2021-2022学年北师大版九年级数学下册：3.3垂径定理 同步达标训练（word版，含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.3垂径定理》同步达标训练（附答案）
1．如图，在⊙O中AB为直径，CD为弦，AB⊥CD于点E，CD＝6，EB＝1，则AE的长为（　　）
A．5 B．7 C．8 D．9
2．数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（　　）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
3．P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，OF＝cm，则OE的长度是（　　）
A．2cm B．4cm C．5cm D．3cm
5．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（　　）
A．4 B．6 C．6 D．8
6．如图，AB为⊙O的直径，弦CN与AB交于点D，AC＝AD，OE⊥CD，垂足为E，若CE＝4ED，OA＝2，则DN的长为（　　）
A．1 B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（　　）
A．48 B．45 C．42 D．40
8．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则△OFC的面积是（　　）
A．40cm2 B．20cm2 C．10cm2 D．5cm2
9．如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，⊙O的弦CD交直径AB于E，OD＝DE，CE：DE＝3：5，若OE＝5，则CD的长为（　　）
A．4 B．4 C．3 D．3
11．已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（　　）
A．6 B．2
C．6或2 D．以上说法都不对
12．如图，在平面直角坐标系中，半径为3的⊙O与y轴的负半轴交于点A，点B是⊙O上移动点，点C为弦AB的中点，直线与x轴、y轴分别相交于点D、E，则△CDE面积的最小值为　 　．
13．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 　 　．
14．如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是　 　．
15．如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝1，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作 PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为　 　．
17．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为　 　．
18．如图所示，点A是半圆上的一个三等分点，B是劣弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，⊙O的半径为1，则AP+PB的最小值　 　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点D在AB的延长线上，且BD＝3，过点D作DE⊥AD，交AC的延长线于点E，以DE为直径的⊙O交AE于点F．
（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；
（2）设CD交⊙O于点G，试说明G是CD的中点．
20．如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？
21．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．
参考答案
1．解：连接OC，如图所示：
∵AB⊥CD，CD＝6，
∴CE＝ED＝CD＝3，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB﹣EB＝r﹣1，
在Rt△OEC中，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，
即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
故选：D．
2．解：设圆心为O，连接OB．
Rt△OBC中，BC＝AB＝20cm，
根据勾股定理得：
OC2+BC2＝OB2，即：
（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得：OB＝25；
故轮子的半径为25cm．
故选：C．
3．解：
如图，过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则线段AB是过P点的最短的弦，连接OA，
则∠OPA＝90°，
由勾股定理得：AP＝＝＝4，
∵OP⊥AB，OP过圆心O，
∴BP＝AP＝4，
即AB＝4+4＝8，
故选：C．
4．解：连接OB、AB，
∵BD⊥AO，BD＝8cm，
∴BE＝ED＝BD＝4（cm），
∵OF⊥BC，
∴CF＝FB，
∵CO＝OA，OF＝cm，
∴AB＝2OF＝2（cm），
由勾股定理得：AE＝＝2（cm），
在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，即OA2＝（OA﹣2）2+42，
解得：OA＝5，
∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3（cm），
故选：D．
5．解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，
∵MO＝6，∠OMA＝30°，
∴OC＝MO＝3，
在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过O，
∴BC＝AC，
即AB＝2AC＝2×4＝8，
故选：D．
6．解：过A点作AF⊥CN于F，连接ON，如图，
∵AC＝AD，
∴CF＝DF，
∵OE⊥CN，
∴CE＝NE，
设DE＝x，则CE＝NE＝4x，CD＝5x，
∴CF＝FD＝x，
∴EF＝x﹣x＝x，
∵OE∥AF，
∴DO：OA＝DE：EF，即DO：2＝x：x，解得DO＝，
在Rt△ODE中，OE2＝OD2﹣DE2＝（）2﹣x2，
在Rt△ONE中，OE2＝ON2﹣NE2＝22﹣（4x）2，
∴（）2﹣x2＝22﹣（4x）2，解得x＝，
∴DN＝EN﹣DE＝3x＝3×＝．
故选：C．
7．解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝75，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝36，
∵⊙O的半径为26，
∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM＝，
