2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 同步达标训练(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册3.5确定圆的条件 同步达标训练(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 817.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-05 16:57:19 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》同步达标训练（附答案）
1．若⊙O的直径为12，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O 内
3．给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．已知三个点
4．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
5．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（ ）
A．3＜r＜4 B．3＜r＜5 C．3≤r≤5 D．r＞4
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
8．如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
9．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC外接圆的圆心在OC上 B．∠BAC＝60°
C．△ABC外接圆的半径等于5 D．OC＝12
10．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝20，AH＝16，⊙O的半径为15，则AB＝ ．
12．⊙O的半径为10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，在直线l上有一点P且PM＝6cm，则点P与⊙O的位置关系是 ．
13．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为 ．
14．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝ °．
15．如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm．
16．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为 ．
18．如图，平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别为（2，0）（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为 ．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE＝2，则OD的长为 ．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为 ．
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且∠A＝30°，AB＝8cm，BC＝AC＝5cm，则点O到AB的距离为 cm．
23．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是 ．
24．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝6，AC＝5，AD＝3，则⊙O的直径AE＝ ．
25．如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为 ．
26．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．
27．如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．
求：（1）⊙O的半径；
（2）BE的长．
28．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P是上一点，连接AP，CP，作射线BP．
（1）求证：PC平分∠APB；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AP＝2，PC＝5，求△ABC的面积．
29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC＝GC；
（2）求证：四边形EDBG是矩形．
30．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．
（1）试用尺规作图法作出△ABC的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出⊙O的半径．
31．已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP＝PC；
（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，BP，那么结论AP+BP＝PC还成立吗？试证明你的结论．
32．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．
33．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 ．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．
34．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
35．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
36．已知：⊙O为△ABC的外接圆，其中∠ACB＝90°，AB长为10cm，AC长为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
37．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
38．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
40．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
参考答案
1．解：∵⊙O的直径为12，点P在⊙O外，
∴OP＞6
故选：D．
2．解：∵OP＝3＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：D．
3．解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；
故选：C．
4．解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选：A．
5．解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP＝＝5．
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
6．解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故选：B．
7．解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA＝1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如图，取A′（0，﹣3），连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解决问题．
故选：D．
