2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 单元综合达标测试题 (word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册第3章圆 单元综合达标测试题 (word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 485.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-12-05 19:34:23 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合达标测试题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长取值范围是（ ）
A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5
2．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
3．如图，已知⊙O的半径为2，AC与⊙O相切，连接AO并延长，交⊙O于点B，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝30°，则弦BD的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．
4．已知扇形半径是9cm，弧长为4πcm，则扇形的圆心角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O内一定点，且PO＝1．过点P作⊙O的弦，其中最短的弦的长度是（ ）
A．4 B． C．2 D．2
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC、BD为其对角线，过点D作DE⊥DB．交BC的延长线于点E，CD平分∠ACE，若AD＝3，DE＝2，则BE的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
7．如图，弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．40° B．140° C．40°或140° D．不确定
8．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．75°
9．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，CD＝2，则AC等于（ ）
A．6 B．4 C．2 D．3
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 ．
12．已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M．若AB＝10cm，CD＝26cm，则AC的长为 cm．
13．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 ．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ ．
16．如图，AB是⊙O的直径，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在圆上，点C是OB上一点，且OC＝CF，则∠FOC的度数是 ．
17．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是 ．
18．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
19．如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ °．
20．如图，在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为r，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点）．当⊙O与直线AB只有一个公共点时，r＝ ；当r＝时，线段PQ长度的最小值为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若CD＝4，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，⊙O的半径为6，过点O作OH⊥AD，交AD于点H，求AH的长度．
23．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若BC＝5，BD＝3，求AB长．
24．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
26．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：OD＝AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若OB＝，BC＝12，连接PC，求PC的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：过点O作OH⊥AB于H，连接OB，
则AH＝HB＝AB＝4，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝3，
∴线段OP长的取值范围是3≤OP≤5，
故选：B．
2．解：如图，连接OC．
∵CD＝OB，OB＝OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°，
故选：C．
3．解：AB交CD于E，交⊙O于F，连接OC、OD，如图，
∵AC与⊙O相切，
∴OC⊥AC，
∴∠OCA＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，
∴＝，DE＝CE，
∴∠DOF＝∠COF＝60°，
∴∠B＝∠DOF＝30°，
在Rt△OCE中，∵OE＝OC＝1，
∴CE＝OE＝，
∴DE＝，
在Rt△BDE中，BD＝2DE＝2．
故选：C．
4．解：根据弧长公式＝＝4π，
解得：n＝80，
故选：D．
5．解：当过P的弦与OP垂直时，此时的弦长最短，连接OA，
利用垂径定理得到P为AB的中点，即AP＝AB，
在Rt△AOP中，OA＝2，OP＝1，
根据勾股定理得：AP＝＝＝，
则过点P最短的弦长AB＝2．
故选：C．
6．解：∵∠DCE是△DCB的外角，∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠DCE＝∠CAB+∠CAD＝∠DAB，
∵∠DCA与∠DBA共弧，CD平分∠ACE，
∴∠DBA＝∠DCA＝∠DCE＝∠DAB，
∴AD＝DB＝3，
∵DE⊥DB．DE＝2，
∴BE＝＝．
故选：B．
7．解：如图，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣40°＝140°，
即弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°．
故选：C．
8．解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：C．
9．解：如图，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵∠D＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠D＝∠OAC，
∴AC＝CD＝2，
故选：C．
10．解：如图，作CP⊥AB于点P，
当C、O、P在同一条直线上时半径最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AB CP＝AC BC，
即5CP＝3×4，
解得：CP＝，
即半径最小值为：1.2，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
12．解：当点C与点M在点O的两侧时，连接OC.
