2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步达标训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.4圆周角与圆心角的关系 同步达标训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 472.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-05 16:55:55 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.4圆周角与圆心角的关系》
同步达标训练（附答案）
1．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
2．如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
3．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，如果∠BAD＝56°，则∠ACD的大小为（ ）
A．34° B．46° C．56° D．44°
4．如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
5．如图，AB为圆O的直径，且AB＝8，C为圆上任意一点，连结AC、BC，以AC为边作等边三角形ACD，以BC为边作正方形BCEF，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（ ）
A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+64＝c2
6．如图，在⊙O中，∠BOD＝80°，则∠BCD等于（ ）
A．80° B．100° C．140° D．160°
7．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．15° D．10°
8．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．2：3：4：5 B．2：4：3：5 C．2：5：3：4 D．2：3：5：4
9．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，则∠BOD＝（ ）
A．80° B．50° C．160° D．100°
10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC、BD为其对角线，过点D作DE⊥DB．交BC的延长线于点E，CD平分∠ACE，若AD＝3，DE＝2，则BE的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
二．填空题（共9小题）
13．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为 ．
14．如图，AC是⊙O的直径，AD＝6，CD＝8，∠ADC的平分线交⊙O于B，则AB＝ ．
15．如图，半径为3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，设AB＝a，CD＝b，则a2+b2＝ ．
16．如图，半圆O的直径AB＝4cm，＝，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 cm2．
17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
19．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝ ．
20．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE＝3：5，则AC：BD＝ ．
21．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝ ．
22．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
23．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AE＝BE；
（2）如果BE EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．
24．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．
（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10，PA＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．
25．如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC．
（1）求证：△AMC是正三角形；
（2）若AC＝2，求⊙O半径的长．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F，sin∠CFD＝，求线段AE的长．
27．如图，已知BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝．
（1）求弦BC的长；
（2）求∠OBC的正切值．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连接OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
30．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC＝12，求AE的长．
参考答案
1．解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
故选：A．
2．解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．
∵点A是的中点，
∴AT⊥BC，
∵tan∠ACT＝＝2，
∴设CT＝k，AT＝2k，
在Rt△ACT中，AC2＝CT2+AT2，
∴（）2＝k2+（2k）2，
∴k＝1，
∵AT⊥BC，AT过圆心O，
∴BC＝2CT＝2，
故选：D．
3．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∠BAD＝56°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝34°，
∴∠ACD＝∠ABD＝34°，
故选：A．
4．解：连接AD，如图所示，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．
∴的度数＝2∠EAD＝50°．
故选：B．
5．解：过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△ACD是等边三角形，四边形BCEF是正方形，
∴∠ACD＝60°，∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∴∠ECG＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CEG＝30°，
∵AC为a，BC为b，DE为c，
∴GC＝b，
