(共13张PPT)
第一章 整式的乘除
7 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
北师版 七年级下
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1
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D
5
系数；同底数幂；因式；连同它的指数一起
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9
C
见习题
见习题
D
C
C
A
1．单项式相除，把________、_________分别相除后，作为商的__________；对于只在被除式里含有的字母，则________________作为商的一个因式．
系数
同底数幂
因式
连同它的指数一起
2．【教材P28例1变式】【2021·重庆】计算3a6÷a的结果是( )
A．3a6 B．2a5 C．2a6 D．3a5
D
3．【2021·营口】下列计算正确的是( )
A．2a＋3b＝5ab B．5a3b÷ab＝5a2b
C．(2a＋b)2＝4a2＋b2 D．(－2a2b3)3＝－8a6b9
C
4．【2021·聊城】下列运算正确的是( )
A．a2·a4＝a8
B．－a(a－b)＝－a2－ab
C．(－2a)2÷(2a)－1＝8a3
D．(a－b)2＝a2－b2
C
5．若28a3bm÷28anb2＝b2，则m，n的值分别为( )
A．4，3 B．4，1
C．1，3 D．2，3
A
6．下列算式中，不正确的是( )
A．(－12a5b)÷(－3ab)＝4a4
B．9xmyn－1÷ xm－2yn－3＝27x2y2
C
D．x(x－y)2÷(y－x)＝－x(x－y)
C
7．【教材P30习题T4变式】地球的体积约为1012 km3，太阳的体积约为1.4×1018 km3，太阳的体积约是地球体积的( )
A．14×106倍 B．14×107倍
C．1.4×106倍 D．1.4×107倍
【点拨】1.4×1018÷1012＝1.4×1018－12＝1.4×106，即太阳的体积约是地球体积的1.4×106倍，故选C.
C
8．(1)【教材P29习题T2变式】先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－
解：原式＝4－a2＋a2－5ab＋3a5b3÷a4b2＝4－5ab＋3ab＝4－2ab.
(2)若n为正整数，且a2n＝3，求(3a3n)2÷27a4n的值．
9．观察一列单项式：x，－2x2，4x3，－8x4，16x5，….
(1)从第二个单项式起，计算一下这里任意一个单项式除以它前面相邻的一个单项式的商，你有什么发现？
解：－2x2÷x＝－2x，4x3÷(－2x2)＝－2x，－8x4÷4x3＝－2x，16x5÷(－8x4)＝－2x，…
发现：后一个单项式除以它前面相邻的一个单项式的结果均为－2x.
(2)根据你发现的规律写出第n个单项式．
解：第n个单项式为(－2)n－1xn.(共24张PPT)
第一章 整式的乘除
4 整式的乘法
第3课时 多项式与多项式相乘
北师版 七年级下
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D
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每一项；每一项；相加
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D
A
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B
C
B
B
D
见习题
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见习题
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见习题
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见习题
见习题
见习题
1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的________乘另一个多项式的________，再把所得的积________．
每一项
每一项
相加
2．计算(2x－3)(3x＋4)的结果是( )
A．－7x＋4 B．－7x－12
C．6x2－12 D．6x2－x－12
D
3．下列计算错误的是( )
A．(x＋1)(x＋4)＝x2＋5x＋4
B．(m－2)(m＋3)＝m2＋m－6
C．(y＋4)(y－5)＝y2＋9y－20
D．(x－3)(x－6)＝x2－9x＋18
C
4．下列多项式相乘的结果为m2－7m＋12的是( )
A．(m－3)(m＋4)
B．(m－3)(m－4)
C．(m＋3)(m－4)
D．(m＋3)(m＋4)
B
5．【教材P18例3变式】计算：
(1)(3x＋4)(2x－1)；
解：原式＝6x2＋8x－3x－4＝6x2＋5x－4.
(2)(2x－3y)(x＋5y)；
(3)(x＋7)(x－6)－(x－2)(x＋1)．
原式＝2x2＋10xy－3xy－15y2＝2x2＋7xy－15y2.
原式＝x2＋x－42－x2＋x＋2＝2x－40.
6．已知m＋n＝2，mn＝－2，则(2－m)(2－n)的值为( )
A．2 B．－2 C．0 D．3
【点拨】(2－m)(2－n)＝4－2(m＋n)＋mn.因为m＋n＝2，mn＝－2，所以原式＝4－4－2＝－2.
B
7．若(x＋y＋2)(x＋y－1)＝0，则x＋y的值为( )
A．1 B．－2
C．2或－1 D．－2或1
【点拨】因为(x＋y＋2)(x＋y－1)＝0，所以x＋y＋2＝0或x＋y－1＝0，解得x＋y＝－2或x＋y＝1.