8．解：∵每个小三角形都是正三角形，
∴AM＝AN，MB＝BN，
∴AB⊥MN，
∴△ABC为直角三角形，
∵G是AN的中点，GE∥BC，
∴点E是△ABC斜边的中点，
∴△ABC的外心是斜边的中点，即点E，
故选：B．
9．解：设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，﹣6），
∴AB＝10，E（0，﹣1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝OE＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5，
由勾股定理得：CF＝＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
故选：D．
10．解：经过不在同一条直线上三点可以作一个圆，∴①错误；
任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；
任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；
三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．
故选：C．
11．解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
有圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝24，
故答案为：24．
12．解：由勾股定理，得
d＝＝10，
d＝r＝10cm，
点P在圆上，
故答案为：点P在⊙O上．
13．解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB cos∠OBD＝2×cos30°＝2×＝，
∴BC＝2BD＝2．
∴等边△ABC的边长为2．
故答案为：2．
14．解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACB＝∠D＝40°．
故答案为40．
15．解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm，
∴∠BOC＝120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB＝90°，∠BOD＝60°，
∴BD＝，∠OBD＝30°，
∴OB＝，得OB＝，
∴2OB＝，
即△ABC外接圆的直径是cm，
故答案为：．
16．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
17．解：如图，连接OB，OC，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵BC＝4，
∴BO＝CO＝BC cos45°＝2，
∴⊙O的直径为4，
故答案为：4．
18．解：在Rt△OAB中，AB＝＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，设圆心为C点，
过直径PP′⊥AB，连接PA、P′B，作PD⊥x轴于D，P′E⊥y轴于E，如图，
∴∠PCA＝∠BCP＝90°，PA＝P′B＝2，
∴∠BOP＝∠BOP′＝45°，
∴∠POD＝45°，
设P（t，t），则AD＝t﹣2，
在Rt△PAD中，（t﹣2）2+t2＝（2）2，
整理得t2﹣2t﹣2＝0，解得t1＝1+，t2＝1﹣（舍去），则P点坐标为（1+，1+）；
设P′（m，﹣m），则P′E＝OE＝﹣m，BE＝2+m，
在Rt△P′BE中，（2+m）2+m2＝（2）2，
整理得m2+2m+2＝0，解得m1＝﹣+1，m2＝﹣﹣1（舍去），则P′点坐标为（﹣+1，﹣1）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1+）或（﹣+1，﹣1）．
故答案为（1+，1+）或（﹣+1，﹣1）．
19．解：连接BO并延长交AC于F，如图，
∵BA＝BC，
∴＝，
∴BF⊥AC，
∵直径MN⊥BC，
∴BD＝CD，
∵∠BOD＝∠EOF，
∴Rt△BOD∽Rt△EOF，
∴＝＝＝，
设OF＝x，则OD＝x，
∵∠DBO＝∠DEC，
∴Rt△DBO∽Rt△DEC，
∴＝，即＝，
而BD＝CD，
∴DB2＝x（x+2）＝3x2+2x，
在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2＝（2）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OD＝x＝2．
故答案为2．
20．解：连接OA、OC，
∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABC＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴AC＝OA＝2，
故答案为：2．
21．解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
22．解：连接OC，OB，交AB于点M，
∵∠A＝30°，BC＝5cm，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，BC＝5，
∴OB＝OC＝BC＝5
∵AB＝8cm，
∴AM＝BM＝4，
∵OM⊥AB，
∴OM＝3．
故答案为3
23．解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
故答案为6．
24．解：由圆周角定理得，∠E＝∠C，∠ABE＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得，AE＝10，
故答案为：10．
25．解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，
∵△AMP和△NPB都是等边三角形，
∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．
∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，
若半径OP最短，则OP⊥AB．
又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6，
∴OA＝OB，
∴AP＝BP＝3，
∴在直角△AOP中，OP＝AP tan∠OAP＝3×tan30°＝，
故答案为：．
26．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝9．
27．解：（1）连接OB，
解方程x2﹣9x+18＝0，
得，x1＝3，x2＝6，
由图形可知，AC＝3，AB＝6，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OB＝AB＝3；
（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝，
∴BE＝＝．
28．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠APB＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝∠BPC，
∴PC平分∠APB；
（2）解：PA+PB＝PC，
证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，
∵PF＝PB，∠BPC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝BF，∠BFP＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，
∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠BPA＝∠BFC，
在△BPA和△BFC中，
，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA＝FC，