∴EG＝b，
在Rt△DGE中，DG2+EG2＝DE2，且a2+b2＝AB2＝64，
∴+＝c2，
化简得，ab+64＝c2，
故选：D．
6．解：∵∠BOD和∠A都对，
∴∠A＝∠BOD＝×80°＝40°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
7．解：连接AD，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠DBA＝∠DAC，
∵∠DBA＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠C＝160°，
故选：C．
10．解：∵∠DCE是△DCB的外角，∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠DCE＝∠CAB+∠CAD＝∠DAB，
∵∠DCA与∠DBA共弧，CD平分∠ACE，
∴∠DBA＝∠DCA＝∠DCE＝∠DAB，
∴AD＝DB＝3，
∵DE⊥DB．DE＝2，
∴BE＝＝．
故选：B．
11．解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC：∠ADC＝2：1，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵∠E＝60°，
∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，
∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，
∵点C为的中点，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC⊥DE，
∴AD为⊙O的直径，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AB＝BE，
∴⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积＝4π，
故选：D．
12．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
13．解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．
故答案为：2．
14．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵∠ADC的平分线交⊙O于B，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
设AB＝BC＝x，
根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
即x2+x2＝100，
∴x＝5或x＝﹣5（舍去），
∴AB＝5，
故答案为：5．
15．解：如图，过点O作OM⊥AB于点M交CD于点N．
∵AB∥CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴AM＝AB＝a，CN＝CD＝b，
∵∠AOC＝∠AMO＝∠CNO＝90°，
∴∠AOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，
∴∠AOM＝∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴OM＝CN＝b，
∵OA2＝AM2+OM2，
∴32＝（a）2+（b）2，
∴a2+b2＝36．
故答案为：36．
16．解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵＝，
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝ EF OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE＝OC＝2cm，
∴x2+y2＝22，
∴x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2cm2．
17．解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故答案为：．
18．解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
19．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
20．解：∵弦AB、CD相交于点E，
∴∠C＝∠B，
∠A＝∠D，
∴△ACE∽△DBE，
∴＝＝，
故答案为：3：5．
21．解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，
则EM＝MA＝MF，
由相交弦定理知，AB BC＝EB BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AMB＝90°，
由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64，
∴AM＝6．
22．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
23．解：（1）连接AB；
∵BC是直径，且BC⊥AH，
∴；
∵A是的中点，
∴＝＝；
∴∠BAE＝∠ABE；
∴AE＝BE；
（2）易知DH＝AD＝6；
∴AE＝6﹣DE，EH＝6+DE；
由相交弦定理，得：AE EH＝BE EF，即：
（6﹣DE）（6+DE）＝32，解得DE＝2；
Rt△BDE中，BE＝AE＝AD﹣DE＝4，DE＝2；
由勾股定理，得：BD＝＝2．
24．解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AE BE＝CE DE．
证明如下：
连AC，BD，如图，
∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE BE＝CE DE；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
（2）过P作直径CD，如图，
∵AB＝10，PA＝4，OP＝5，
∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，
由（1）中结论得，PA PB＝PC PD，
∴4×6＝（R﹣5）×（R+5），
解得R＝7（R＝﹣7舍去）．
所以⊙O的半径R＝7．
25．（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝60°，
∴∠MAC＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△AMC是正三角形；
（2）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图，
∵∠ABC＝120°，∠AMC+∠ABC＝180°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AC＝2，
∴AH＝AC＝，
∴OA＝＝＝2，
故⊙O的半径为2．
26．解：连接OD，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°
∵AB＝AC＝12，
∴OA＝OC＝OD＝6，
在Rt△ODF，sin∠OFD＝＝，