∵CD⊥AB，AB＝10cm，
∴AM＝BM＝AB＝5（cm），
∵CD＝26cm，
∴OA＝13cm，
∴OM＝＝＝12（cm），
∴CM＝CO+OM＝25（cm），
∴AC＝＝＝5（cm）．
当点C与点M在点O的同侧时，AC＝＝（cm）．
故答案为：5或．
13．解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
14．解：当⊙P在射线OA上，设⊙P与CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．
∵⊙P与直线CD相切，
∴∠OEM＝90°，
在直角△OPM中，ME＝1cm，∠POE＝30°，
∴OM＝2ME＝2cm，
则PM＝OP﹣OM＝6﹣2＝4（cm），
当⊙P在射线OB上，同理可得PM＝OP+OM＝6+2＝8（cm），
∴圆心P的运动时间为4s或8s．
故答案为：4s或8s．
15．解：由图形可知，扇形ADB的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADB的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+×π×22﹣42
＝4π+2π﹣16
＝6π﹣16，
故答案为：6π﹣16．
16．解：连接BF、AF，
∵OC＝CF，
∴∠FOC＝∠CFO，
设∠FOC＝∠CFO＝α，则∠FCB＝∠FOC+∠CFO＝2α，
∵四边形AEFC是平行四边形，
∴EF∥AB，AE∥CF，
∴∠A＝∠FCB＝2α，∠EFA＝∠FAB，
∴＝，
∴＝（都加上），
∴∠B＝∠A＝2α，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠B＝2α，
在△OFB中，∠OFB+∠B+∠FOC＝180°，
即2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
即∠FOC＝36°，
故答案为：36°．
17．解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4，
∵d＝4＜r＝5，
∴y轴与⊙P相交，
故答案为：相交．
18．解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
19．解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠CFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
20．解：过点O作OC⊥AB于C，连接OP、OQ，
当r＝OC时，⊙O与直线AB只有一个公共点，
在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，
∴AB＝2OB＝8，
由勾股定理得：OA＝＝＝4，
在Rt△AOC中，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝2，即r＝2时，⊙O与直线AB只有一个公共点；
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，PQ＝＝，
则当OP最小时，PQ有最小值，
∴PQ的最小值＝＝3，
故答案为：2；3．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵OC⊥AB，
∴＝，
∵∠AEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；
（2）∵OC⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝OC＝2OD，
∴OD＝CD＝4，
∴OB＝8，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝ABD＝8．
22．（1）证明：如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
∵EF经过⊙O的半径OD的外端，且EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线．
（2）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠OAH＝∠BAC＝30°，
∵OH⊥AD于点H，
∴∠OHA＝90°，
∵OA＝6，
∴OH＝OA＝3，
∴AH＝＝3，
∴AH的长为3．
23．（1）证明：如图1，连接OC，则OC＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CG是⊙O的切线，BD⊥CG，
∴∠OCD＝∠BDC＝90°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠OBD．
（2）解：∵BD＝3，BC＝5，∠BDC＝90°，
∴CD＝4，
过点B作BH⊥OC于点H，则四边形BDCH为矩形，
∴CH＝BD＝3，BH＝CD＝4，
设OC＝OB＝r，则OH＝OC﹣CH＝r﹣3，
在Rt△OHB中，OH2+BH2＝OB2，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝2×＝．
24．（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，
∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
25．证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝CE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵AE＝AE，CE＝EP，
∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
26．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AC∥OM，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC为中位线，