∴PA+PB＝PF+FC＝PC；
（3）过A点作⊙O的切线交直线PB于D，
∴∠DAP＝∠ACP，∠DAB＝∠ACB＝60°，
而∠APD＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ACP，
∴∠APD＝∠APC＝∠BAD＝60°，∠PAD＝∠ABD，
∴△ADP∽△CAP，
∴PD：PA＝PA：PC，即PD：2＝2：5，
∴PD＝，
∵BP＝PC﹣PA＝5﹣2＝3，
∵BD﹣PB＝PD，
∴BD＝+3＝，
∵∠APD＝∠BAD，∠PAD＝∠ABD，
∴△ADP∽△BDA，
∴AD：DP＝DB：DA＝AB：PA，
∴＝＝
∴AD＝，AB＝AD＝，
∴△ABC的高＝AB＝，
∴△ABC的面积为：××＝．
29．证明（1）∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ABC＝90°，
在△AOD和△EOF中，
∴△AOD≌△EOF，
∴OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC＝∠ODF，
又∠GFC＝∠OFD，
∴∠CFG＝∠FGC，
∴FC＝GC；
（2）连接AE、EC，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，
∴∠OAE＝∠OFD，
∴AE∥DG，
∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，又CF＝CG，
∴CE是FG的垂直平分线，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC＝∠EFC＝90°，
又∠EDB＝90°，∠ABC＝90°，
∴四边形EDBG是矩形．
30．解：（1）如图．
（2）连接OA交BC于D，连接OC．
因为AB＝AC，
所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8．
在Rt△ADC中，．
设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6．
在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2，
得R2＝（R﹣6）2+82，解得．
31．证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠APC＝∠BPC＝60°，
∵PC为⊙O的直径，
∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
∴AP＝BP＝PC，
∴AP+BP＝PC；
（2）成立．
在PC上取一点D，使PD＝PA，连接AD；
∵∠APD＝60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD＝PD；
∵∠PAD＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC，
∵AP＝AD，AB＝AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB＝DC，
∴PA+PB＝PD+DC＝PC．
32．解：（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为，
解得；
原方程可化为，
解得x1＝3，x2＝，
所以三角形的周长为3+3+＝；
若b＝c，则Δ＝，
解得m＝﹣4或2，
当m＝﹣4时，方程为x2﹣4x+4＝0，得x1＝x2＝2，
所以三角形的周长为2+2+3＝7；
当m＝2时，方程为x2+2x+1＝0，得x1＝x2＝﹣1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7或7．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB＝AC＝2，BC＝3，
BE＝BC＝．AE＝＝＝，
设AO＝R，在Rt△BOE中，R2＝（）2+（﹣R）2，
∴R＝，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．
33．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，
S△ABC＝AB×BC＝BC，
S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．
34．解：（1）连接OB，则OA＝OB；
∵∠OAB＝35°，
∴∠OBA＝∠OAB＝35°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA，
∴∠AOB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∴β＝∠C＝∠AOB＝55°．
（2）α与β之间的关系是α+β＝90°；
证明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝180°﹣2α，
∵β＝∠C＝∠AOB，
∴β＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∴α+β＝90°．
35．（1）证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB＝DH，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC＝AC，
∴DH＝AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH＝AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
36．解：∵∠ACB＝90°，AB长为10cm，AC长为6cm，
∴BC＝＝8cm，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB平分线交⊙O于D，
∴＝，
∴DA＝DB＝AB＝5cm．
37．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠AEP＝∠ABP＝45°，
∵PE是直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB，
∴∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴PB2+PC2＝PB2+BE2＝PE2＝22＝4．
38．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．
39．（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，
∴AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ACB＝∠AED．
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE；
（2）∵△ABC是直角三角形，且AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵由（1）得，∠AED＝90°，
∴∠BED＝90°．
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD2＝BE2+ED2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
∴CD＝3，
∵AC＝6，△ACD是直角三角形，
∴AD2＝AC2+CD2＝62+32＝45，
∴AD＝3．
解法二：由△BDE∽△BAC，
可得＝，可得DE＝3，
∴AD＝＝＝3．
40．证明：（1）在⊙O中，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵＝，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AD＝AG，
