2021-2022学年湘教版九年级数学下册2.3垂径定理 同步达标训练（word解析版）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年湘教版九年级数学下册2.3垂径定理 同步达标训练（word解析版） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 466.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-05 13:31:42 | ||
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文档简介
2021-2022学年湘教版九年级数学下册《2.3垂径定理》同步达标训练（附答案）
1．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（ ）
A．0.9 米 B．1.0 米 C．1.1米 D．1.2米
2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1）
3．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B，C，G，H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC＝1，GH＝2，则正方形PCGQ的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
4．如图，圆形纸片⊙O半径为，先在其内剪出2个边长相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边长是 ．
5．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
7．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ．
8．如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC＝6，OA＝，则⊙O的半径为 ．
9．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
10．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．
11．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
12．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
13．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．
14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12米，拱顶离水面的高CD为3米，现有一艘宽9米，船舱顶部为长方形，并且高出水面1.8米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？（此图仅供参考）
15．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；
（2）若AE＝8，求CD的长．
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
17．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为 ；
（2）连接AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．
18．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
19．如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．
（1）求证：CM＝DN．
（2）若AB＝10，CD＝8，求BN﹣AM的值．
20．如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）连接AB，求DE的长．
21．如图所示，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条边平行线之间的距离均为6，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB＝10，求⊙O的半径．
22．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．
23．如图，∠P的两边分别与⊙O交于点A、B、C、D，且其平分线恰好过圆心O．求证：PA＝PC．
24．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
25．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB＝60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；
（2）求B点坐标及圆心C的坐标．
26．已知，∠EPF的角平分线上有一点O，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．易证：AB＝CD．
当点P在⊙O外（如图②），点P在⊙O内，（如图③）的位置时，请你猜想并写出AB与CD的数量关系？并选择其中一种情况加以证明．
参考答案
1．解：作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，
则OA＝1.3，OD＝1.2，
由勾股定理得，AD＝＝0.5，
则AB＝2AD＝1.0（米），
故选：B．
2．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（﹣1，1），
故选：B．
3．解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC＝x，OG＝y，
由勾股定理可知：，
②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22＝0，
∴（x+y）2﹣22＝（y+2）2﹣x2，
∴（x+y+2）（x+y﹣2）＝（y+2+x）（y+2﹣x），
∵x+y+2≠0，
∴x+y﹣2＝y+2﹣x，
∴x＝2，代入①得到r2＝10，代入②得到：10＝4+（x+y）2，
∴（x+y）2＝6，
∵x+y＞0，
∴x+y＝，
∴y＝﹣2．
∴CG＝x+y＝，
∴正方形PCGQ的面积为6，
故选：B．
