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4.2 指数函数
【学习要求】
1.了解指数函数的概念.
2.会画出指数函数图象.
3.掌握并能应用指数函数的性质．
【思维导图】
【知识梳理】
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.
【注】指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
【注】(1)a>1是“一撇”，0
(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．
3．比较幂的大小的常用方法
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，若复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；若两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法：先是定义域关于原点对称，后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法：作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
【高频考点】
高频考点1. 指数函数的解析式、定义域
【方法点拨】根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（1）（2021·江苏高一专题练习）若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝________.
（2）（2021·重庆高一专题练习）已知函数，则___.
（3）（2021·湖北高一月考）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）（多选）
A． B． C． D．
【变式1-1】（2021·广东高一专题练习）若函数(，且)是指数函数，则______，______.
【变式1-2】（2021 徐汇区校级期中）若指数函数y＝ax的定义域和值域都是[2，4]，则a＝ ；
【变式1-3】（2021·太原市第五十六中学校高一月考）若指数函数的图象经过点，则__________，___________．
【变式1-4】（2021·河北高一课时练习）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(2，＋∞)
高频考点2. 指数函数过定点问题
【方法点拨】根据指数函数恒过（0,1）解决指数型函数的定点问题，可将指数型函数看作是指数函数平移的结果.
【例2】（1）（2021·上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.
（2）（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【变式2-1】（2021·湖南师大附中）函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A．-8 B．-9 C． D．
【变式2-2】（2021·上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．
【变式2-3】（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
【变式2-4】（2021·江苏扬中市第二高级中学高一期末）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
高频考点3 . 比较幂值的大小
【方法点拨】利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.
【例3】（2021·江西高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2021 路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c
【变式3-2】（2021·全国）已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【变式3-3】（2021 十堰期末）已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【变式3-4】（2021 封开县校级模拟）0.44，1与40.4的大小关系是（ ）
A．0.44＜40.4＜1 B．0.44＜1＜40.4 C．1＜0.44＜40.4 D．l＜40.4＜0.44
高频考点4 . 解指数不等式
【方法点拨】指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例4】（1）（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（2021 高州市校级期中）若函数f（x）＝（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数．（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）．
【变式4-2】（2021·全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
【变式4-3】（2021 禅城区校级月考）若函数f（x）＝（k+2）ax+2﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数
（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣1）
【变式4-4】（2021 丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）．
（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．
高频考点5. 指数函数的图象及应用
【方法点拨】①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例5】（1）（2021·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·河北安平中学）函数的图象不可能为（ ）
A． B．C． D．
【变式5-1】（2021 海淀区期中）已知函数y＝ax、y＝bx、y＝cx、y＝dx的大致图像如图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．b+d＞a+c B．b+d＜a+c C．a+d＞b+c D．a+d＜b+c
【变式5-2】（2021 长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【变式5-3】（2021·安徽高一开学考试）已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-4】（2021年广东）已知0高频考点6 . 指数型复合函数性质的应用
【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例6】（2021 集宁区期中）函数（1）求f（x）的单调增区间．（2）x∈[﹣1，2]时，求f（x）的值域．
【变式6-1】（2021·汕头市达濠华侨中学高一期末）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为____．
【变式6-2】（2021 眉山期末）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．
（1）比较f（2）与f（b2+2）的大小；（2）求函数g（x）（x≥0）的值域．
【变式6-3】（2021 任城区期中）已知函数f（x）＝ax+b，（a＞0，a≠1）．
（I）若f（x）的图象如图所示，求a，b的值；（II）在（I）中，作出g（x）＝|f（x）|草图；
（III）在（II）中，若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，写出m的取值范围．
【变式6-4】（2021 荆州区校级期中）设函数f（x）＝（）10﹣ax，a是不为零的常数．（1）若f（3），求使f（x）≥4的x值的取值范围；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值是16，求a的值．
高频考点7 . 指数函数的实际应用
【方法点拨】从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例7】（2021 长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
【变式7-1】（2021·山东临沂高一期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第个月时，浮萍面积不超过
D．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则
【变式7-2】（2021·黑龙江萨尔图大庆实验中学高一期末）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（ ）（提示：）
A．93.8万亿元 B．97万亿元 C．99.9万亿元 D．106.39万亿元
【变式7-3】按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？
【变式7-4】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h
（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）（3）运用上面的数据，作此函数的图象．
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
2.（2021 嘉峪关校级月考）下列函数：①；②y＝6x；③y＝6 2x；④y＝8x+1；⑤y＝﹣6x.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021 高台县校级期中）某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
4.（2021·江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021 河北区学业考试）若（）x﹣2，则函数y＝2x的值域是（ ）
A．[，2） B．[，2] C．（﹣∞，] D．[2，+∞）
6．（2021·重庆高一期末）已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2021·湖南天心长郡中学高一月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·湖南高一课时练习）已知函数，则下列判断中正确的是（ ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏高一期中）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A． B． C． D．
10．（2021 深圳期末）如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象．有以下说法：其中正确的说法是（ ）
A．每月减少的有害物质质量都相等 B．第4个月时，剩留量就会低于
C．污染物每月的衰减率为 D．污染物每月的衰减率为
11．（2021·湖南高一开学考试）定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的值域为 B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
12．（2021·东营市第一中学高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021·汕头市达濠华侨中学高一期末）已知函数，则的单调递增区间是______．
14．（2021·浙江）设函数，已知，则实数a的取值范围是___________.
