第三章 圆锥曲线
3.3.1抛物线的标准方程(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，焦点为
【答案】A
【解析】由题知，该抛物线的标准方程为，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A.
2．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为（ ）
A． B．1
C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题可得，即，所以焦点F到准线的距离为1，故选：B．
3．抛物线上一点到焦点F的距离为3，则p值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由抛物线的定义可知，，
，
，所以，故选：D．
4．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A. 2 B. 2或4 C. 1或2 D. 1
【答案】B
【解析】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，
所以，即，代入抛物线方程可得，
整理得，解得或.故选：B.
5．如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，从而得
，求得
所以抛物线的方程为．故选：B
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为．
若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，又因为抛物线经过点，所以，解得，所以抛物线的方程为．故选:AC．
7．下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由题意知，，故A，D正确，B错误，
又，化简得，其图象与形状相同，
所以C正确． 故选：ACD．
8在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
【答案】BC
【解析】由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错. 故选:BC.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
【答案】10
【解析】抛物线，，则焦点到准线的距离为10．故答案为10．
10．若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为_______.
【答案】
【解析】由可得其焦点，准线为，
因为点在抛物线上，
所以点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以，故答案为：.
11．抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上.以为圆心的圆与准线相切于点，的纵坐标为，是圆与轴不同于的另一个交点，则的值为__________
【答案】2
【解析】∵，
∴，结合抛物线定义知，
∴，
作，则N为EF的中点，
∴，
∴，故， 故答案为：2
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
【答案】（1）y2＝－12x.；（2）y2＝±2x或y2＝±18x..
【解析】(1) 双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3，0)．
由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，
则＝－3，所以p＝6，所以抛物线的方程为y2＝－12x.
(2) 设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2nx(n≠0)，A(m，－3)．
由抛物线定义，得5＝AF＝|m＋|.
又(－3)2＝2nm，联立解得n＝±1或n＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
求抛物线的方程；
【答案】
【解析】已知抛物线过点，且
则，所以，故抛物线的方程为；
14．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图），求该抛物线的方程．
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？
【答案】（1）；（2）4.05米
【解析】（1）根据题意可设该抛物线的方程为，
结合图象，可得点的坐标，
将点在抛物线上，即，解得，
所以该抛物线的方程为．
（2）设车辆高为h米，则，故，
将点代入方程，解得，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.05米．第三章 圆锥曲线
3.3.1抛物线的标准方程(基础练）
一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）
1．对抛物线，下列描述正确的是（ ）
A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，焦点为
2．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
3．抛物线上一点到焦点F的距离为3，则p值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（ ）
A. 2 B. 2或4 C. 1或2 D. 1
5．如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点，若，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）
6．经过点的抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．下列四个抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B． C． D．
8在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）
9．抛物线的焦点到其准线的距离为__________．
10．若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为_______.
11．抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上.以为圆心的圆与准线相切于点，的纵坐标为，是圆与轴不同于的另一个交点，则的值为__________
四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
12．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1) 抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
(2) 抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5.
13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．
求抛物线的方程；
14．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy（如图），求该抛物线的方程．
（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？
