第一章专题强化练3　磁场中的临界、极值问题练习（Word含解析）

第1章　安培力与洛伦兹力
专题强化练3　磁场中的临界、极值问题
一、选择题
1.(2021山西晋中高二期末,)如图所示,左右边界为CD和EF的匀强磁场宽度为d,磁感应强度为B,方向垂直纸面向里,一电子从CD边界以速率v0射入匀强磁场,入射方向与CD边界夹角为θ=30°,已知电子的质量为m,电荷量为e,电子仅受洛伦兹力作用,为使电子不能从磁场的另一侧EF射出,v0的最大值是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.(2021山东烟台莱州一中高二开学考试,)(多选)如图所示,一圆筒内存在匀强磁场,该筒横截面的半径为R,磁场方向垂直于横截面向里,图中直径MN的两端分别开有小孔,在该截面内,有质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从M端的小孔射入筒内,射入时的速度方向与MN成30°角。当圆筒绕其中心轴以角速度ω顺时针转动120°角时,该粒子恰好飞出圆筒。不计粒子重力,粒子在筒内未与筒壁发生碰撞,则下列说法正确的是 (　　)
A.筒内磁场的磁感应强度大小为
B.筒内磁场的磁感应强度大小为
C.粒子飞入的速度大小为Rω
D.粒子飞入的速度大小为Rω
3.(2020四川绵阳南山中学实验学校高二上月考,)(多选)如图,一束电子以大小不同的速率沿图示方向飞入一正方形的匀强磁场区域,对从右边离开磁场的电子,下列判断正确的是 (　　)
A.从a点离开的电子速度最小
B.从a点离开的电子在磁场中运动时间最短
C.从b点离开的电子运动半径最小
D.从b点离开的电子速度偏转角最小
4.(2020河南天一大联考,)如图所示,匀强磁场的边界是两个同心圆,内圆的半径为r,磁场方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B,A是内侧边界上的一点。在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,粒子速度方向与OA成60°角,粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场,不计粒子重力,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子一定带正电
B.粒子第一次在磁场中运动的时间为
C.粒子运动的速度大小为
D.磁场外边界圆的半径至少为r
5.(2020重庆巴蜀中学高三月考,)如图所示,半径分别为R、2R的两个同心圆,圆心为O,大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,其余区域无磁场,一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO方向以速度v1射入磁场,其运动轨迹如图中所示,图中轨迹所对的圆心角为120°;若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2,不论其入射方向如何,都不可能射入小圆内部区域,则v1∶v2至少为 (　　)
A. B.
C. D.
6.(2020江苏启东中学高二上期末,)如图所示,空间存在方向垂直纸面的匀强磁场,一粒子发射源P位于足够大绝缘平板MN的上方,P与MN之间的距离为d,P可以在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力,已知粒子做圆周运动的半径大小也为d,则粒子 (　　)
A.能打在板上的区域长度为2d
B.能打在板上离P点的最远距离为d
C.到达板上的最长时间为
D.到达板上的最短时间为
7.(2020河南鲁山一中高二上月考,)(多选)如图所示,等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度的大小为B,在bc的中点O处有一粒子源,可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子,这些粒子带负电,质量为m,电荷量为q,已知这些粒子都能从ab边离开abc区域,ab=2l,不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子,下列说法正确的是 (　　)
A.速度的最大值为
B.速度的最小值为
C.在磁场中运动的最短时间为
D.在磁场中运动的最长时间为