∴DH＝HG，
∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，
∵BD＝AE，
∴CG＝AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．
1．若⊙O的直径为12，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为3，点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．无法确定 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．点P在⊙O 内
3．给定下列图形可以确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心 B．已知半径 C．已知直径 D．已知三个点
4．下列说法正确的是（ ）
A．等弧所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．经过三点可以作一个圆 D．相等的圆心角所对的弧相等
5．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P（﹣3，4）与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是（ ）
A．3＜r＜4 B．3＜r＜5 C．3≤r≤5 D．r＞4
7．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为（ ）
A．1 B．2﹣1 C． D．﹣1
8．如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是（ ）
A．D点 B．E点 C．F点 D．G点
9．已知：点A（0，4），B（0，﹣6），C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB＝45°，则（ ）
A．△ABC外接圆的圆心在OC上 B．∠BAC＝60°
C．△ABC外接圆的半径等于5 D．OC＝12
10．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝20，AH＝16，⊙O的半径为15，则AB＝ ．
12．⊙O的半径为10cm，圆心到直线l的距离OM＝8cm，在直线l上有一点P且PM＝6cm，则点P与⊙O的位置关系是 ．
13．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为 ．
14．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝ °．
15．如图．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm．
16．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．
17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，BC＝4，则⊙O的直径为 ．
18．如图，平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别为（2，0）（0，2），点P是△AOB外接圆上的一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为 ．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，直径MN⊥BC于点D，与AC边相交于点E，若⊙O的半径为2，OE＝2，则OD的长为 ．
20．如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，AD＝BD．若⊙O的半径OB＝2，则AC的长为 ．
21．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．
22．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且∠A＝30°，AB＝8cm，BC＝AC＝5cm，则点O到AB的距离为 cm．
23．如图，⊙O的半径为6，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB，OC，若∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长是 ．
24．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AB＝6，AC＝5，AD＝3，则⊙O的直径AE＝ ．
25．如图，P是线段AB上异于端点的动点，且AB＝6，分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APM和等边△BPN，则△MNP外接圆半径的最小值为 ．
26．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点F，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径；
（3）若BD＝6，DF＝4，求AD的长．
27．如图，在钝角△ABC中，∠C＝45°，AE⊥BC，垂足为E点，且AB与AC的长度为方程x2﹣9x+18＝0的两个根，⊙O是△ABC的外接圆．
求：（1）⊙O的半径；
（2）BE的长．
28．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P是上一点，连接AP，CP，作射线BP．
（1）求证：PC平分∠APB；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AP＝2，PC＝5，求△ABC的面积．
29．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过O作OD∥BC交AB于点D．延长DO交⊙O于点E，作EF⊥AC于点F．连接DF并延长交直线BC于点G，连接EG．
（1）求证：FC＝GC；
（2）求证：四边形EDBG是矩形．
30．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16．
（1）试用尺规作图法作出△ABC的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求出⊙O的半径．
31．已知：⊙O是正三角形ABC的外接圆．
（1）如图1，若PC为⊙O的直径，连接AP，BP，求证：AP+BP＝PC；
（2）如图2，若点P是弧AB上任一点，连接AP，BP，那么结论AP+BP＝PC还成立吗？试证明你的结论．
32．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c是关于x的方程的两个实数根．
（1）求△ABC的周长．
（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．
33．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段 ．
（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．
34．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB＝α，∠C＝β．
（1）当α＝35°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
35．如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC＝PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB＝DH，∠OHD＝80°，求∠BDE的大小．
36．已知：⊙O为△ABC的外接圆，其中∠ACB＝90°，AB长为10cm，AC长为6cm，∠ACB平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