∴OD＝AC；
（2）证明：如图所示：连接OC，
∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠BOM＝∠COM，
在△OCM与△OBM中，
，
∴△OCM≌△OBM（SAS），
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM＝∠OBM＝90°，
∴MC是⊙O的切线；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠APB＝90°，
∵OB＝，
∴AB＝15，
∴PA＝PB＝，
∵BC＝12，
∴AC＝9，
过点A作AH⊥PC于点H，
∵AC＝2OD＝9，∠ACH＝∠ABP＝45°，
∴AH＝CH＝，，
∴PC＝PH+CH＝．
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．如图⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长取值范围是（ ）
A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5
2．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD＝OB，则∠BAC＝（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
3．如图，已知⊙O的半径为2，AC与⊙O相切，连接AO并延长，交⊙O于点B，过点C作CD⊥AB，交⊙O于点D，连接BD，若∠A＝30°，则弦BD的长为（ ）
A．3 B．5 C． D．
4．已知扇形半径是9cm，弧长为4πcm，则扇形的圆心角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．已知⊙O的半径为2，点P为⊙O内一定点，且PO＝1．过点P作⊙O的弦，其中最短的弦的长度是（ ）
A．4 B． C．2 D．2
6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC、BD为其对角线，过点D作DE⊥DB．交BC的延长线于点E，CD平分∠ACE，若AD＝3，DE＝2，则BE的长为（ ）
A．4 B． C． D．6
7．如图，弦AB所对的圆心角为80°，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．40° B．140° C．40°或140° D．不确定
8．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．75°
9．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝30°，CD＝2，则AC等于（ ）
A．6 B．4 C．2 D．3
10．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（ ）
A．2.5 B．2.4 C．2.2 D．1.2
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ADC＝150°，弦AC＝2，则⊙O的半径等于 ．
12．已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M．若AB＝10cm，CD＝26cm，则AC的长为 cm．
13．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 ．
14．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 ．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ ．
16．如图，AB是⊙O的直径，四边形ACFE是平行四边形，点E，F在圆上，点C是OB上一点，且OC＝CF，则∠FOC的度数是 ．
17．平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），半径为5，那么⊙P与y轴的位置关系是 ．
18．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为 ．
19．如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ °．
20．如图，在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，⊙O的半径为r，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（其中点Q为切点）．当⊙O与直线AB只有一个公共点时，r＝ ；当r＝时，线段PQ长度的最小值为 ．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．如图，AB是⊙O的一条弦，过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，点E在⊙O上，且∠AEC＝30°，连接OB．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若CD＝4，求AB的长．
22．如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝60°，⊙O的半径为6，过点O作OH⊥AD，交AD于点H，求AH的长度．
23．如图，AB是⊙O直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交⊙O于点E，连接CB．
（1）求证：CB平分∠ABD；
（2）若BC＝5，BD＝3，求AB长．
24．已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F．
（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E．