15．（2021·浙江高一课时练习）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．
16．（2021·贵州高一期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为_______
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021 邕宁区校级期中）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；（2）求函数y＝f（x）+1（x≥0）的值域．
18．（2021 秦都区校级月考）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值为M，最小值为N．（1）若M+N＝6，求实数a的值；（2）若M＝2N，求实数a的值．
19．（2021·福建龙岩高一期中）已知函数.
（1）当时，求函数的值域；（2）若有最大值81，求实数的值.
20．（2021·江苏东海高一期中）已知函数（其中是常数）.
（1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
21．（2021·海南儋州二中高一月考）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；（2）判断的单调性；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．
22．（2021 殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
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4.2 指数函数
【学习要求】
1.了解指数函数的概念.
2.会画出指数函数图象.
3.掌握并能应用指数函数的性质．
【思维导图】
【知识梳理】
1．指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量.
【注】指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：仅有自变量x；(3)系数：ax的系数是1.
2．指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
奇偶性 非奇非偶函数
【注】(1)a>1是“一撇”，0(4)在y轴右侧，a越大，图象越高，即逆时针方向，底数依次增大．
3．比较幂的大小的常用方法
(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
4．有关指数型函数的性质
(1)求复合函数的定义域
形如y＝af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域．
求形如y＝af(x)的函数的值域，应先求出u＝f(x)的值域，再由单调性求出y＝au的值域．若a的范围不确定，则需对a进行讨论．
求形如y＝f(ax)的函数的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定出y＝f(ax)的值域．
(2)判断复合函数的单调性
令u＝f(x)，x∈[m，n]，若复合的两个函数y＝au与u＝f(x)的单调性相同，那么复合后的函数y＝af(x)在[m，n]上是增函数；若两者的单调性相反(即一增一减)，那么复合函数y＝af(x)在[m，n]上是减函数．
(3)研究函数的奇偶性
一是定义法：先是定义域关于原点对称，后分析式子f(x)与f(－x)的关系，最后确定函数的奇偶性．
二是图象法：作出函数图象或从已知函数图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性．
【高频考点】
高频考点1. 指数函数的解析式、定义域
【方法点拨】根据指数函数的定义，结合具体条件，进行求解即可.
【例1】（1）（2021·江苏高一专题练习）若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(－1)＝________.
（2）（2021·重庆高一专题练习）已知函数，则___.
（3）（2021·湖北高一月考）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）（多选）
A． B． C． D．
【答案】（1）（2）16 （3）BC
【解析】（1）设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(2，9)代入，得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去).
所以f(x)＝3x.所以f(－1)＝3－1＝.故答案为：
（2）根据题意，函数，则，则，故答案为：16.
（3）当时，函数在区间上为单调递增函数，
当时，，当时，，所以，即，解得或，
因为，所以；当时，函数在区间上为单调递减函数，
当时，，当时，，
所以，即，解得或，
因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC
【变式1-1】（2021·广东高一专题练习）若函数(，且)是指数函数，则______，______.
【答案】（1）D（2）-1 2
【解析】（1）根据指数函数的特征:系数为1，底数满足且，自变量在指数位置可知，A，B，C不满足,D满足.故选：D.
（2）根据指数函数的定义，得解得故答案为：；2．
【变式1-2】（2021 徐汇区校级期中）若指数函数y＝ax的定义域和值域都是[2，4]，则a＝ ；
【分析】通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出a的值即可．
【解析】解：由题意得：a＞1时，函数是增函数，故a2＝2，解得：a，
0＜a＜1时，函数是减函数，故a2＝4，解得：a＝2，不合题意，舍，综上：a，故答案为：．
【变式1-3】（2021·太原市第五十六中学校高一月考）若指数函数的图象经过点，则__________，___________．
【答案】
【解析】设（且），因为的图象经过点，
所以，可得，所以，所以，故答案为：；.