二、非选择题
8.(2021安徽舒城中学高二开学考试,)如图,在POQ区域内分布有磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,有一束正离子流(不计重力),沿纸面垂直于磁场边界OQ方向从A点射入磁场,已知OA=d,∠POQ=45°,离子的质量为m、带电荷量为q,要使离子不从OP边射出,离子进入磁场的速度最大不能超过多少
9.(2020重庆高二期末,)如图所示,在矩形区域abcd内存在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,矩形区域的宽ab=L,长ad=3L。一粒子源处于ad边中点O,在t=0时刻粒子源垂直于磁场发射出大量的同种带电粒子,所有粒子的初速度大小相同,方向与Od的夹角分布在0~180°范围内。已知最早到达bc边的粒子的运动时间为t=t0,粒子在磁场中做圆周运动的半径R=L,不计粒子的重力和粒子间的相互作用,求
(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期T;
(2)粒子的比荷;
(3)粒子在磁场中运动的最长时间。深度解析
10.(2021山东威海高二期末,)如图所示,在区域Ⅰ(0≤x≤d)和区域Ⅱ(d0)的粒子从O点沿x轴正方向进入磁场,粒子离开区域Ⅰ时的速度方向与x轴正方向的夹角为30,不计重力,求:
(1)粒子进入区域Ⅰ时的速度大小;
(2)粒子在区域Ⅱ中的运动时间;
(3)若区域Ⅱ内磁感应强度大小可变,要保证粒子能够从区域Ⅱ右侧射出,求磁感应强度大小B'应满足的条件。
11.(2020福建师大附中高二上期末,)如图所示,MN为绝缘板,C、D为板上两个小孔,AO为CD的中垂线,在MN的下方有匀强磁场,方向垂直纸面向外(图中未画出),质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)以某一速度从A点沿平行于MN的方向进入静电分析器,静电分析器内有均匀辐向分布的电场(电场方向指向O点),已知图中虚线圆弧的半径为R,其所在处场强大小为E,粒子恰好沿图中虚线做圆周运动,然后从小孔C垂直于MN进入下方磁场。
(1)求粒子运动的速度大小;
(2)粒子在磁场的运动过程中与MN板发生碰撞,碰后以原速率反弹,且碰撞时无电荷的转移,之后恰好从小孔D进入MN上方的一个三角形匀强磁场区域,从A点射出磁场,则三角形磁场区域最小面积为多少 MN上下两区域磁场的磁感应强度大小之比为多少
(3)粒子从A点出发后,第一次回到A点所经过的总时间为多少
答案全解全析
第1章　安培力与洛伦兹力
专题强化练3　磁场中的临界、极值问题
1.C　电子不能从磁场的另一侧EF射出,当与EF相切时,电子速度最大,根据几何关系有d=r+r cos θ,又有r=,解得vm=,故选C。
2.AC　根据题意,粒子运动的时间等于圆筒转动时间,为t=·=,带负电的粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,根据几何关系可知粒子运动的圆心角为θ=60°,则粒子在磁场中运动的时间为t=T,粒子的运动周期T=,解得B=,A正确,B错误;根据几何知识可得粒子的轨迹半径为R,根据牛顿第二定律得qvB=m,解得v=Rω,C正确,D错误。
3.BC　对于从右边离开磁场的电子,从a点离开的轨道半径最大,从b点离开的轨道半径最小,根据带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式r=,知轨道半径大,则速度大,则从a点离开的电子速度最大;从a点离开的电子偏转角最小,则圆弧所对的圆心角最小,根据t=T=·=,与粒子的速度无关,知θ越小,运动的时间越短,选项B、C正确,A、D错误。
4.D　根据题意,粒子在磁场中运动的轨迹如图,根据左手定则可以判断,粒子带负电,选项A错误;粒子第一次在磁场中运动的时间为t=T=,选项B错误;粒子在磁场中做圆周运动的半径R=r tan 30°=r,根据牛顿第二定律有qvB=m,解得v=,选项C错误;磁场外边界圆的半径至少为r'=R+=r,选项D正确。
5.A　粒子在磁场中做圆周运动,如图,由几何知识得r1==,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律得qv1B=m,解得v1=,若粒子以速度大小为v2朝各个方向入射,当粒子竖直向上射入磁场时,如果粒子不能进入小圆区域,则所有粒子都不可能进入小圆区域,粒子竖直向上射入磁场且恰好不能进入小圆区域时粒子轨道半径r2=,由洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律得qv2B=m,解得v2=,则v1=v2,选项A正确,B、C、D错误。
