第三章 圆锥曲线
3.3.1抛物线的标准方程(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】的焦点在轴，焦点纵坐标是，所以焦点坐标为.
故选：D.
2．抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，则该抛物线的准线方程为，故选:B.
3．若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2
C． D．4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点，到直线的距离为，
可得，解得．故选：B．
4．已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则=（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】A
【解析】由抛物线可得，准线方程，，是上一点，，．，解得．故选：A．
5．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（ ）
A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m
【答案】C
【解析】取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，则，
设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，解得，
∴抛物线方程为，行车道总宽度，
∴将代入抛物线方程，得解得，
∴限度为（米）
∴则车辆通过隧道的限制高度是米， 故选：C
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．由点A在抛物线上，得＝a，即a＝，则y2＝x.由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋＝1＋＝；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)．由点A在抛物线上，得1＝b，即b＝4，则x2＝4y.由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝＋1＝. 故选：AB.
7．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，经过点M(x0,2)．若点M到准线的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
【答案】AC
【解析】设抛物线的方程为y2＝mx.因为抛物线过点M，所以8＝mx0，从而x0＝.因为点M到准线的距离为3，所以＋＝3，解得m＝±4或m＝±8，故选:AC．
8．已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．的面积为
【答案】BCD
【解析为线段，
：为线段，
又，
①当时，由题意可得，点在轴上；
②当时，，，此时点在轴上；
③当时，为点到的距离，，
此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，
所以，故抛物线的标准方程为；
④当时，，，
此时点在的中垂线上，而，，中点坐标为，
所以，所以点在直线上，故选项A错误；
又，所以，解得，
故点A的坐标为，故选项B正确；
因为，又点在上，
联立方程组，可得，
所以点B的坐标为，故选项C正确；
，故直线AB的方程为，
则直线与的交点坐标为，
所以，故选项D正确. 故选：BCD.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则__________
【答案】2或4
【解析】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或. 故答案为：2或4.
10．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=__________；点的坐标为__________．
【答案】2
【解析】因为焦点，所以，设点，根据抛物线的定义得：，解得，所以点的坐标为，故答案为2；
11．已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为____________-
【答案】2
【解析】抛物线（）的准线方程为，
圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2，
圆心到准线的距离为，所以有，解得．故答案为：2
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．试分别求满足下列条件的抛物线标准方程，并求对应抛物线的准线方程
（1）过点，对称轴为坐标轴
（2）对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上
【答案】（1）所求的抛物线方程为或，前者的准线方程是，后者的准线方程是；
（2）所求的抛物线方程为，准线方程式.
13．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
【答案】 （2,2）
【解析】如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|，
当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号．∴min ＝|AB|＝3＋＝.
此时yP＝2，代入抛物线得xP＝2，∴P点坐标为(2，2)．
14．已知在抛物线：上.
（1）求抛物线的方程；
（2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】（1）将点坐标代入抛物线方程得，即，
所以抛物线的方程为；
（2）设：，将的方程与联立得，
，
设，，则，，
，同理：，
由题意：，，
解得，有，即，
故直线：恒过定点.第三章 圆锥曲线
3.3.1抛物线的标准方程(提升练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
2．抛物线的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．若抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1 B．2
C． D．4
4．已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则=（ ）
A．1 B．2
C．4 D．8
5．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示.为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为0.7m，若行车道总宽度为7.2m，则车辆通过隧道时的限制高度为（ ）
A. 3.3m B. 3.5m C. 3.8m D. 4.5m
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．已知顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是（ ）
A. B. C. D.
7．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，经过点M(x0,2)．若点M到准线的距离为3，则该抛物线的方程为（ ）
A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝－8x
8．已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作.已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（ ）
A．曲线关于轴对称 B．点的坐标为
C．点的坐标为 D．的面积为
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则__________
10．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则=__________；点的坐标为__________．
11．已知抛物线（）的准线与圆相交所得的弦长为，则的值为____________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．试分别求满足下列条件的抛物线标准方程，并求对应抛物线的准线方程
（1）过点，对称轴为坐标轴
（2）对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上
13．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．
14．已知在抛物线：上.
（1）求抛物线的方程；
（2），是抛物线上的两个动点，如果直线的斜率与直线的斜率之和为2，证明：直线过定点.