∴此时HM有最大值，最大值为＝24，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
8．解：连接OB，如图所示：
设⊙O的半径为rcm，则OE＝（r﹣2）cm，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝8cm，
∴BE＝DE＝4（cm），
在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2 ，
∴（r﹣2）2+42＝r2
解得：r＝5，
∵△BOC的面积＝OC×BE＝×4×5＝10（cm2），
∵OF⊥BC，
∴BF＝CF，
∴△OFC的面积＝△BOC的面积＝5（cm2），
故选：D．
9．解：过点P作PD⊥MN，连接PM，如图所示：
∵⊙P与y轴交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，
∴OM＝4，ON＝10，
∴MN＝6，
∵PD⊥MN，
∴DM＝DN＝MN＝3，
∴OD＝7，
∵点P的横坐标为﹣4，即PD＝4，
∴PM＝＝＝5，
即⊙P的半径为5，
故选：C．
10．解：过点O作OF⊥CD于点F，
设CE＝3x，DE＝5x，
∴OD＝DE＝5x，CD＝8x，
∴由垂径定理可知：DF＝4x，
∴EF＝x，
由勾股定理可知：OF＝3x，
在Rt△OEF中，
由勾股定理可知：（3x）2+x2＝52，
∴x＝，
∴CD＝8x＝4，
故选：A．
11．解：如图，
①若CD＝8，
则CF＝CD＝4，
∵OC＝OA＝5，
∴OF＝3，
∵EF＝1，
∴OE＝2，
则AE＝，
∴AB＝2AE＝2；
②若AB＝8，
则AE＝AB＝4，
∵OA＝OC＝5，
∴OE＝3，
∵EF＝1，
∴OF＝4，
则CF＝3，
∴CD＝2CF＝6；
综上，另一弦长为6或2，
故选：C．
12．解：如图，连接OB，取OA的中点M，连接CM，过点M作MN⊥DE于N．
∵AC＝CB，AM＝OM，
∴MC＝OB＝，
∴点C的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的⊙M，设⊙M交MN于C′．
∵直线y＝﹣x﹣5与x轴、y轴分别交于点D、E，
∴D（﹣12，0），E（0，﹣5），
∴OD＝12，OE＝5，
∴DE＝＝＝13，
∵∠MDN＝∠ODE，∠MND＝∠DOE，
∴△MNE∽△DOE，
∴＝，
∴＝，
∴MN＝，
当点C与C′重合时，△C′DE的面积最小，△C′DE的面积最小值＝×13×（﹣）＝，
故答案为：．
13．解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
∵G（0，2），
∴OG＝2，
在Rt△AGO中，∵AG＝4，OG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝2，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝4，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA＝4，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝4，MG＝CG＝2，
∵∠AFC＝90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
14．解：连接OB，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝2，
在Rt△OBC中，OC＝＝＝11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD＝＝5，
∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．
15．解：连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．
∵四边形PCED是平行四边形，
∴EK＝PK，CK＝DK，
∴OK⊥CD，
在Rt△COK中，∵OC＝5，CK＝3，
∴OK＝＝4，
∵OP＝OB+PB＝6，
∴6﹣4≤PK≤6+4，
∴2≤PK≤10，
∴PK的最小值为2，最大值为10，
∵PE＝2PK，
∴PE的最小值为4，最大值为20，
∴线段PE长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
16．解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2
17．解：作OD⊥AB于D，连接OA．
∵OD⊥AB，OA＝2，OD＝1，
在Rt△OAD中
AD＝＝＝，
∴AB＝2AD＝2．
故答案为：2．
18．解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，OA，OB，PA，AA′．
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′ON＝∠AON＝60°，PA＝PA′，
∵点B是弧AN的中点，
∴∠BON＝30°，
∴∠A′OB＝∠A′ON+∠BON＝90°，
又∵OA＝OA′＝1，
∴A′B＝．
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝．
故答案为：．
19．解：（1）过点O作OH⊥EF于H，
由勾股定理得，AC＝＝4，
∵DE⊥AD，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADE，
∵∠C＝∠C，
∴△ACB∽△ADE，
∴＝，即＝，
解得，DE＝6，
∴⊙O的半径为3，
AE＝＝10，
∵∠EHO＝∠EDA，∠OEH＝∠AED，
∴△EHO∽△EDA，
∴＝，即＝，
解得，OH＝，
∴点O到EF距离为；
（2）连接EG，
∵AE＝10，AC＝4，
∴EC＝6，
∴EC＝ED，
∵DE是⊙O的直径，
∴EG⊥CD，
∴G是CD的中点．
20．解：∵车宽1.6米，
∴卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高．
在Rt△OCD中，由勾股定理可得：
CD＝＝＝0.6（m），
CH＝CD+DH＝0.6+2.3＝2.9＞2.5，
∴卡车能通过此门．
21．（1）证明：∵CD⊥AB
∴∠CEB＝90°
∴∠C+∠B＝90°，
同理∠C+∠CNM＝90°
∴∠CNM＝∠B
∵∠CNM＝∠AND
∴∠AND＝∠B，
∵，
∴∠D＝∠B，
∴∠AND＝∠D，
∴AN＝AD；
（2）解：设OE的长为x，连接OA
∵AN＝AD，CD⊥AB
∴DE＝NE＝x+1，
∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，
∴OA＝OD＝2x+1，
∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，
∴x2+42＝（2x+1）2．
解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴OA＝2x+1＝2×+1＝，
即⊙O的半径为．