6.C　打在极板上粒子轨迹的临界状态如图甲所示,根据几何关系知,带电粒子能到达板上的长度l=R+R=(1+)R=(1+)d,选项A错误;由图可以看到打在板上最远点是右边,由几何关系知它与P点的距离是2d,选项B错误;
甲
打到板上的粒子在磁场中运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图乙所示,
乙
由几何关系知,最长时间t1=T,最短时间t2=T
又有粒子在磁场中运动的周期T==,根据题意t1=,t2=,选项C正确,D错误。
7.ACD　粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示,由几何知识可知r1=,2r2 cos 45°=O2c=r2+l,解得r2=(1+)l,粒子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,故粒子的最大速度为vmax==,最小速度vmin==,选项A正确,B错误;由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知,粒子转过的最大圆心角θmax=180°,最小圆心角θmin=45°,粒子做圆周运动的周期T=,则粒子在磁场中运动的最短时间tmin=T=,最长时间tmax=T=,选项C、D正确。
8.答案　
解析　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,当圆轨迹与OP边相切时,射入磁场的粒子速度最大,轨迹如图所示
设最大半径为R,由几何关系得
R(1+)=d
由牛顿第二定律得
qvmaxB=m
联立以上两式解得vmax=
所以有v≤
9.答案　(1)6t0　(2)　(3)2t0
解析　(1)最早到达bc边的粒子在磁场中运动的轨迹如图甲,其圆心角为θ,
由几何关系有sin =,所以θ=60°
=
解得T=6t0
(2)粒子做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供,根据牛顿第二定律得qvB=m,
又有v=
所以T=
解得=
(3)如图乙所示,在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹与bc边相切于N点,与ab边的交点为M点,圆轨迹的半径为O2O=O2M=L,O2a=,由几何关系知轨迹对应的圆心角为120°,粒子在磁场中运动的最长时间tmax==2t0。
方法技巧
　　解题关键是画出粒子的运动轨迹,根据几何知识确定隐含的极值条件和粒子运动轨迹对应的圆心角。
10.答案　(1)　(2)　(3)B'<3B
解析　(1)根据题意画出粒子的运动轨迹如图所示
设粒子在区域Ⅰ内的半径为r1,据几何知识得
d2+(r1 cos 30°)2=
据牛顿第二定律得qvB=m
联立解得v=
(2)设粒子在区域Ⅱ内的半径为r2,周期为T,则据牛顿第二定律得2Bqv=m
解得r2=d
根据几何知识得,粒子在区域Ⅱ中运动的轨迹所对应的圆心角θ=
据运动学公式得v=
粒子在区域Ⅱ中运动的时间
t=T
联立各式解得
t=
(3)粒子刚好与区域Ⅱ右侧相切时,轨迹如图所示
设粒子刚好从区域Ⅱ右侧射出的半径为r3,根据几何知识得
r3+r3 sin 30°=d
根据牛顿第二定律得
B'qv=m
联立各式解得
B'=3B
所以,要保证粒子能从区域Ⅱ右侧射出,磁感应强度应满足的条件为
B'<3B
11.答案　(1)　
(2)R2　(n=1,2,3…)　
(3)2π
解析　(1)由题可知,粒子进入静电分析器做圆周运动,则有Eq=
解得v=
(2)粒子从D到A做匀速圆周运动,轨迹如图所示
图示三角形区域面积最小值为S=
设三角形区域内磁场的磁感应强度为B,在磁场中洛伦兹力提供向心力,则有qvB=
解得R=
设MN下方的磁感应强度为B1,粒子在MN下方的磁场中做圆周运动的半径为R1,
若只碰撞一次,则有
R1==
故=
若碰撞n次,则有R1==
故=(n=1,2,3…)
(3)粒子在电场中运动时间为
t1==
在MN下方的磁场中运动时间为
t2=×2πR1×=πR=π
在MN上方的磁场中运动时间为
t3=×=
总时间为t=t1+t2+t3=2π