【变式1-4】（2021·河北高一课时练习）若函数f(x)＝的定义域是[1，＋∞)，则a的取值范围是（ ）
A．[0，1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0，1) D．(2，＋∞)
【答案】B
【解析】∵ax－a≥0，∴ax≥a，∴当a＞1时，x≥1．故函数定义域为[1，＋∞)时，a＞1．故选：B．
高频考点2. 指数函数过定点问题
【方法点拨】根据指数函数恒过（0,1）解决指数型函数的定点问题，可将指数型函数看作是指数函数平移的结果.
【例2】（1）（2021·上海高一专题练习）函数的图像恒过定点______.
（2）（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．
【答案】（1）（2）4
【解析】（1） ，令，得，，
函数的图象恒过定点，故答案为：.
（2）∵函数且的图象恒过定点，可得 ，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以 ，当且仅当时取得等号；故答案为：4
【变式2-1】（2021·湖南师大附中）函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（ ）
A．-8 B．-9 C． D．
【答案】A
【解析】∵，令，得，∴，∴的图象恒过点，
设，把代入得，∴，∴，∴.故选：A
【变式2-2】（2021·上海市建平中学高一期末）对于任意实数，函数（且）的图像经过一个定点，则该定点的坐标是________．
【答案】
【解析】因为函数图像可以通过向左平移个单位得，再将图像上的点向上平移个单位得到，且指数函数（且）恒过定点，
所以函数（且）的图像经过定点.故答案为：
【变式2-3】（2021·全国高一课时练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为____________.
【答案】
【解析】时，，所以函数图象恒过定点．故答案为：．
【变式2-4】（2021·江苏扬中市第二高级中学高一期末）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由于为幂函数，则，解得：，
则；函数，
当时，，故的图像所经过的定点为，
所以，即，解得：,故选：B.
高频考点3 . 比较幂值的大小
【方法点拨】利用指数函数的单调性，来比较幂值的大小.
【例3】（2021·江西高安中学高一月考）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，构造函数，由指数函数和幂函数的性质，
可知两个函数在单调递增；由于；由于；
综上：故选：A
【变式3-1】（2021 路南区校级期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，则（ ）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c
【分析】根据指数函数的图象和性质，比较三个数的大小，可得答案．
【解析】解：∵y＝0.3x为减函数，2＞1.5＞0，故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1，
∵y＝2x为增函数，0.3＞0，故c＝20.3＞20＝1，故c＞b＞a，故选：C．
【变式3-2】（2021·全国）已知，，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，
且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，则，故选：C.
【变式3-3】（2021 十堰期末）已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【分析】由指数函数单调性可知40.1＞1，0＜0.40.8＜0.40.5＝1，从而求出a，b，c的大小关系．
【解析】解：因为40.1＞40＝1，而0＜0.40.8＜0.40.5＜0.40＝1，
即a＞1，0＜c＜b＜1，所以a＞b＞c．故选：C．
【变式3-4】（2021 封开县校级模拟）0.44，1与40.4的大小关系是（ ）
A．0.44＜40.4＜1 B．0.44＜1＜40.4 C．1＜0.44＜40.4 D．l＜40.4＜0.44
【分析】要比较三个数字的大小，看出三个数字在三个不同的层次，0＜0.44＜1，40.4＞1，根据这三个不同的层次写出大小关系．
【解析】解：考察指数函数y＝0.4x，它在R上是减函数，
又4＞0，∴0.44＜0.40＝1，考察指数函数y＝4x，它在R上是增函数，
又0.4＞0，40.4＞40＝1，∴0.44＜1＜40.4，故选：B．
高频考点4 . 解指数不等式
【方法点拨】指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如>的不等式，可借助函数y=的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0(2)隐含性质法：解形如>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=的单调性求解.
(3)图象法：解形如>的不等式.可利用对应的函数图象求解.
【例4】（1）（2021·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高一期末）若满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·浙江高一期末）已知函数，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）B（2）A
【解析】（1）由可得，
因为在上单调递增，所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，故选：B.