（2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，过点C作CG⊥AB，垂足为G，交AE于点F，过点E作EP⊥AB，垂足为P，∠EAD＝∠DEB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若CE＝EP，CG＝12，AC＝15，求四边形CFPE的面积．
26．如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．
（1）求证：OD＝AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若OB＝，BC＝12，连接PC，求PC的长．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：过点O作OH⊥AB于H，连接OB，
则AH＝HB＝AB＝4，
在Rt△OBH中，OH＝＝＝3，
∴线段OP长的取值范围是3≤OP≤5，
故选：B．
2．解：如图，连接OC．
∵CD＝OB，OB＝OC＝OD，
∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠BDC＝60°，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°，
故选：C．
3．解：AB交CD于E，交⊙O于F，连接OC、OD，如图，
∵AC与⊙O相切，
∴OC⊥AC，
∴∠OCA＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∵CD⊥AB，
∴＝，DE＝CE，
∴∠DOF＝∠COF＝60°，
∴∠B＝∠DOF＝30°，
在Rt△OCE中，∵OE＝OC＝1，
∴CE＝OE＝，
∴DE＝，
在Rt△BDE中，BD＝2DE＝2．
故选：C．
4．解：根据弧长公式＝＝4π，
解得：n＝80，
故选：D．
5．解：当过P的弦与OP垂直时，此时的弦长最短，连接OA，
利用垂径定理得到P为AB的中点，即AP＝AB，
在Rt△AOP中，OA＝2，OP＝1，
根据勾股定理得：AP＝＝＝，
则过点P最短的弦长AB＝2．
故选：C．
6．解：∵∠DCE是△DCB的外角，∠CDB＝∠CAB，∠CBD＝∠CAD，
∴∠DCE＝∠CAB+∠CAD＝∠DAB，
∵∠DCA与∠DBA共弧，CD平分∠ACE，
∴∠DBA＝∠DCA＝∠DCE＝∠DAB，
∴AD＝DB＝3，
∵DE⊥DB．DE＝2，
∴BE＝＝．
故选：B．
7．解：如图，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵∠AOB和∠ACB都对，
∴∠ACB＝∠AOB＝×80°＝40°，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ADB＝180°﹣40°＝140°，
即弦AB所对的圆周角的度数为40°或140°．
故选：C．
8．解：如图，连接OA，OC，
∵ABCDE是正五边形，
∴∠AOC＝×2＝144°，
∴∠APC＝∠AOC＝72°，
故选：C．
9．解：如图，连接OC，
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵∠D＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴∠D＝∠OAC，
∴AC＝CD＝2，
故选：C．
10．解：如图，作CP⊥AB于点P，
当C、O、P在同一条直线上时半径最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
∵S△ABC＝AB CP＝AC BC，
即5CP＝3×4，
解得：CP＝，
即半径最小值为：1.2，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：连接OA，OC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴OA＝AC＝2，
即⊙O的半径为2．
故答案为：2．
12．解：当点C与点M在点O的两侧时，连接OC.
∵CD⊥AB，AB＝10cm，
∴AM＝BM＝AB＝5（cm），
∵CD＝26cm，
∴OA＝13cm，
∴OM＝＝＝12（cm），
∴CM＝CO+OM＝25（cm），
∴AC＝＝＝5（cm）．
当点C与点M在点O的同侧时，AC＝＝（cm）．
故答案为：5或．
13．解：x2﹣7x+12＝0，
（x﹣3）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝3，x2＝4，
①当直角边分别为3，4时，
斜边为：＝5，
此时直角三角形外接圆的直径为5，
②当直角边为3，斜边为4时，
此时直角三角形外接圆直径为4．
故答案为4或5．
14．解：当⊙P在射线OA上，设⊙P与CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．
∵⊙P与直线CD相切，
∴∠OEM＝90°，
在直角△OPM中，ME＝1cm，∠POE＝30°，
∴OM＝2ME＝2cm，
则PM＝OP﹣OM＝6﹣2＝4（cm），
当⊙P在射线OB上，同理可得PM＝OP+OM＝6+2＝8（cm），
∴圆心P的运动时间为4s或8s．
故答案为：4s或8s．
15．解：由图形可知，扇形ADB的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADB的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+×π×22﹣42
＝4π+2π﹣16
＝6π﹣16，
故答案为：6π﹣16．
16．解：连接BF、AF，
∵OC＝CF，
∴∠FOC＝∠CFO，
设∠FOC＝∠CFO＝α，则∠FCB＝∠FOC+∠CFO＝2α，
∵四边形AEFC是平行四边形，
∴EF∥AB，AE∥CF，
∴∠A＝∠FCB＝2α，∠EFA＝∠FAB，
∴＝，
∴＝（都加上），
∴∠B＝∠A＝2α，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠B＝2α，
在△OFB中，∠OFB+∠B+∠FOC＝180°，
即2α+2α+α＝180°，
解得：α＝36°，
即∠FOC＝36°，
故答案为：36°．
17．解：∵⊙P的圆心坐标为（﹣4，﹣5），