4．解：如图，连接AB、OE，过O作OF⊥DE于F，
则DF＝EF，
设BC＝x，DE＝y，
由题意得：∠C＝90°，AC＝2BC＝2x，
∴AB是直径，
∴AB＝2OA＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（2）2，
解得：x＝2，
则BC＝2，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：（×2+y）2+（y）2＝（）2，
解得：y＝（负值已舍去），
即第二次剪出的正方形的边长是，
故答案为：．
5．解：连接AB，如图，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CD＝AB＝．
故答案为．
6．解：连接OB，
∵直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD＝＝5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB＝13，
∴BD＝＝＝12，
∴BC＝2BD＝24，
∴BC的长的最小值为24；
故答案为：24．
7．解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，
∴OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故答案为：1≤EF≤7．
8．解：过O作OD⊥BC于D，连接OB，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，
∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AD＝BD＝3，
∵OA＝，
∴OD＝AD﹣OA＝2
在Rt△OBD中，OB＝＝＝；
故答案为：．
9．解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
10．证明：作直径CM，连接BM，DM，AM，
∵OG⊥BC，OG过O，
∴CG＝BG，
∵CO＝OM，
∴BM＝2OG，
∵CM为⊙O直径，
∴∠CDM＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠CHB＝90°，
∴∠CHB＝∠CDM，
∴AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD，
∴AD＝BM，
∴AD＝2OG．
11．证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
12．解：OE＝OF
理由如下：过点O作OH⊥AB于点H，
∵OH过圆心，OH⊥AB
∴AH＝BH，
又∵AE＝BF
∴AH﹣AE＝BH﹣BE
即EH＝FH，
∵EH＝FH，OH⊥EF
∴OH垂直平分EF，
∴OE＝OF．
13．证明：过点O作OE⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD
14．解：货船不能顺利通过这座拱桥．理由：
连接OA，
根据题意得：CD＝3米，AB＝12米，
则AD＝AB＝6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，
则OA＝OC＝x米，OD＝OC﹣CD＝（x﹣3）米，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
则x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x＝7.5，
连接OM，
设MN＝9米，
∵OC⊥MN，
∴MH＝MN＝4.5（米），
在Rt△OMH中，OH＝＝6（米），
∵OD＝OC﹣CD＝7.5﹣3＝4.5（米）
∵OH﹣OD＝6﹣4.5＝1.5（米）＜1.8米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
15．（1）证明：连接AC，如图，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴＝，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线段CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：∵△ACD是等边三角形，AB⊥CD，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AE×tan30°＝8×＝，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴CD＝2CE＝．
16．证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
17．解：（1）如图1，∵圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），
∴圆心的横坐标为2，
作BC的垂直平分线与AB的垂直平分线交于D，
则D（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
在Rt△ADE中，AE＝4，DE＝2，
则r＝＝2，
所以⊙D的半径为2．
18．证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，
∵BC＝DE，
∴PB＝DQ，PC＝QE，
在RT△OPB和RT△OQD中，
，
∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），
∴OP＝OQ，
在RT△OPA和RT△OQA中，
，
∴RT△OPA≌RT△OQA（HL），
∴AP＝AQ，
∴AP+PC＝AQ+QE，
即AC＝AE．
19．（1）证明：过O作OF⊥CD于F，
∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∴AM∥FO∥NB，
∵OA＝OB，
∴MF＝NF，
∵OF⊥CD，O为圆心，
∴CF＝FD，
∴CF﹣MF＝FD﹣FN，即MC＝ND；
（2）解：连接OD，
∵AB＝10，CD＝8，
∴OD＝5，FD＝4，
∴OF＝3，
设OE＝x，则EB＝x+5，AE＝5﹣x，
∵NB∥FO，
∴△EBN∽△EOF，
∴＝，即BN：3＝（5+x）：x，
∴BN＝，①
∵MA∥FO，
∴△AME∽△OFE，
∴AM：3＝（5﹣x）：x，
∴AM＝②
两式相减即可得到，BN﹣AM＝6．
20．解：（1）如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3，