37．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
38．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E．
（1）求证：DE＝DB；
（2）若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A，D，C三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的直径．
40．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，点D在边BC上，AE∥BC，AE＝BD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）如果点G在线段DC上（不与点D重合），且AG＝AD，求证：四边形AGCE是平行四边形．
参考答案
1．解：∵⊙O的直径为12，点P在⊙O外，
∴OP＞6
故选：D．
2．解：∵OP＝3＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆内．
故选：D．
3．解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；
B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；
C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；
D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；
故选：C．
4．解：等弧所对的圆心角相等，A正确；
平分弦的直径垂直于这条弦（此弦不能是直径），B错误；
经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，C错误；
相等的圆心角所对的弧不一定相等，
故选：A．
5．解：∵圆心P的坐标为（﹣3，4），
∴OP＝＝5．
∵⊙O的半径为5，
∴点P在⊙O上．
故选：B．
6．解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故选：B．
7．解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，
当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，
点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆（CA：PA＝1：2，则点C轨迹和点P轨迹相似，所以点C的轨迹就是圆），当O、C、D共线时，OC的长最小，
设线段AB交⊙B于Q，
Rt△AOB中，OA＝3，OB＝3，
∴AB＝3，
∵⊙B的半径为2，
∴BP1＝2，AP1＝3+2，
∵C1是AP1的中点，
∴AC1＝+1，AQ＝3﹣2，
∵C2是AQ的中点，
∴AC2＝C2Q＝﹣1，
C1C2＝+1﹣（﹣1）＝2，即⊙D的半径为1，
∵AD＝﹣1+1＝＝AB，
∴OD＝AB＝，
∴OC＝﹣1，
方法二：如图，取A′（0，﹣3），连接PA′．
根据三角形中位线定理可知：PA′＝2OC，求出PA′的最小值即可解决问题．
故选：D．
8．解：∵每个小三角形都是正三角形，
∴AM＝AN，MB＝BN，
∴AB⊥MN，
∴△ABC为直角三角形，
∵G是AN的中点，GE∥BC，
∴点E是△ABC斜边的中点，
∴△ABC的外心是斜边的中点，即点E，
故选：B．
9．解：设线段BA的中点为E，
∵点A（0，4），B（0，﹣6），
∴AB＝10，E（0，﹣1）．
如图所示，过点E在第四象限作EP⊥BA，且EP＝AB＝5，则
易知△PBA为等腰直角三角形，∠BPA＝90°，PA＝PB＝5；
以点P为圆心，PA（或PB）长为半径作⊙P，与y轴的正半轴交于点C，
∵∠BCA为⊙P的圆周角，
∴∠BCA＝∠BPA＝45°，即则点C即为所求．
过点P作PF⊥x轴于点F，则OF＝PE＝5，PF＝OE＝1，
在Rt△PFC中，PF＝1，PC＝5，
由勾股定理得：CF＝＝7，
∴OC＝OF+CF＝5+7＝12，
故选：D．
10．解：经过不在同一条直线上三点可以作一个圆，∴①错误；
任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；
任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；
三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．
故选：C．
11．解：作直径AD，连接BD，
∵AD为直径，
∴∠ABD＝90°，又AH⊥BC，
∴∠ABD＝∠AHC，
有圆周角定理得，∠D＝∠C，
∴△ABD∽△AHC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝24，
故答案为：24．
12．解：由勾股定理，得
d＝＝10，
d＝r＝10cm，
点P在圆上，
故答案为：点P在⊙O上．
13．解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，
∴BC＝2BD，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴∠BOC＝×360°＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝＝＝30°，
∵⊙O的半径为2，
∴OB＝2，
∴BD＝OB cos∠OBD＝2×cos30°＝2×＝，
∴BC＝2BD＝2．
∴等边△ABC的边长为2．
故答案为：2．
14．解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACB＝∠D＝40°．
故答案为40．
15．解：设圆的圆心为点O，能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
∵在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5cm，
∴∠BOC＝120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB＝90°，∠BOD＝60°，
∴BD＝，∠OBD＝30°，
∴OB＝，得OB＝，
∴2OB＝，
即△ABC外接圆的直径是cm，
故答案为：．
16．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
17．解：如图，连接OB，OC，
∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
又∵BC＝4，
∴BO＝CO＝BC cos45°＝2，
∴⊙O的直径为4，
故答案为：4．
18．解：在Rt△OAB中，AB＝＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为△AOB外接圆的直径，设圆心为C点，
过直径PP′⊥AB，连接PA、P′B，作PD⊥x轴于D，P′E⊥y轴于E，如图，
∴∠PCA＝∠BCP＝90°，PA＝P′B＝2，
∴∠BOP＝∠BOP′＝45°，
∴∠POD＝45°，
设P（t，t），则AD＝t﹣2，
在Rt△PAD中，（t﹣2）2+t2＝（2）2，
整理得t2﹣2t﹣2＝0，解得t1＝1+，t2＝1﹣（舍去），则P点坐标为（1+，1+）；
设P′（m，﹣m），则P′E＝OE＝﹣m，BE＝2+m，
在Rt△P′BE中，（2+m）2+m2＝（2）2，
整理得m2+2m+2＝0，解得m1＝﹣+1，m2＝﹣﹣1（舍去），则P′点坐标为（﹣+1，﹣1）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1+）或（﹣+1，﹣1）．
故答案为（1+，1+）或（﹣+1，﹣1）．
19．解：连接BO并延长交AC于F，如图，
∵BA＝BC，
