3.8圆内接正多边形 同步达标训练 2021-2022学年北师大版九年级数学下册（word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》同步达标训练（附答案）
1．一个适当大的正六边形，它的一个顶点与一个边长为定值的小正六边形ABCDEF的中心O重合，且与边AB、CD相交于G、H（如图）．图中阴影部分的面积记为S，三条线段GB、BC、CH的长度之和记为l，在大正六边形绕点O旋转过程中，下列说法正确的是（　　）
A．S变化，l不变 B．S不变，l变化
C．S变化，l变化 D．S与l均不变
2．如图，一个正六边形的一边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正六边形的六边滚动，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（　　）
A．6圈 B．7圈 C．8圈 D．9圈
3．如图，已知正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，P是线段EF上的动点，连接AP，BP，当AP+BP的值最小时，∠BPF的度数为（　　）
A．36° B．45° C．54° D．60°
4．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（　　）
A．30°或150° B．60°或120° C．30° D．60°
5．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（　　）
A．cm B．5cm C．3cm D．10cm
7．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG的面积为4，则五边形ABDEF的面积为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（　　）
A．2： B．： C．： D．：2
9．如图，点O为正六边形的中心，P，Q分别从点A（1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2020次相遇地点的坐标为（　　）
A． B．（1，0） C． D．（﹣1，0）
10．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（　　）
A． B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3
11．如图，边长为a的正六边形内有斜边为a、锐角为60°两个直角三角形，则＝　 　．
12．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长为 　 　．
13．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于点F，连接CF，则∠CFD＝　 　°．
14．如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长为　 　．
15．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，两顶点A，B分别在x轴和y轴上运动，则顶点D到原点O的距离的最大值为　 　；最小值为　 　．
16．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　 　．
17．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为 　 　．
18．如图所示，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰三角形BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是　 　．
19．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
20．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC；
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．
参考答案
1．解：如图，连接OA，OC．
∵∠HOB＝∠AOC＝120°，∠OCH＝∠OAG＝60°，
∴∠HOC＝∠GOA，
在△OHC和△OGA中，
，
∴△HOC≌△GOA（ASA），
∴AG＝CH，
∴S阴＝S四边形OABC＝定值，l＝GB+BC+CH＝AG+BG+BC＝2BC＝定值，
故选：D．
2．解：如图所示：
由切线的性质得：圆从一边旋转到另一边时，圆心要绕六边形的顶点旋转60°，
则圆绕6个顶点一共旋转了360°，即转了1圈，
∵正六边形的一边长与它的一边相外切的圆的周长相等，
∴圆在正六边形的6条边上滚动时要转6圈，
∴这个圆共转了7圈，
故选：B．
3．解：如图，连接AC，PC，设AC交EF于点P′，连接BP′．
∵正五边形ABCDE中，点F是BC的中点，
∵EF⊥BC，
∴B，C关于EF对称，
∴PB＝PB，
∵PA+PB＝PA+PC≥AC，
∴当点P与P′重合时，PA+PB的值最小，
∵ABCDE是正五边形，
∴BA＝BC，∠ABC＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
∵P′B＝CP′，
∴∠P′BC＝∠P′CB＝36°，
∵∠EFB＝90°，
∴∠BP′F＝90°﹣36°＝54°．
故选：C．
4．解：连接OA，OB，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝＝60°，
当点P不在上时，
∠APB＝∠AOB＝30°，
当点P在上时，
∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，
故选：A．
5．解：连接OA，OB，OE，
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，
∵∠CBE＝15°，
∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝3，
∴OA＝3，
∴AB＝＝3，
∴BC＝3，
故选：D．