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4．
（2）如图（2），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝．
21．解：过O作OD⊥AB于D，则AD＝5，OD＝12，
连接OA，
由勾股定理得：
OA＝，
∴⊙O的直径为26．
22．解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝AB＝×16＝8cm，CF＝CD＝×12＝6cm，
在Rt△AOE中，
OE＝＝＝6cm，
在Rt△OCF中，
OF＝＝＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝8﹣6＝2cm．
答：AB和CD的距离为2cm．
23．证明：作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，
∴AE＝EB，CF＝FD，
∵OP平分∠BPD，OE⊥PB，OF⊥PD，
∴OE＝OF，
∴AB＝CD，
∴AE＝CF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴PE＝PF，
∴PE﹣AE＝PF﹣CF，即PA＝PC．
24．解：AC＝BD，理由为：
证明：过O作OE⊥CD，∴E为CD的中点，即CE＝DE，
又OA＝OB，OE⊥AB，
∴E为AB的中点，即AE＝BE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，即AC＝BD．
25．解：（1）连接AB；∵∠ODB＝∠OAB，∠ODB＝60°
∴∠OAB＝60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直径，∠OBA＝30°；
∴AB＝2OA＝4，∴⊙C的半径r＝2；（5分）
（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2＝AB2，
∴OB＝，∴B的坐标为：（，0）（8分）
过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂径定理得：OE＝AE＝1，OF＝BF＝，
∴CE＝，CF＝1，
∴C的坐标为（，1）．（12分）
26．解：AB＝CD．理由如下：
对于图②：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OB、OD，则AG＝BG，CH＝DH，
∵PO平分∠EPF，
∴OG＝OH，
在Rt△OBG和△ODH中，
，
∴Rt△OBG≌Rt△ODH（HL），
∴BG＝DH，
∴AB＝CD；
对于图③：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，证明的方法与图②一样．
1．我国著名的引滦工程的主干线输水管的截面如图所示，直径为2.6米，水最深为2.5米，则水面AB的宽为（ ）
A．0.9 米 B．1.0 米 C．1.1米 D．1.2米
2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，已知点A的坐标是（﹣2，3），点C的坐标是（1，2），那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）
A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣1，0） D．（﹣1，﹣1）
3．如图，3个正方形在⊙O直径的同侧，顶点B，C，G，H都在⊙O的直径上，正方形ABCD的顶点A在⊙O上，顶点D在PC上，正方形EFGH的顶点E在⊙O上，顶点F在QG上，正方形PCGQ的顶点P也在⊙O上，若BC＝1，GH＝2，则正方形PCGQ的面积为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．10
4．如图，圆形纸片⊙O半径为，先在其内剪出2个边长相等的最大正方形，再在剩余部分剪出2个边长相等的最大正方形，则第二次剪出的正方形的边长是 ．
5．如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点P是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 ．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx﹣3k+4（k≠0）与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为 ．
7．如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF的长度的取值范围是 ．
8．如图，BC是⊙O的弦，以BC为边作等边三角形ABC，圆心O在△ABC的内部，若BC＝6，OA＝，则⊙O的半径为 ．
9．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．
（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．
10．已知：如图⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为H，OG⊥BC，垂足为G，求证：弦AD＝2OG．
11．如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD．
12．如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，AE＝BF，请找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
13．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC＝BD．
14．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12米，拱顶离水面的高CD为3米，现有一艘宽9米，船舱顶部为长方形，并且高出水面1.8米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？（此图仅供参考）
15．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．
（1）证明：点E是OB的中点；
（2）若AE＝8，求CD的长．
16．已知：如图，AB为⊙O的直径，OD∥AC．求证：点D平分．
17．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），C（6，0），解答下列问题：
（1）请在图中确定该圆弧所在圆心D点的位置，并写出D点坐标为 ；