∴＝，
∴BF⊥AC，
∵直径MN⊥BC，
∴BD＝CD，
∵∠BOD＝∠EOF，
∴Rt△BOD∽Rt△EOF，
∴＝＝＝，
设OF＝x，则OD＝x，
∵∠DBO＝∠DEC，
∴Rt△DBO∽Rt△DEC，
∴＝，即＝，
而BD＝CD，
∴DB2＝x（x+2）＝3x2+2x，
在Rt△OBD中，3x2+2x+3x2＝（2）2，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴OD＝x＝2．
故答案为2．
20．解：连接OA、OC，
∵AD⊥BC，AD＝BD，
∴∠ABC＝45°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠ABC＝90°，
∴AC＝OA＝2，
故答案为：2．
21．解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB＝＝＝10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CE＝AB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴ME＝AD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
22．解：连接OC，OB，交AB于点M，
∵∠A＝30°，BC＝5cm，
∴∠COB＝60°，
∵OB＝OC，BC＝5，
∴OB＝OC＝BC＝5
∵AB＝8cm，
∴AM＝BM＝4，
∵OM⊥AB，
∴OM＝3．
故答案为3
23．解∵∠BAC与∠BOC互补，
∴∠BAC+∠BOC＝180°，
∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝120°，
过O作OD⊥BC，垂足为D，
∴BD＝CD，
∵OB＝OC，
∴OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△DOC中，OC＝6，
∴OD＝3，
∴DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
故答案为6．
24．解：由圆周角定理得，∠E＝∠C，∠ABE＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴△ABE∽△ADC，
∴＝，即＝，
解得，AE＝10，
故答案为：10．
25．解：分别作∠A与∠B角平分线，交点为O，连接OP，
∵△AMP和△NPB都是等边三角形，
∴AO与BO为PM、PN垂直平分线．
∵圆心O在PM、PN垂直平分线上，即圆心O是一个定点，
若半径OP最短，则OP⊥AB．
又∵∠OAP＝∠OBP＝30°，AB＝6，
∴OA＝OB，
∴AP＝BP＝3，
∴在直角△AOP中，OP＝AP tan∠OAP＝3×tan30°＝，
故答案为：．
26．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠BED＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠5+∠4＝∠DBE，
∴DB＝DE；
（2）解：连接CD，如图，
∵∠BAC＝90°，
∴BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴DB＝DC，
∴△DBC为等腰直角三角形，
∴BC＝BD＝4，
∴△ABC外接圆的半径为2；
（3）解：∵∠5＝∠2＝∠1，∠FDB＝∠BDA，
∴△DBF∽△DAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝9．
27．解：（1）连接OB，
解方程x2﹣9x+18＝0，
得，x1＝3，x2＝6，
由图形可知，AC＝3，AB＝6，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝90°，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴OB＝AB＝3；
（2）∵∠C＝45°，AE⊥BC，
∴△AEC为等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝，
∴BE＝＝．
28．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∵∠APB＝∠ABC＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝∠BPC，
∴PC平分∠APB；
（2）解：PA+PB＝PC，
证明：在线段PC上截取PF＝PB，连接BF，
∵PF＝PB，∠BPC＝60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB＝BF，∠BFP＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣∠PFB＝120°，
∵∠BPA＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠BPA＝∠BFC，
在△BPA和△BFC中，
，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA＝FC，
∴PA+PB＝PF+FC＝PC；
（3）过A点作⊙O的切线交直线PB于D，
∴∠DAP＝∠ACP，∠DAB＝∠ACB＝60°，
而∠APD＝∠ACB＝60°，∠ABD＝∠ACP，
∴∠APD＝∠APC＝∠BAD＝60°，∠PAD＝∠ABD，
∴△ADP∽△CAP，
∴PD：PA＝PA：PC，即PD：2＝2：5，
∴PD＝，
∵BP＝PC﹣PA＝5﹣2＝3，
∵BD﹣PB＝PD，
∴BD＝+3＝，
∵∠APD＝∠BAD，∠PAD＝∠ABD，
∴△ADP∽△BDA，
∴AD：DP＝DB：DA＝AB：PA，
∴＝＝
∴AD＝，AB＝AD＝，
∴△ABC的高＝AB＝，
∴△ABC的面积为：××＝．
29．证明（1）∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，
∵OD∥BC，∴∠ADO＝∠ABC＝90°，
在△AOD和△EOF中，
∴△AOD≌△EOF，
∴OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵OD∥BC，∴∠FGC＝∠ODF，
又∠GFC＝∠OFD，
∴∠CFG＝∠FGC，
∴FC＝GC；
（2）连接AE、EC，
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，
∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD，
∴∠OAE＝∠OFD，
∴AE∥DG，
∵AC为直径，∴∠AEC＝90°，又CF＝CG，
∴CE是FG的垂直平分线，
∴△EFC≌△EGC，
∴∠EGC＝∠EFC＝90°，
又∠EDB＝90°，∠ABC＝90°，
∴四边形EDBG是矩形．
30．解：（1）如图．
（2）连接OA交BC于D，连接OC．
因为AB＝AC，
所以由垂径定理，得OA⊥BC于D，BD＝CD＝8．
在Rt△ADC中，．
设OC＝OA＝R，则OD＝R﹣6．
在Rt△OCD中，由OC2＝OD2+CD2，
得R2＝（R﹣6）2+82，解得．
31．证明：（1）∵△ABC为正三角形，
∴∠APC＝∠BPC＝60°，
∵PC为⊙O的直径，
∴∠PAC＝∠PBC＝90°，
∴AP＝BP＝PC，
∴AP+BP＝PC；
（2）成立．
在PC上取一点D，使PD＝PA，连接AD；
∵∠APD＝60°，
∴△APD为等边三角形，
∴AD＝PD；
∵∠PAD＝∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC，
∵AP＝AD，AB＝AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB＝DC，
∴PA+PB＝PD+DC＝PC．
32．解：（1）若b、c中有一边等于3，
则方程可化为，
解得；
原方程可化为，