∴⊙P到y轴的距离d为4，
∵d＝4＜r＝5，
∴y轴与⊙P相交，
故答案为：相交．
18．解：连接OP，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝5，MQ＝12，
∴OM＝13，
又∵MP′＝4，
∴OP′＝9，
∴AB＝2OP′＝18，
故答案是：18．
19．解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠CFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
20．解：过点O作OC⊥AB于C，连接OP、OQ，
当r＝OC时，⊙O与直线AB只有一个公共点，
在Rt△ABC中，OB＝4，∠A＝30°，
∴AB＝2OB＝8，
由勾股定理得：OA＝＝＝4，
在Rt△AOC中，∠A＝30°，
∴OC＝OA＝2，即r＝2时，⊙O与直线AB只有一个公共点；
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
在Rt△OPQ中，PQ＝＝，
则当OP最小时，PQ有最小值，
∴PQ的最小值＝＝3，
故答案为：2；3．
三．解答题（共6小题，满分60分）
21．解：（1）∵OC⊥AB，
∴＝，
∵∠AEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠AEC＝60°；
（2）∵OC⊥AB，
∴∠BDO＝90°，
∵∠BOC＝60°，
∴∠OBD＝30°，
∴OB＝OC＝2OD，
∴OD＝CD＝4，
∴OB＝8，
∴BD＝＝＝4，
∴AB＝ABD＝8．
22．（1）证明：如图，连接OD，则OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
∵EF经过⊙O的半径OD的外端，且EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切线．
（2）∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠OAH＝∠BAC＝30°，
∵OH⊥AD于点H，
∴∠OHA＝90°，
∵OA＝6，
∴OH＝OA＝3，
∴AH＝＝3，
∴AH的长为3．
23．（1）证明：如图1，连接OC，则OC＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CG是⊙O的切线，BD⊥CG，
∴∠OCD＝∠BDC＝90°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴BC平分∠OBD．
（2）解：∵BD＝3，BC＝5，∠BDC＝90°，
∴CD＝4，
过点B作BH⊥OC于点H，则四边形BDCH为矩形，
∴CH＝BD＝3，BH＝CD＝4，
设OC＝OB＝r，则OH＝OC﹣CH＝r﹣3，
在Rt△OHB中，OH2+BH2＝OB2，
∴（r﹣3）2+42＝r2，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝2×＝．
24．（1）证明：如图1中，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠CAF＝∠AEO，
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠BAC＝2∠E；
（2）解：如图2中，
∵OF⊥AB，OA＝OB，
∴FA＝FB，
∴∠FAB＝∠FBA，
∵∠CAF＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，
∴∠AOE＝120°，
∴∠FOE＝∠E＝30°，
∴FO＝EF，
∵FD⊥OE，
∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4，
∴AE＝AF+EF＝4+2＝6．
25．证明：（1）连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ADE，
∵AD是直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
又∵∠DEB＝∠EAD，
∴∠DEB+∠OED＝90°，
∴∠BEO＝90°，
∴OE⊥BC，
∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）连接PF，
∵CG＝12，AC＝15，
∴AG＝＝＝9，
∵AC⊥CE，EP⊥AB，CE＝EP，
∴∠CAE＝∠EAO，
∴∠AEC＝∠AFG＝∠CFE，
∴CF＝CE，
∴CF＝PE，
∵CG⊥AB，EP⊥AB，
∴CF∥EP，
∴四边形CFPE是平行四边形，
又∵CF＝CE，
∴四边形CFPE是菱形，
∴CF＝EP＝CE＝PF，
∵AE＝AE，CE＝EP，
∴Rt△ACE≌Rt△APE（HL），
∴AP＝AC＝15，
∴PG＝AP﹣AG＝15﹣9＝6，
∵PF2＝FG2+GP2，
∴CF2＝（12﹣CF）2+36，
∴CF＝，
∴四边形CFPE的面积＝CF×GP＝×6＝45．
26．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵AC∥OM，
∴∠BDO＝∠ACB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC为中位线，
∴OD＝AC；
（2）证明：如图所示：连接OC，
∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠BOM＝∠COM，
在△OCM与△OBM中，
，
∴△OCM≌△OBM（SAS），
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM＝∠OBM＝90°，
∴MC是⊙O的切线；
（3）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠APB＝90°，
∵OB＝，
∴AB＝15，
∴PA＝PB＝，
∵BC＝12，
∴AC＝9，
过点A作AH⊥PC于点H，
∵AC＝2OD＝9，∠ACH＝∠ABP＝45°，
∴AH＝CH＝，，
∴PC＝PH+CH＝．