（2）连接AD，CD，求⊙D的半径（结果保留根号）．
18．如图所示，射线AM交一圆于点B，C，射线AN交该圆于点D，F，且BC＝DE，求证：AC＝AE．
19．如图，AB为圆O的直径，CD为弦，AM⊥CD于M，BN⊥CD于N．
（1）求证：CM＝DN．
（2）若AB＝10，CD＝8，求BN﹣AM的值．
20．如图，在半径为5的四分之一圆中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）当BC＝6时，求线段OD的长；
（2）连接AB，求DE的长．
21．如图所示，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条边平行线之间的距离均为6，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB＝10，求⊙O的半径．
22．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．
23．如图，∠P的两边分别与⊙O交于点A、B、C、D，且其平分线恰好过圆心O．求证：PA＝PC．
24．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C、D，AC与BD是否相等？为什么？
25．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），D为⊙C在第一象限内的一点且∠ODB＝60°，解答下列各题：
（1）求线段AB的长及⊙C的半径；
（2）求B点坐标及圆心C的坐标．
26．已知，∠EPF的角平分线上有一点O，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于A，B和C，D．易证：AB＝CD．
当点P在⊙O外（如图②），点P在⊙O内，（如图③）的位置时，请你猜想并写出AB与CD的数量关系？并选择其中一种情况加以证明．
参考答案
1．解：作OC⊥AB交圆于C，交AB于D，连接OA，
则OA＝1.3，OD＝1.2，
由勾股定理得，AD＝＝0.5，
则AB＝2AD＝1.0（米），
故选：B．
2．解：如图线段AB的垂直平分线和线段CD的垂直平分线的交点M，
即圆心的坐标是（﹣1，1），
故选：B．
3．解：连接AO、PO、EO，设⊙O的半径为r，OC＝x，OG＝y，
由勾股定理可知：，
②﹣③得到：x2+（x+y）2﹣（y+2）2﹣22＝0，
∴（x+y）2﹣22＝（y+2）2﹣x2，
∴（x+y+2）（x+y﹣2）＝（y+2+x）（y+2﹣x），
∵x+y+2≠0，
∴x+y﹣2＝y+2﹣x，
∴x＝2，代入①得到r2＝10，代入②得到：10＝4+（x+y）2，
∴（x+y）2＝6，
∵x+y＞0，
∴x+y＝，
∴y＝﹣2．
∴CG＝x+y＝，
∴正方形PCGQ的面积为6，
故选：B．
4．解：如图，连接AB、OE，过O作OF⊥DE于F，
则DF＝EF，
设BC＝x，DE＝y，
由题意得：∠C＝90°，AC＝2BC＝2x，
∴AB是直径，
∴AB＝2OA＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+（2x）2＝（2）2，
解得：x＝2，
则BC＝2，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：（×2+y）2+（y）2＝（）2，
解得：y＝（负值已舍去），
即第二次剪出的正方形的边长是，
故答案为：．
5．解：连接AB，如图，
∵OA＝OB＝1，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝，
∵OC⊥AP，OD⊥BP，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD为△PAB的中位线，
∴CD＝AB＝．
故答案为．
6．解：连接OB，
∵直线y＝kx﹣3k+4必过点D（3，4），
∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，
∵点D的坐标是（3，4），
∴OD＝＝5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），
∴圆的半径为13，
∴OB＝13，
∴BD＝＝＝12，
∴BC＝2BD＝24，
∴BC的长的最小值为24；
故答案为：24．
7．解：连接OE、OF、OA、OC，如图所示：
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝OC＝5，
∵点E、F分别是弦AB、CD的中点，AB＝6，CD＝8，
∴OE⊥AB，OF⊥CD，AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，
∴OE＝＝＝4，OF＝＝＝3，
当AB∥CD时，E、O、F三点共线，
当AB、CD位于O的同侧时，线段EF的长度最短＝OE﹣OF＝1，
当AB、CD位于O的两侧时，线段EF的长度最长＝OE+OF＝7，
∴线段EF的长度的取值范围是1≤EF≤7，
故答案为：1≤EF≤7．
8．解：过O作OD⊥BC于D，连接OB，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝×6＝3，
∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴AD＝BD＝3，
∵OA＝，
∴OD＝AD﹣OA＝2
在Rt△OBD中，OB＝＝＝；
故答案为：．
9．解：（1）作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；
（2）连接AO、BO，AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
∴BE＝BC＝×8＝4，
在Rt△ABE中，AE＝＝＝3，
设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，
OB2＝BE2+OE2，
即R2＝42+（R﹣3）2，
R＝，
答：圆片的半径R为cm．
10．证明：作直径CM，连接BM，DM，AM，
∵OG⊥BC，OG过O，
∴CG＝BG，
∵CO＝OM，
∴BM＝2OG，
∵CM为⊙O直径，
∴∠CDM＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠CHB＝90°，
∴∠CHB＝∠CDM，
∴AB∥DM，
∴∠BAM＝∠AMD，
∴AD＝BM，
∴AD＝2OG．
11．证明：作OH⊥AB于H，如图，
则AH＝BH，
∵OC＝OD，OH⊥AB，
∴CH＝DH，
∴CH﹣AH＝DH﹣BH，
即AC＝BD．
12．解：OE＝OF