（2）因为，当时单调递减，且，当时，单调递减，且，所以函数在定义域上单调递减，因为，所以，解得，即不等式的解集为故选：A
【变式4-1】（2021 高州市校级期中）若函数f（x）＝（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数．（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）．
【分析】（1）根据指数函数的定义求出k，b的值即可；
（2）问题转化为a2x﹣7＞a4x﹣3，通过讨论a的范围，得到关于x的不等式，解出即可．
【解析】解：（1）∵f（x）＝（k+3）ax+3﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数，
∴k+3＝1且3﹣b＝0． ∴k＝﹣2且b＝3，
（2）由（1）得f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则f（2x﹣7）＞f（4x﹣3）即a2x﹣7＞a4x﹣3，
①当a＞1时，f（x）＝ax单调递增，则不等式等价于2x﹣7＞4x﹣3，解得x＜﹣2，
②当0＜a＜1时，f（x）单调递减，则不等式等价于2x﹣7＜4x﹣3，解得x＞﹣2，
综上，当a＞1时，不等式解集为{x|x＜﹣2}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞﹣2}.
【变式4-2】（2021·全国高一课时练习）函数f（x）＝，若有f（a）＋f（a－2）＞4，则a的取值范围是________.
【答案】（1，＋∞）
【解析】设F（x）＝f（x）－2，则F（x）＝，
易知F（x）是奇函数，F（x）＝＝＝1－在R上是增函数，
由f（a）＋f（a－2）＞4得F（a）＋F（a－2）＞0，
于是可得F（a）＞F（2－a），即a＞2－a，解得a＞1.答案：（1，＋∞）
【变式4-3】（2021 禅城区校级月考）若函数f（x）＝（k+2）ax+2﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数
（1）求k，b的值；（2）求解不等式f（2x﹣7）＞f（4x﹣1）
【分析】（1）根据指数函数的定义求出k，b的值即可；
（2）问题转化为a2x﹣7＞a4x﹣1，通过讨论a的范围，得到关于x的不等式，解出即可．
【解析】解：（1）∵f（x）＝（k+2）ax+2﹣b（a＞0，且a≠1）是指数函数，
∴k+2＝1且2﹣b＝0， ∴k＝﹣1且b＝2，
（2）由（1）得f（x）＝ax（a＞0，且a≠1），则f（2x﹣7）＞f（4x﹣1）即a2x﹣7＞a4x﹣1，
①当a＞1时，f（x）＝ax单调递增，则不等式等价于2x﹣7＞4x﹣1，解得x＜﹣3，
②当0＜a＜1时，f（x）单调递减，则不等式等价于2x﹣7＜4x﹣1，解得x＞﹣3，
综上，当a＞1时，不等式解集为{x|x＜﹣3}；当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞﹣3}.
【变式4-4】（2021 丰台区期中）已知指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，）．
（ I） 求函数y＝f（x）的解析式；（ II）若不等式满足f（2x+1）＞1，求x的取值范围．
【分析】（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），构造方程，可得函数y＝f（x）的解析式；（ II）利用指数函数的单调性，可将f（2x+1）＞1化为：2x+1＜0，解得答案．
【解析】解：（Ⅰ）因为指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象过点（1，），所以
所以指数函数的解析式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（2x+1）＞1等价于
因为函数在R上单调递减，所以2x+1＜0，解得综上，x的取值范围是．
高频考点5. 指数函数的图象及应用
【方法点拨】①指数函数图象的识别：对于所给函数解析式，研究函数的单调性、特殊值等，利用排除法，得出正确的函数图象.
②指数函数图象的应用：对于与指数函数有关的函数的作图问题，一般宜用变换作图法作图，这样有利于从整体上把握函数的性质，从而指数函数的图象来比较大小、解不等式、求最值等.
【例5】（1）（2021·全国高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·河北安平中学）函数的图象不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，
该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A
（2）当时，，图象A满足；
当时，，，且，此时函数是偶函数，关于轴对称，图象B满足；
当时，，，且，此时函数是奇函数，关于原点对称，图象D满足；图象C过点，此时，故C不成立.故选：C.
【变式5-1】（2021 海淀区期中）已知函数y＝ax、y＝bx、y＝cx、y＝dx的大致图像如图所示，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．b+d＞a+c B．b+d＜a+c C．a+d＞b+c D．a+d＜b+c
【分析】由指数函数的图像与性质判断a，b，c，d的大小，即可得答案．
【解析】解：由图像可得0＜b＜a＜1＜d＜c，由不等式的性质可得b+d＜a+c．故选：B．
【变式5-2】（2021 长春模拟）如图，①②③④中不属于函数y＝2x，y＝3x，的一个是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【分析】直接根据函数的图象和函数的单调性判断即可．
【解析】解：根据函数的图象，函数的底数决定函数的单调性，
当底数a＞1时，函数单调递增，当0＜a＜1时，函数单调递减，
当底数a＞1，满足底数越大函数的图象在x＞0时，越靠近y轴，
则③是对应函数y＝3x的图象，④是对应函数y＝2x的图象，
根据对称性，①是对应函数y的图象，∴②不是．故选：B．
【变式5-3】（2021·安徽高一开学考试）已知函数(，)恒过定点，则函数的图像不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】且恒过定点则函数恒过定点且是单调递增函数，其图象不经过第二象限. 故选：B
【变式5-4】（2021年广东）已知0【答案】 C
【解析】 由于0高频考点6 . 指数型复合函数性质的应用
【方法点拨】借助指数函数的图象和性质来研究指数型复合函数的性质，再结合具体问题，进行求解即可.