6．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
7．解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，
∵ABCDEF正六边形，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，
∠F＝∠FAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°
∵△BDG是等边三角形，
∴BG＝DG＝BD，∠GBD＝∠GDB＝60°，
又CG＝CG，
∴△BCG≌△DCG（SSS），
∵∠GBC＝∠DBC＝60°﹣30°＝30°，
∴△GBC≌△DBC（SAS），
∴S△BCG＝S△DCG＝S△BCD＝2，
∴S△AEF＝2，
设CH＝x，则BC＝CG＝2x，BH＝x，
∴BD＝2x，
∴CG BH＝2，
即2x×x＝2，
∴x2＝2，
∴S四边形ABDE＝AB BD＝2x 2x＝4x2＝8，
∴五边形ABDEF的面积为：2+8＝10．
故选：C．
8．解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：
则AH＝BH＝AB，
∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，
∴AD＝OA，AH＝OA sin60°＝OA，
∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，
∴＝＝，
故选：B．
9．解：∵A（1，0），O为正六边形的中心，
∴OA＝AB＝1，
连接OB，作BG⊥OA于点G，
则AG＝OA＝，BG＝，
∴B（，），
∴C（﹣，），
E（﹣，﹣），
∵正六边形的边长＝1，
∴正六边形的周长＝6，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），
此时点P的路程为1×2＝2，点Q的路程为2×2＝4，
此时P，Q相遇地点的坐标在点C（﹣，），
以此类推：第二次相遇地点在点E（﹣，﹣），
第三次相遇地点在点A（1，0），
…如此下去，
∵2020÷3＝673……1，
∴第2020次相遇地点在点C，C的坐标为（﹣，）．
故选：A．
10．解：如图，
∵正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1
∴第一次旋转后点M1 纵坐标为，第二次、第三次旋转后点M2（M3）的纵坐标为﹣，四次旋转后点M4的纵坐标为﹣﹣，第五次旋转后点M5的纵坐标为+，第六次旋转后的点M6的纵坐标为．
故选：A．
11．解：∵S正六边形＝6× a2＝a2，S空白＝2× a a＝a2，
∴S阴＝a2，
∴＝，
故答案为：．
12．解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD＝＝60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG＝OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，
故答案为：1．
13．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE＝∠E＝＝108°，AE＝DE，
∴∠EDA＝∠EAD＝（180°﹣∠E）＝54°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDA＝108°﹣36°＝72°，
∵CF＝CD，
∴∠CFD＝∠CDF＝72°，
故答案为：72．
14．解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝4，
∴OE＝OF＝2，∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
在RT△OME中，∵OE＝2，∠OEM＝∠GEF＝30°，
∴OM＝，EM＝OM＝，
∴EF＝2．
故答案为2．
15．解：当O、D、AB中点共线时，OD有最大值和最小值，
如图，BD＝4，BK＝2，
∴DK＝＝＝2，OK＝BK＝2，
∴OD的最大值为：2+2，
同理，当O、D、AB中点共线时，将正六边形绕AB中点K旋转180°取得最小值为：2﹣2，
故答案为：2+2，2﹣2．
16．解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∵AK＝BK，
∴KF＝AK＝BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为，
∴AB＝BC＝＝2，
∴KF＝AK＝KB＝1，
∵∠CBK＝90°，
∴CK＝＝＝，
∵CF≥CK﹣KF，
∴CF≥﹣1，
∴CF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
17．解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．
18．解：连接AD，作NM⊥PB于M，
∵六边形APCDEF是正六边形，
∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，
∴∠ADE＝60°，
∴∠ADP＝30°
∴PD＝PA，
∵DP⊥AB，NM⊥PB
∴PD∥MN，
∴PM就是△PDN的PD边的高，
设PA＝x．则PB＝10﹣x，
∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，
∴PM＝PB＝（10﹣x），
∴S△PDN＝PD PM＝×x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+（0＜x＜10），
∴△PDN的面积的最大值为：．
故答案为：．
19．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；
20．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∴∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
∴MP＝QM，
又∵∠APB＝30°，
∴cos30°＝，
∴PM＝PB，
∴
∴