理由如下：过点O作OH⊥AB于点H，
∵OH过圆心，OH⊥AB
∴AH＝BH，
又∵AE＝BF
∴AH﹣AE＝BH﹣BE
即EH＝FH，
∵EH＝FH，OH⊥EF
∴OH垂直平分EF，
∴OE＝OF．
13．证明：过点O作OE⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AE＝BE，
又∵在⊙O中，
∴CE＝DE，
∴AC＝BD
14．解：货船不能顺利通过这座拱桥．理由：
连接OA，
根据题意得：CD＝3米，AB＝12米，
则AD＝AB＝6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，
则OA＝OC＝x米，OD＝OC﹣CD＝（x﹣3）米，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
则x2＝（x﹣3）2+62，
解得：x＝7.5，
连接OM，
设MN＝9米，
∵OC⊥MN，
∴MH＝MN＝4.5（米），
在Rt△OMH中，OH＝＝6（米），
∵OD＝OC﹣CD＝7.5﹣3＝4.5（米）
∵OH﹣OD＝6﹣4.5＝1.5（米）＜1.8米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
15．（1）证明：连接AC，如图，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴＝，
∴AC＝AD，
∵过圆心O的线段CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即△ACD是等边三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴点E为OB的中点；
（2）解：∵△ACD是等边三角形，AB⊥CD，
∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AE×tan30°＝8×＝，
∵直径AB垂直于弦CD于点E，
∴CD＝2CE＝．
16．证明：连接CB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
即OD⊥BC，
∵OD过O，
∴点D平分．
17．解：（1）如图1，∵圆弧经过网格点A（0，2），B（4，2），
∴圆心的横坐标为2，
作BC的垂直平分线与AB的垂直平分线交于D，
则D（2，﹣2），
故答案为：（2，﹣2）；
（2）如图2，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，
在Rt△ADE中，AE＝4，DE＝2，
则r＝＝2，
所以⊙D的半径为2．
18．证明：作OP⊥AC于P，OQ⊥AE于Q，连接OB、OD、OA，则PB＝BC，DQ＝DE，
∵BC＝DE，
∴PB＝DQ，PC＝QE，
在RT△OPB和RT△OQD中，
，
∴RT△OPB≌RT△OQD（HL），
∴OP＝OQ，
在RT△OPA和RT△OQA中，
，
∴RT△OPA≌RT△OQA（HL），
∴AP＝AQ，
∴AP+PC＝AQ+QE，
即AC＝AE．
19．（1）证明：过O作OF⊥CD于F，
∵AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，
∴AM∥FO∥NB，
∵OA＝OB，
∴MF＝NF，
∵OF⊥CD，O为圆心，
∴CF＝FD，
∴CF﹣MF＝FD﹣FN，即MC＝ND；
（2）解：连接OD，
∵AB＝10，CD＝8，
∴OD＝5，FD＝4，
∴OF＝3，
设OE＝x，则EB＝x+5，AE＝5﹣x，
∵NB∥FO，
∴△EBN∽△EOF，
∴＝，即BN：3＝（5+x）：x，
∴BN＝，①
∵MA∥FO，
∴△AME∽△OFE，
∴AM：3＝（5﹣x）：x，
∴AM＝②
两式相减即可得到，BN﹣AM＝6．
20．解：（1）如图（1），
∵OD⊥BC，
∴BD＝BC＝×6＝3，
∵∠BDO＝90°，OB＝5，BD＝3，
∴OD＝＝4，
即线段OD的长为4．
（2）如图（2），
∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝5，
∴AB＝＝5，
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴D和E分别是线段BC和AC的中点，
∴DE＝AB＝．
21．解：过O作OD⊥AB于D，则AD＝5，OD＝12，
连接OA，
由勾股定理得：
OA＝，
∴⊙O的直径为26．
22．解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB＝16cm，CD＝12cm，
∴AE＝AB＝×16＝8cm，CF＝CD＝×12＝6cm，
在Rt△AOE中，
OE＝＝＝6cm，
在Rt△OCF中，
OF＝＝＝8cm，
∴EF＝OF﹣OE＝8﹣6＝2cm．
答：AB和CD的距离为2cm．
23．证明：作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F，
∴AE＝EB，CF＝FD，
∵OP平分∠BPD，OE⊥PB，OF⊥PD，
∴OE＝OF，
∴AB＝CD，
∴AE＝CF，
在△POE和△POF中，
，
∴△POE≌△POF，
∴PE＝PF，
∴PE﹣AE＝PF﹣CF，即PA＝PC．
24．解：AC＝BD，理由为：
证明：过O作OE⊥CD，∴E为CD的中点，即CE＝DE，
又OA＝OB，OE⊥AB，
∴E为AB的中点，即AE＝BE，
∴AE﹣CE＝BE﹣DE，即AC＝BD．
25．解：（1）连接AB；∵∠ODB＝∠OAB，∠ODB＝60°
∴∠OAB＝60°，
∵∠AOB是直角，
∴AB是⊙C的直径，∠OBA＝30°；
∴AB＝2OA＝4，∴⊙C的半径r＝2；（5分）
（2）在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB2+OA2＝AB2，
∴OB＝，∴B的坐标为：（，0）（8分）
过C点作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，
由垂径定理得：OE＝AE＝1，OF＝BF＝，
∴CE＝，CF＝1，
∴C的坐标为（，1）．（12分）
26．解：AB＝CD．理由如下：
对于图②：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，连接OB、OD，则AG＝BG，CH＝DH，
∵PO平分∠EPF，
∴OG＝OH，
在Rt△OBG和△ODH中，
，
∴Rt△OBG≌Rt△ODH（HL），
∴BG＝DH，
∴AB＝CD；
对于图③：作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，则AG＝GB，CH＝HD，证明的方法与图②一样．