∴OF＝10，
∴AF＝16，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE＝＝，
∴AE＝×16＝．
27．解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．
在⊙O中，∵AB＝AC，
∴，
又∵AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BC＝2BD．
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴．
由勾股定理得．
∴BC＝12．
（2）设⊙O的半径OB＝r．
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
．
在⊙O中，由OA＝OB＝r，
得OD＝8﹣r．
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD2+OD2＝OB2，
即36+（8﹣r）2＝r2．
解得．
∴．
∴．
∴．
28．（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：如图，连接OE．
∵四边形AODE是菱形，
∴OA＝OE＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA＝OB＝BD＝CD
∴AE＝EC，
∴CD＝CE，∵∠C＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DH⊥EC，CD＝4，
∴DH＝CD sin60°＝2．
29．（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
30．解：连接BC，OE，
∵AB是⊙O的直径，OA为⊙D的直径，
∴∠C＝∠AEO＝90°，
∴OE∥BC，
∴AO：AB＝AE：AC，
∵OA＝AB，
∴AE＝AC＝×12＝6．
同步达标训练（附答案）
1．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（ ）
A．64° B．58° C．68° D．55°
2．如图，点A，B是以CD为直径的⊙O上的两点，分别在直径的两侧，其中点A是的中点，若tan∠ACB＝2，AC＝，则BC的长为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
3．如图，AB是⊙O直径，CD是⊙O的弦，如果∠BAD＝56°，则∠ACD的大小为（ ）
A．34° B．46° C．56° D．44°
4．如图，等腰△ABC的顶角∠BAC＝50°，以AB为直径的半圆分别交BC，AC于点D，E．则的度数是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
5．如图，AB为圆O的直径，且AB＝8，C为圆上任意一点，连结AC、BC，以AC为边作等边三角形ACD，以BC为边作正方形BCEF，连结DE．若AC为a，BC为b，DE为c，则下列关系式成立的是（ ）
A．ab+8＝c2 B．a2+b2＝2c2 C．a2+c2＝3b2 D．ab+64＝c2
6．如图，在⊙O中，∠BOD＝80°，则∠BCD等于（ ）
A．80° B．100° C．140° D．160°
7．如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若∠DBA＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．40° B．30° C．15° D．10°
8．四边形ABCD内接于⊙O，则∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（ ）
A．2：3：4：5 B．2：4：3：5 C．2：5：3：4 D．2：3：5：4
9．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝100°，则∠BOD＝（ ）
A．80° B．50° C．160° D．100°
10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC、BD为其对角线，过点D作DE⊥DB．交BC的延长线于点E，CD平分∠ACE，若AD＝3，DE＝2，则BE的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC：∠ADC＝2：1，AB＝2，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且∠E＝60°，则⊙O的面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．72° D．36°
二．填空题（共9小题）
13．如图，AB是 O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE＝，则OD长为 ．
14．如图，AC是⊙O的直径，AD＝6，CD＝8，∠ADC的平分线交⊙O于B，则AB＝ ．
15．如图，半径为3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC＝90°，设AB＝a，CD＝b，则a2+b2＝ ．
16．如图，半圆O的直径AB＝4cm，＝，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 cm2．
17．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin∠ADC的值为 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：
①AC＝BD；
②＝；
③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；
④若M为的中点，则D为OB中点；
所有正确结论的序号是 ．
19．如图，已知⊙O中，弦AB、CD交于P，AP＝PB＝4，CP＝2，则CD＝ ．
20．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若AE：DE＝3：5，则AC：BD＝ ．
21．如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O的直径AB交⊙M于C，若AB＝8，BC＝1，则AM＝ ．
22．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．
（1）求证：△PAD∽△PCB；
（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．
23．已知：如图所示，BC为圆O的直径，A、F是半圆上异于B、C的一点，D是BC上的一点，BF交AH于点E，A是弧BF的中点，AH⊥BC．
（1）求证：AE＝BE；
（2）如果BE EF＝32，AD＝6，求DE、BD的长．
24．（1）在同一个圆中，两条弦相交，被交点分成的两条线段的积有什么关系？请利用左图试着证明．
（2）利用（1）的结论，解决右图问题：AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB＝10，PA＝4，OP＝5，求⊙O的半径R．
25．如图，在⊙O中，B是⊙O上一点，∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，连结MA，MC．