【例6】（2021 集宁区期中）函数（1）求f（x）的单调增区间．（2）x∈[﹣1，2]时，求f（x）的值域．
【分析】（1）根据复合函数的单调性判断即可；（2）通过换元，令t＝x2﹣2x，得到f（x）＝h（t），根据﹣1≤x≤2，得到t∈[﹣1，3]，求出函数的值域即可．
【解析】解：（1）令t＝x2﹣2x，则f（x）＝h（t），∵h（t）在定义域内单调递减，
t＝x2﹣2x在（﹣∞，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增，∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]；
（2）由t＝x2﹣2x，则f（x）＝h（t）
∵﹣1≤x≤2，∴t∈[﹣1，3]，∴f（x）∈[，3]．
【变式6-1】（2021·汕头市达濠华侨中学高一期末）若函数(且)在区间上单调递增，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】内函数为二次函数，在区间单调递减，在区间单调递增
当时，外函数单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，
因为函数在上单调递增，所以无解﹔
当时，外函数单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，
因为函数在上单调递增，所以解得．综上，实数的取值范围为．
【变式6-2】（2021 眉山期末）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，）．
（1）比较f（2）与f（b2+2）的大小；（2）求函数g（x）（x≥0）的值域．
【分析】（1）求出a的值，根据函数的单调性比较函数值的大小即可；（2）根据函数的单调性求出函数的值域即可．
【解析】解：（1）由已知得：a2，解得：a，
∵f（x）在R递减，则2≤b2+2，∴f（2）≥f（b2+2）；
（2）∵x≥0，∴x2﹣2x≥﹣1，∴3，故g（x）的值域是（0，3]．
【变式6-3】（2021 任城区期中）已知函数f（x）＝ax+b，（a＞0，a≠1）．
（I）若f（x）的图象如图所示，求a，b的值；（II）在（I）中，作出g（x）＝|f（x）|草图；
（III）在（II）中，若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，写出m的取值范围．
【分析】（I）由图可得：f（0）＝1+b＝﹣2，且f（2）＝a2+b＝0，解得答案；（II）g（x）＝|f（x）|图象由函数f（x）纵向对折得到；（III）若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，则g（x）的图象与直线y＝m只有一个交点，进而得到答案．
【解析】解：（I）由图可得：f（0）＝1+b＝﹣2，且f（2）＝a2+b＝0，解得：a，b＝﹣3；
（II）g（x）＝|f（x）|图象如下图所示：
（III）若方程g（x）﹣m＝0有一个实数根，则g（x）的图象与直线y＝m只有一个交点，
由（II）中函数图象可得：m＝0，或m≥3．
【变式6-4】（2021 荆州区校级期中）设函数f（x）＝（）10﹣ax，a是不为零的常数．（1）若f（3），求使f（x）≥4的x值的取值范围；（2）当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值是16，求a的值．
【分析】（1）由f（3），可得（）10﹣3a，利用指数函数的单调性可得10﹣3a＝1解出即可．进而可得f（x）≥4的x值的取值范围；（2）对a进行分类讨论，结合复合函数单调性，及当x∈[﹣1，2]时，f（x）的最大值是16，可得答案．
【解析】解：（1）由f（3），即（）10﹣3a，∴10﹣3a＝1，解得a＝3．
由f（x）＝（）10﹣3x≥4＝（）﹣2，即10﹣3x≤﹣2，解得：x≥4，故取值范围为[4，+∞）．
（2）当a＞0时，函数f（x）＝（）10﹣ax在x∈[﹣1，2]时为增函数，
则x＝2时，函数取最大值（）10﹣2a＝16，即10﹣2a＝﹣4，解得a＝7
当a＜0时，函数f（x）＝（）10﹣ax在x∈[﹣1，2]时为减函数，
则x＝﹣1时，函数取最大值（）10+a＝16，即10+a＝﹣4，解得a＝﹣14，
综上可得：a＝7，或a＝﹣14.
高频考点7 . 指数函数的实际应用
【方法点拨】从实际问题出发，建立指数函数模型，借助指数函数的图象和性质进行解题，注意要满足实际条件.