解得x1＝3，x2＝，
所以三角形的周长为3+3+＝；
若b＝c，则Δ＝，
解得m＝﹣4或2，
当m＝﹣4时，方程为x2﹣4x+4＝0，得x1＝x2＝2，
所以三角形的周长为2+2+3＝7；
当m＝2时，方程为x2+2x+1＝0，得x1＝x2＝﹣1；（不合题意，舍去）
综上可知△ABC的周长为7或7．
（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．
∵△ABC的三边均为整数，
∴AB＝AC＝2，BC＝3，
BE＝BC＝．AE＝＝＝，
设AO＝R，在Rt△BOE中，R2＝（）2+（﹣R）2，
∴R＝，
∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．
33．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；
（2）作图如图：
∵点P为AC中点，
∴PA＝PC＝AC．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BP＝DP＝AC，
∴PA＝PB＝PC＝PD，
∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；
（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，
∴四边形ABCD为损矩形，
∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ACEF为正方形．
∵BD平分∠ABC，BD＝，
∴点D到AB、BC的距离h为4，
∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，
S△ABC＝AB×BC＝BC，
S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD
∴BC+（BC2+9）＝6+2BC
∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），
∴BC＝5．
34．解：（1）连接OB，则OA＝OB；
∵∠OAB＝35°，
∴∠OBA＝∠OAB＝35°，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA，
∴∠AOB＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∴β＝∠C＝∠AOB＝55°．
（2）α与β之间的关系是α+β＝90°；
证明：∵∠OBA＝∠OAB＝α，
∴∠AOB＝180°﹣2α，
∵β＝∠C＝∠AOB，
∴β＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，
∴α+β＝90°．
35．（1）证明：如图1，∵PC＝PB，
∴∠PCB＝∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠PCB＝180°，
∴∠BAD＝∠PCB，
∵∠BAD＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ADC＝∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC＝DH，
在Rt△ABC中，∵AB＝DH，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝60°，BC＝AC，
∴DH＝AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM＝90°，
∴∠AMD+∠ADM＝90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∵∠AMD＝∠ABD，
∴∠ADM＝∠BDE，
∵DH＝AC，
∴DH＝OD，
∴∠DOH＝∠OHD＝80°，
∴∠ODH＝20°
∵∠ADB＝60°，
∴∠ADM+∠BDE＝40°，
∴∠BDE＝∠ADM＝20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，
∴∠BDE＝∠BDN+∠ODH＝40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
36．解：∵∠ACB＝90°，AB长为10cm，AC长为6cm，
∴BC＝＝8cm，
∵∠ACB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ACB平分线交⊙O于D，
∴＝，
∴DA＝DB＝AB＝5cm．
37．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴∠AEP＝∠ABP＝45°，
∵PE是直径，
∴∠PAE＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°，
∴AP＝AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）∵AC＝AB．AP＝AE，∠CAB＝∠PAE＝90°，
∴∠CAP＝∠BAE，
∴△CAP≌△BAE，
∴∠ACP＝∠ABE＝45°，PC＝EB，
∴∠PBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，
∴PB2+PC2＝PB2+BE2＝PE2＝22＝4．
38．（1）证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴，
∴∠DBC＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE+∠DBC，∠DEB＝∠ABE+∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
（2）解：连接CD，如图所示：
由（1）得：，
∴CD＝BD＝4，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝＝4，
∴△ABC外接圆的半径＝×4＝2．
39．（1）证明：∵∠ACB＝90°，且∠ACB为⊙O的圆周角，
∴AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠ACB＝∠AED．
∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD，
∴CD＝DE，
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（HL），
∴AC＝AE；
（2）∵△ABC是直角三角形，且AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵由（1）得，∠AED＝90°，
∴∠BED＝90°．
设CD＝DE＝x，则DB＝BC﹣CD＝8﹣x，EB＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
在Rt△BED中，根据勾股定理得，BD2＝BE2+ED2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，
∴CD＝3，
∵AC＝6，△ACD是直角三角形，
∴AD2＝AC2+CD2＝62+32＝45，
∴AD＝3．
解法二：由△BDE∽△BAC，
可得＝，可得DE＝3，
∴AD＝＝＝3．
40．证明：（1）在⊙O中，
∵＝，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴∠B＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE；
（2）连接AO并延长，交边BC于点H，
∵＝，OA为半径，
∴AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵AD＝AG，
∴DH＝HG，
∴BH﹣DH＝CH﹣GH，即BD＝CG，
∵BD＝AE，
∴CG＝AE，
∵CG∥AE，
∴四边形AGCE是平行四边形．