（1）求证：△AMC是正三角形；
（2）若AC＝2，求⊙O半径的长．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F，sin∠CFD＝，求线段AE的长．
27．如图，已知BC是⊙O的弦，点A在⊙O上，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝．
（1）求弦BC的长；
（2）求∠OBC的正切值．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连接OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．
29．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD∥BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．
（1）求证：点D为的中点；
（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的长；
（3）若⊙O的半径为5，∠DOA＝80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．
30．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC＝12，求AE的长．
参考答案
1．解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
故选：A．
2．解：连接AB，连接AO，延长AO交BC于T．
∵点A是的中点，
∴AT⊥BC，
∵tan∠ACT＝＝2，
∴设CT＝k，AT＝2k，
在Rt△ACT中，AC2＝CT2+AT2，
∴（）2＝k2+（2k）2，
∴k＝1，
∵AT⊥BC，AT过圆心O，
∴BC＝2CT＝2，
故选：D．
3．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∠BAD＝56°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝34°，
∴∠ACD＝∠ABD＝34°，
故选：A．
4．解：连接AD，如图所示，
∵AB为直径，
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝25°．
∴的度数＝2∠EAD＝50°．
故选：B．
5．解：过点E作EG⊥DC交DC的延长线于点G，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△ACD是等边三角形，四边形BCEF是正方形，
∴∠ACD＝60°，∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°，
∴∠ECG＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CEG＝30°，
∵AC为a，BC为b，DE为c，
∴GC＝b，
∴EG＝b，
在Rt△DGE中，DG2+EG2＝DE2，且a2+b2＝AB2＝64，
∴+＝c2，
化简得，ab+64＝c2，
故选：D．
6．解：∵∠BOD和∠A都对，
∴∠A＝∠BOD＝×80°＝40°，
∵∠A+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣40°＝140°．
故选：C．
7．解：连接AD，
∵D是的中点，
∴＝，
∴∠DBA＝∠DAC，
∵∠DBA＝40°，
∴∠DAC＝40°，
∵AB是直径，
∴∠D＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BAC＝∠DAB﹣∠DAC＝10°，
故选：D．
8．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°＝∠B+∠D，
故选：D．
9．解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠C＝160°，
故选：C．
10．解：∵∠DCE是△DCB的外角，∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠DCE＝∠CAB+∠CAD＝∠DAB，
∵∠DCA与∠DBA共弧，CD平分∠ACE，
∴∠DBA＝∠DCA＝∠DCE＝∠DAB，
∴AD＝DB＝3，
∵DE⊥DB．DE＝2，
∴BE＝＝．
故选：B．
11．解：连接AC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC：∠ADC＝2：1，
∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，
∵∠E＝60°，
∴△ADE为等边三角形，△BCE为等边三角形，
∴AD＝AE，BC＝BE，BC∥AD，
∵点C为的中点，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴AC⊥DE，
∴AD为⊙O的直径，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AB＝BE，
∴⊙O的半径为2，
∴⊙O的面积＝4π，
故选：D．
12．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
13．解：∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
在Rt△ODE中，OD＝2OE＝2×＝2．
故答案为：2．
14．解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵∠ADC的平分线交⊙O于B，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
设AB＝BC＝x，
根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
即x2+x2＝100，
∴x＝5或x＝﹣5（舍去），
∴AB＝5，
故答案为：5．
15．解：如图，过点O作OM⊥AB于点M交CD于点N．
∵AB∥CD，OM⊥AB，
∴ON⊥CD，
∴AM＝AB＝a，CN＝CD＝b，
∵∠AOC＝∠AMO＝∠CNO＝90°，
∴∠AOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，
∴∠AOM＝∠OCN，
在△AMO和△ONC中，
，
∴△AMO≌△ONC（AAS），
∴OM＝CN＝b，
∵OA2＝AM2+OM2，
∴32＝（a）2+（b）2，
∴a2+b2＝36．
故答案为：36．
16．解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵＝，
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝ EF OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE＝OC＝2cm，
∴x2+y2＝22，
∴x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2cm2．