【例7】（2021 长丰县校级期末）某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．
（1）结合图，求k与a的值；（2）写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.5微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？
【分析】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；
（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．（3）构造不等式f（t）≥0.5，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.5微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．
【解析】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k＝4，其解析式为y＝4t，0≤t≤1；当t≥1时，函数的解析式为y，
此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4，解得a＝3；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即∴．
答：（1）k＝4，a＝3；（2）函数关系式为；（3）服药一次治疗有效的时间范围为．
【变式7-1】（2021·山东临沂高一期中）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月的增长率为 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第个月时，浮萍面积不超过
D．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则
【答案】AD
【分析】将点的坐标代入函数的解析式，求出底数的值，然后利用指数函数的基本性质以及指数运算逐个分析各选项的正误，可得出结论.
【详解】将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.
对于A选项，由可得浮萍每月的增长率为，A选项正确；
对于B选项，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，，B选项错误；对于C选项，第个月时，浮萍的面积为，C选项错误；
对于D选项，由题意可得，，，，，
即，所以，，D选项正确.故选：AD.
【点睛】本题考查指数函数基本性质的应用以及指数幂的运算，解题的关键就是求出指数函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
【变式7-2】（2021·黑龙江萨尔图大庆实验中学高一期末）十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（ ）（提示：）
A．93.8万亿元 B．97万亿元 C．99.9万亿元 D．106.39万亿元
【答案】C
【分析】依题意可得2020年的国内生产总值约为从而计算可得；
【详解】解：依题意可得2020年的国内生产总值约为 故选：C
【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.
【变式7-3】按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？
【分析】根据利息公式求出定期储蓄1年期，2年期，3年期的利息，观察这些数字发现本金一定的情况下：存期越长，利息越高，归纳得出写出本利和y随x变化的函数关系式，最后代入数据即可计算5期后的本利和．
【解析】解：根据题意得：1年期到期利息为：y＝a（1+r），
2年期到期利息为：y＝a（1+r）2，3年期到期利息为：y＝a（1+r）3，∴y＝a（1+r）x（x∈N*），
将a＝1000，r＝2.25%，x＝5，y＝1000×（1+2.25%）5＝1000×1.02255≈1118．
答：本利和y随存期x变化的函数式为y＝a（1+r）x（x∈N*），5期后的本利和约为1118元．
【变式7-4】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约是192h，而在22℃的厨房中则约是42h
（1）写出保鲜时间y（单位：h）关于储藏温度x（单位：℃）的函数解析式（2）利用（1）中结论，指出温度在30℃和16℃的保鲜时间（精确到1h）（3）运用上面的数据，作此函数的图象．
【分析】（1）设y＝k ax（k≠0，a＞0且a≠1），则利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鲜时间约为192h，放在22℃的厨房中，保鲜时间约为42h，即可得出函数解析式；（2）x＝30°时，y＝192 （），x＝16°时，y＝192 （），运用解析式求解即可（3）判断单调性根据解析式．
【解析】解：（1）设y＝k ax（k≠0，a＞0且a≠1），则有，
∴，∴y＝192 （）．x≥0．
（2）x＝30°时，y＝192 （），x＝16°时，y＝192 （）90．
（3）运用函数解析式y＝192 （）．x≥0．单调递减函数。
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·高邮市临泽中学高一月考）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由于为幂函数，则，解得：，则；
函数，当 时，，故的图像所经过的定点为，
所以，即，解得：,故选：B.
2.（2021 嘉峪关校级月考）下列函数：①；②y＝6x；③y＝6 2x；④y＝8x+1；⑤y＝﹣6x.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据指数函数的定义求解．
【解析】解：按照指数函数的定义，②是指数函数，①③④⑤都不是指数函数，故选：B．
3．（2021 高台县校级期中）某种细菌每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖（ ）
A．8个 B．16个 C．32个 D．64个
【分析】根据题意，建立该种细菌分裂的个数的数学模型，求出经过3小时，细菌分裂6次的细菌个数即可．
【解析】解：根据题意知，该种细菌分裂的个数满足对数函数y＝2x，x∈N*；
经过3小时，细菌分裂6次，x＝6；细菌分裂的个数为y＝26＝64．故选：D．
4.（2021·江苏高一课时练习）函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】满足对任意，都有成立，在上是减函数，
因为，解得，的取值范围是．故选：．
5．（2021 河北区学业考试）若（）x﹣2，则函数y＝2x的值域是（ ）
A．[，2） B．[，2] C．（﹣∞，] D．[2，+∞）
【分析】先由不等式（）x﹣2，求出x的取值范围，再根据x的取值范围求出指数函数y＝2x的值域即可得出答案．
【解析】解：∵（）x﹣2，∴2﹣2x+4，∴x2+1≤﹣2x+4，解得﹣3≤x≤1，
∴函数y＝2x的值域为：[2﹣3，2]即[，2]，故选：B．
6．（2021·重庆高一期末）已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先将函数化成分段函数的形式，再根据函数在不同范围上的性质可得正确的选项.
