i＋2j＋5k
16解析：因为l1⊥l2，所以a⊥b，
所以a·b＝－2＋6－2m＝0，解得m＝2.
答案：2
三解答题（共4个题，每题10分，共40分）
17（10分）解：在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1，〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.----------（5分）
·＝||||·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝.-----（10分）
18（10分）(1)证明：因为＝＋，
所以·＝(＋)·
＝·＋·＝||||cos 60°＋||||·cos 120°＝a2－a2＝0.所以BD⊥PC.-------（5分）
(2)解：因为＋＝＋＋，
所以|＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos 60°＋2a2cos 60°＝5a2，
所以|＋|＝a.-------（10分）
19（10分）【解】 (1)令y＝0，则
所以，
得m＝－或m＝3(舍去).所以m＝－.--------（5分）
(2)由直线l化为斜截式方程得
，则，
得m＝－2或m＝－1(舍去).所以m＝－2.-------（10分）
20（10分）解：(1)由已知得半径r＝＝.
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2.------（5分）
(2)由题意知切线的斜率存在，设过点P(2，－1)的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，则由已知得，点C到直线的距离为＝，
整理得k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1.
故所求切线方程为7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.（10分）黑龙江2021-2022学年度上学期五校期中联考高二数学试题
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满分120分考试 时间90分钟
一 、选择题（共12题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确选项）
1．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是 ( )
A．＋＝ B．－＝
C．＝ D．||＝||
2．已知异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则两直线的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知{a，b，c}是空间一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间另一个基底的是( )
A．a B．b C．c D．p－2q
4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是( )
A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定
5．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则 平面α，β的的关系 ( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
6．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是( )
A．(1，1，－1) B．(1，－1，1)
C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1)
7．若直线l经过原点和点(－1，1)，则它的倾斜角是( )
A．45° B．135° C．45°或135° D．－45°
8．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为( )
A． B． C．1 D．
9．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2( )
A．平行 B．垂直 C．重合 D．非以上情况
10．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为( )
A.(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2)
11．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A.(4，－6)，r＝16 B．(2，－3)，r＝4
C.(－2，3)，r＝4 D．(2，－3)，r＝16
12．直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是( )
A.相离 B．相切 C.相交 D．无法确定
二.填空（共4个题，每题5分，共20分）
13．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝________．
14．设e1，e2是两个不共线的空间向量，若＝2e1－ke2，＝3e1＋3e2，＝ke1＋e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值为________．
15．在长方体ABCD A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量AC1在基底{i，j，k}下表示为________．
16．设l1的方向向量为a＝(1，2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2，3，m)，若l1⊥l2，则m＝________．
三．解答题（共4个题，每题10分，共40分）
17．如图，已知正四面体OABC的棱长为1.
求：·
18.如图，正四棱锥P ABCD的各棱长都为a.
(1)用向量法证明BD⊥PC；
(2)求|＋|的值．
19.设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
20.已知圆C经过点(0，1)，且圆心为C(1，2).
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，－1)作圆C的切线，求该切线的方程．
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