17．解：如图，连接AC、BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC＝，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB＝＝，
∴sin∠ABC＝＝，
∴sin∠ADC＝．
故答案为：．
18．解：连接OM、ON，如图，
∵MC⊥AB、ND⊥AB，
∴∠OCM＝∠ODN＝90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD＝180°，
∴∠CMN＝90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OC＝OD，∠COM＝∠DON，
∴＝，故②正确，
∵OA＝OB，OD＝OD，
∴AC＝BD，故①正确，
当四边形MCDN是正方形时，CM＝2OC，
∴OM＝OC，
∴AB＝2OM＝2OC＝MN，故③错误，
若M是的中点，连接BN，
∴∠AOM＝∠MON＝∠BON＝60°，
∵ON＝OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD＝DB，故④正确．
故答案为：①②④．
19．解：∵弦AB、CD交于P，
∴PA PB＝PC PD，
∴4×4＝2×PD，
解得，PD＝8，
∴CD＝PC+PD＝10，
故答案为：10．
20．解：∵弦AB、CD相交于点E，
∴∠C＝∠B，
∠A＝∠D，
∴△ACE∽△DBE，
∴＝＝，
故答案为：3：5．
21．解：作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，
则EM＝MA＝MF，
由相交弦定理知，AB BC＝EB BF＝（EM+MB）（MF﹣MB）＝AM2﹣MB2＝8，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AMB＝90°，
由勾股定理得，AM2+MB2＝AB2＝64，
∴AM＝6．
22．（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴△PAD∽△PCB；
（2）解：∵△PAD∽△PCB，
∴＝，
∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，
∴＝，
解得：PD＝4或6，
当PD＝4时，PC＝6，
当PD＝6时，PC＝4，
∵PD＜PC，
∴PD＝4．
23．解：（1）连接AB；
∵BC是直径，且BC⊥AH，
∴；
∵A是的中点，
∴＝＝；
∴∠BAE＝∠ABE；
∴AE＝BE；
（2）易知DH＝AD＝6；
∴AE＝6﹣DE，EH＝6+DE；
由相交弦定理，得：AE EH＝BE EF，即：
（6﹣DE）（6+DE）＝32，解得DE＝2；
Rt△BDE中，BE＝AE＝AD﹣DE＝4，DE＝2；
由勾股定理，得：BD＝＝2．
24．解：（1）圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知，如图，⊙O的两弦AB、CD相交于E，
求证：AE BE＝CE DE．
证明如下：
连AC，BD，如图，
∵∠C＝∠B，∠A＝∠D，
∴△AEC∽△DEB，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE BE＝CE DE；
所以两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
（2）过P作直径CD，如图，
∵AB＝10，PA＝4，OP＝5，
∴PB＝10﹣4＝6，PC＝OC﹣OP＝R﹣5，PD＝OD+OP＝R+5，
由（1）中结论得，PA PB＝PC PD，
∴4×6＝（R﹣5）×（R+5），
解得R＝7（R＝﹣7舍去）．
所以⊙O的半径R＝7．
25．（1）证明：∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABM＝∠CBM＝∠ABC＝60°，
∴∠MAC＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△AMC是正三角形；
（2）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图，
∵∠ABC＝120°，∠AMC+∠ABC＝180°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH＝∠AOC＝60°，
∵AC＝2，
∴AH＝AC＝，
∴OA＝＝＝2，
故⊙O的半径为2．
26．解：连接OD，如图，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠B＝∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠ODF＝90°
∵AB＝AC＝12，
∴OA＝OC＝OD＝6，
在Rt△ODF，sin∠OFD＝＝，
∴OF＝10，
∴AF＝16，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE＝＝，
∴AE＝×16＝．
27．解：（1）联结AO，AO的延长线与弦BC相交于点D．
在⊙O中，∵AB＝AC，
∴，
又∵AD经过圆心O，
∴AD⊥BC，BC＝2BD．
在Rt△ABD中，AB＝10，，
∴．
由勾股定理得．
∴BC＝12．
（2）设⊙O的半径OB＝r．
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
．
在⊙O中，由OA＝OB＝r，
得OD＝8﹣r．
在Rt△OBD中，由勾股定理得BD2+OD2＝OB2，
即36+（8﹣r）2＝r2．
解得．
∴．
∴．
∴．
28．（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．
（2）解：如图，连接OE．
∵四边形AODE是菱形，
∴OA＝OE＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA＝OB＝BD＝CD
∴AE＝EC，
∴CD＝CE，∵∠C＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DH⊥EC，CD＝4，
∴DH＝CD sin60°＝2．
29．（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OD∥BC，
∴∠OFA＝90°，
∴OF⊥AC，
∴＝，
即点D为的中点；
（2）解：∵OF⊥AC，
∴AF＝CF，
而OA＝OB，
∴OF为△ACB的中位线，
∴OF＝BC＝3，
∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；
（3）解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，
∵PC＝PC′，
∴PD+PC＝PD+PC′＝DC′，
∴此时PC+PD的值最小，
∵＝，
∴∠COD＝∠AOD＝80°，
∴∠BOC＝20°，
∵点C和点C′关于AB对称，
∴∠C′OB＝20°，
∴∠DOC′＝120°，
作OH⊥DC′于H，如图，
则∠ODH＝30°，
则C′H＝DH，
在Rt△OHD中，OH＝OD＝，
∴DH＝OH＝，
∴DC′＝2DH＝5，
∴PC+PD的最小值为5．
30．解：连接BC，OE，
∵AB是⊙O的直径，OA为⊙D的直径，
∴∠C＝∠AEO＝90°，
∴OE∥BC，
∴AO：AB＝AE：AC，
∵OA＝AB，
∴AE＝AC＝×12＝6．