【详解】因为，故，
所以在内，为增函数；在内，为减函数.排除ACD,故选：B.
【点睛】本题考查函数图象的识别，此类问题一般根据函数的奇偶性、单调性、函数在特殊点处的函数的符号等来判别，本题属于基础题.
7.（2021·湖南天心长郡中学高一月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调递减知，根据函数单调递增知，得到答案.
【详解】根据函数单调递减知：；
根据函数单调递增知：，故.故选：.
【点睛】本题考查了根据函数单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
8．（2021·湖南高一课时练习）已知函数，则下列判断中正确的是（ ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
【答案】B
【分析】作出图象，值域、单调性、奇偶性可通过图象得到结论，在同一坐标系中作一条平行于轴的直线与相交即可得到交点数.
【详解】函数的图象如图所示：
由图可知，的值域为 ，A错误，CD显然错误，的图象与直线有两个交点，B正确.故选：B.
【点睛】本题考查指数函数有关的图象问题，难度一般.通过函数图象可以直观的了解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等.
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2021·江苏高一期中）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】分别讨论单增和单减两种不同的情况即可较易求解.
【详解】当时，指数函数单调递增，所以在区间上的最大值，最小值。所以，求得或者（舍）；
当时，指数函数单调递减，所以在区间上的最大值，
，所以所以，求得（舍）或者.
综上所述：或者.故选：AB
【点睛】此题考查指数函数的通过单调性求最值问题，分别讨论分别讨论单增和单减两种不同的情况，属于较易题目。
10．（2021 深圳期末）如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象．有以下说法：其中正确的说法是（ ）
A．每月减少的有害物质质量都相等 B．第4个月时，剩留量就会低于
C．污染物每月的衰减率为 D．污染物每月的衰减率为
【分析】由y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象经过点（2，）可得y．从而依次对选项判断即可．
【解析】解：∵y＝at（a＞0且a≠1）（t≥0）的图象经过点（2，），∴a2，∴a，即y．
故1月到2月，减少的有害物质质量为，2月到3月，减少的有害物质质量为，
故每月减少的有害物质质量都相等是错误的，即A错，
当t＝4时，有害物质的剩留量y，故B正确，
污染物每月的衰减率为1，故C正确，故D错，故选：BC．
11．（2021·湖南高一开学考试）定义运算，设函数，则下列命题正确的有（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．不等式成立的范围是
D．不等式成立的范围是
【答案】AC
【分析】根据题目给出的定义运算法则先求出的表达式，然后作出函数图像，根据函数图像可得答案.
【详解】由函数，有,
即，作出函数的图像如下，
根据函数图像有的值域为，若不等式成立，由函数图像有
当即时成立，当即时也成立.
所以不等式成立时，.故选：AC.
【点睛】本题考查在新的概念下解决函数的性质问题，考查指数函数的性质，关键是弄清楚新定义的意义，属于基础题.
12．（2021·东营市第一中学高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BC
【分析】举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数的值域，根据高斯函数的定义证明D错误．
【详解】根据题意知，．
，，
，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，是奇函数，B正确；
由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；
，，，，D错误．故选BC．
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.（2021·汕头市达濠华侨中学高一期末）已知函数，则的单调递增区间是______．
【答案】
【解析】函数是由和复合而成，
因为为单调递增函数，对称轴为，开口向上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递增区间为，故答案为：.
14．（2021·浙江）设函数，已知，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】当时，由，得，即，解得，此时；
当时，由，得，解得，此时，.
因此，实数的取值范围是.故答案为：.
15．（2021·浙江高一课时练习）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】函数的对称轴为，且在上单调递减，在上单调递增，由函数在区间上的值域为，知 即 即答案为
16．（2021·贵州高一期末）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为_______
【答案】
【分析】转化为,借助函数和的图象研究恒成立时需满足的条件,计算即可得出结果.
【详解】即.分类讨论,当时,分别作出和的图象,如图所示:
由图可知,若使均满足,只需保证,解得:
同理,当时,需保证,解得: .
