福建省罗源县第一中学2013届高三第一次月考数学（理）试题

完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题列出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项代号填在答卷的相应位置上
1.已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，则集合M∩N等于（ ）
A.{x|x＜－2} B.{x|x＞3} C.{x|－1＜x＜2} D.{x|2＜x＜3}
2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
A、 B、 C、 D、
3.下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）
A. B.
C . D．
4.
A B C D
5．函数（）的值域为（ ）
6．有关命题的说法错误的是（ ）.
A.命题“若 则 ”的逆否命题为：“若,
则”.
B.“”是“”的充分不必要条件.
C.若为假命题，则、均为假命题.
D.对于命题：使得. 则： 均有
7.已知f（）=，则f（x）的解析式可取为( )
A. B.－　　　C. D.－
8.方程的解的个数是（ ）
A．0 B ．1 C．2 　　 D．3
9.已知函数是偶函数，在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A. B.
C. D.
10．函数的单调增区间是 （ ）
A. B. C. D.
11． 函数的图象是 （ ）
12.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）把答案填在答卷的相应位置上.
13.设函数为奇函数，则实数___________
14．设则__________．
15．规定记号“”表示一种运算，即，若对任意实数都成立，则实数的取值范围是
16．已知集合，，且，，则满足条件的集合C的个数有______个。（填数字）
三、解答题：（本大题共6小题，共74分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17、（本题12分）幂函数过点（2，4），求出的解析式并用单调性定义证明在上为增函数。
18．（本题12分）已知函数的图像关于原点对称，并且当时，，试求在上的表达式，并画出它的图像，根据图像写出它的单调区间。
19．(本题满分12分)二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f (2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；(2)若f(x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求a的取值范围．
20. (本题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
21. (本题满分12分)若定义在上的函数同时满足下列三个条件：
①对任意实数均有成立；
②； ③当时，都有成立。
（1）求，的值；
（2）求证：为上的增函数
（3）求解关于的不等式.
22．(本题满分14分)设（为实常数）．
当时，证明：不是奇函数；
设是奇函数，求与的值；
当是奇函数时，证明对任何实数、c都有成立
2012---2013学年度第一学期罗源一中第一次月考参考答案
18.解： 的图像关于原点对称，是奇函数，.
又在上，解得.
若，则，
于是有.……8分
函数的图像如图所示：…………………10分
由图像可知的单调递增区间为和；
递减区间为和.……………………12分
19.解：(1)∵f(x)为二次函数且f(0)＝f(2)，∴对称轴为x＝1.
又∵f(x)最小值为1，∴可设f(x)＝a(x－1)2＋1　(a>0)
∵f(0)＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－1)2＋1，即f(x)＝2x2－4x＋3.
(2)由条件知2a<120．解：（1）， ，，，（），（）.
（2）设投资债券类产品万元，则股票类投资为（）万元.
,
令，则==
所以当，即万元时，收益最大，万元．
21.解：（1）令得=0，令，得
（2）证明：设则，则；，故,为R上的增函数
由已知得原不等式转化为，结合为R上的增函数得：
，解得 .故原不等式的解集为.