综上,的取值范围是.故答案为：
【点睛】本题主要考查指数函数的图象及其应用,考查恒成立时求解参数求值范围问题,难度较难.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2021 邕宁区校级期中）已知函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），其中a＞0且a≠1．
（1）求a的值；（2）求函数y＝f（x）+1（x≥0）的值域．
【分析】（1）将点（2，）代入函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的解析式，可得a的值；
（2）结合指数函数的图象和性质，及x≥0，可得函数的值域．
【解析】解：（1）∵函数f（x）＝ax﹣1（x≥0）的图象经过点（2，），∴a2﹣1＝a，
（2）由（1）得f（x），（x≥0）函数为减函数，
当x＝0时，函数取最大值2，故f（x）∈（0，2]，
∴函数y＝f（x）+11（x≥0）∈（1，3]，
故函数y＝f（x）+1（x≥0）的值域为（1，3].
18．（2021 秦都区校级月考）已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值为M，最小值为N．
（1）若M+N＝6，求实数a的值；（2）若M＝2N，求实数a的值．
【分析】按a＞1，0＜a＜1两种情况进行讨论：借助f（x）的单调性及最大值先求出a值，再求出其最小值即可．
【解析】解：①当a＞1时，f（x）在[1，2]上单调递增，则f（x）的最大值为M＝f（2）＝a2，
最小值N＝f（1）＝a；
②当0＜a＜1时，f（x）在[1，2]上单调递减，则f（x）的最大值为M＝f（1）＝a，
此时最小值N＝f（2）＝a2，
（1）∵M+N＝6，∴a2+a＝6，解得a＝2，或a＝﹣3（舍去）
（2）∵M＝2N
当a＞1时，a2＝2a，解得a＝2，或a＝0（舍去），
当0＜a＜1时，2a2＝a，解得a，或a＝0（舍去），
综上所述a＝2或a.
19．（2021·福建龙岩高一期中）已知函数.
（1）当时，求函数的值域；（2）若有最大值81，求实数的值.
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）当时，求出的解析式，结合指数函数和二次函数的单调性的性质进行求解即可．（2）利用换元法结合指数函数和二次函数的单调性的性质求出最大值，建立方程关系进行求解即可．
【详解】（1）当时，，函数的值域为，．
（2）令，
当时，无最大值，不合题意；
当时，，，
又在上单调递增，，，．
【点睛】本题主要考查复合函数单调性和值域的求解，结合指数函数和二次函数的单调性的关系是解决本题的关键．
20．（2021·江苏东海高一期中）已知函数（其中是常数）.
（1）若当时，恒有成立，求实数的取值范围；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用换元法，根据二次函数的性质求出函数的最大值进行求解即可；
（2）利用换元法，根据二次函数的性质求出函数的最小值进行求解即可；
【详解】（1），令，当时，.
问题转化为当时，恒成立.
于是，只需在上的最大值，即，解得.
∴实数的取值范围是.
（2）若存在，使，则存在，使.
于是，只需在上的最小值，即，解得.
∴实数的取值范围是.
【点睛】本题考查了任意性和存在性问题，考查了换元法，考查了指数函数和二次函数的单调性的应用，考查了数学运算能力.
21．（2021·海南儋州二中高一月考）已知定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数a的值；（2）判断的单调性；（3）若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）是定义在R上的递减函数；（3）.
【解析】（1）因为是定义在R上的奇函数，则，即，
可得，
解得；
（2），故在R上是递减函数．
证明：任取、，且，
，
∵，∴，∴，即，故是定义在R上的递减函数；
（3）∵，∴，
因为是R上的奇函数，∴，
∵是R上的递减函数，∴，
∴对任意的恒成立，
设，且，即．
∵，∴，∴，
（当且仅当即时等号成立），∴．
22．（2021 殷都区校级期末）某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液中的含药量y（μg）与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线．其中OA是线段，曲线段AB是函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）的图象．
（1）写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；
（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于2（μg）时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6：00，为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？（3）若按（2）中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3h，该病人每毫升血液中含药量为多少μg？（精确到0.1μg）
【分析】（1）由图象知，0≤t＜1时函数的解析式是一个线段，再结合函数y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常数）即可得到函数的解析式；
（2）根据（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式计算出第二次吃药的时间即可；
（3）根据所求出的函数解析式分别计算出两次吃药的剩余量，两者的和即为病人血液中的含药量．
【解析】解：（1）当0≤t＜1时，y＝8t；
当t≥1时，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，故
（2）设第一次服药后最迟过t小时服第二次药，则，解得t＝5，即第一次服药后5h后服第二次药，也即上午11：00服药；
（3）第二次服药3h后，每毫升血液中含第一次服药后的剩余量为：，
含第二次服药量为：，所以此时两次服药剩余的量为，
故该病人每毫升血液中的含药量为4.7μg.
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