D
8．若(x＋4)(x－3)＝x2＋ax＋b，则a，b的值是( )
A．a＝－1，b＝－12 B．a＝1，b＝－12
C．a＝－1，b＝12 D．a＝1，b＝12
B
9．已知多项式x2＋ax＋b与x2－2x－3的乘积中不含x3与x2项，则a，b的值为( )
A．a＝2，b＝7 B．a＝－2，b＝－3
C．a＝3，b＝7 D．a＝3，b＝4
A
10．如果一个长方形的长为(4a2－2a＋1)，宽为(2a＋1)，则这个长方形的面积为( )
A．8a3－4a2＋2a－1 B．8a3＋4a2－2a－1
C．8a3－1 D．8a3＋1
D
11．【教材P35复习题T14改编】根据几何图形的面积关系可以说明一些等式．例如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2，就可以用图①的面积关系来说明．
(1)根据图②写出一个等式：____________________________.
(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2
【点拨】仿照例子可以看出，根据整个图形的面积等于各部分面积的和列式；
(2)已知等式(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，请你画出一个相应的几何图形加以说明(仿照图①或图②画出图形即可)．
解：(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3，相应的几何图形如图所示．
【点拨】画出两边长分别为x＋1和x＋3的长方形，利用数形结合进行解答．
12．(1)【教材P34复习题T7变式】先化简，再求值：(x＋2y)(2x＋y)－(3x－y)(x＋2y)，其中x＝9，y＝ .
解：原式＝2x2＋xy＋4xy＋2y2－(3x2＋6xy－xy－2y2)＝－x2＋4y2.
当x＝9，y＝ 时，－x2＋4y2＝－92＋4× ＝－80.
(2)【中考·漳州】先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a，再根据化简结果，你发现该式子的值与a的取值有什么关系？
解：原式＝a2－a＋a－1＋a－a2－a＝－1.
该式子的值与a的取值无关．
13．【教材P19习题T3拓展】已知(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式中不含x3和x2项．
(1)求m，n的值；
解：(x3＋mx＋n)(x2－3x＋4)＝x5－3x4＋(m＋4)x3＋(n－3m)x2＋(4m－3n)x＋4n.
根据展开式中不含x2和x3项，得m＋4＝0，n－3m＝0，解得m＝－4，n＝－12.
(2)在(1)的条件下，求(m＋n)(m2－mn＋n2)的值．
解：(m＋n)(m2－mn＋n2)＝m3－m2n＋mn2＋m2n－mn2＋n3＝m3＋n3.
当m＝－4，n＝－12时，
原式＝(－4)3＋(－12)3＝－64－1 728＝－1 792.
所以(x＋1)(x－1)－(x－2)(x＋3)＝0，
x2－1－(x2＋x－6)＝0，
x2－1－x2－x＋6＝0，
－x＝－5，
x＝5.
15．在一次测试中，甲同学计算一道整式乘法题目：(2x＋a)(3x－a)，由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2－10x＋4.
(1)试求出式子中a的值；
【点拨】本题先求出多项式与多项式相乘的积，再利用待定系数法找到对应的系数，从而求出a的值．
解：由题意得，甲所计算的式子为(2x－a)(3x－a)＝6x2－(2a＋3a)x＋a2＝6x2－5ax＋a2＝6x2－10x＋4，
所以5a＝10，则a＝2.
(2)请你计算出这道题的正确结果．
解：由(1)得(2x＋a)(3x－a)＝(2x＋2)(3x－2)＝6x2＋2x－4.(共23张PPT)
2 幂的乘方与积的乘方
第2课时 积的乘方
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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B
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乘方；相乘；anbn
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B
C
D
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B
C
D
(ab)n
见习题
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见习题
14
15
见习题
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见习题
见习题
见习题
1．积的乘方等于把积的每一个因式分别________，再把所得的幂________．用式子表示为(ab)n＝________(n为正整数)．
乘方
相乘
anbn
2．【2021·黄石】计算(－5x3y)2正确的是( )
A．25x5y2 B．25x6y2
C．－5x3y2 D．－10x6y2
B
3．【教材P8习题T3变式】【2021·通辽】下列计算正确的是( )
A．x2＋x3＝x5 B．2x3－x3＝1
C．x3·x4＝x7 D．(－2xy2)3＝－6x3y6
C
4．【教材P8习题T2变式】【中考·青岛】计算a·a5－(2a3)2的结果为( )
A．a6－2a5 B．－a6
C．a6－4a5 D．－3a6
D
5．【教材P8习题T5变式】若一个正方体的棱长为2×10－2 m，则这个正方体的体积为( )
A．6×10－6 m3 B．8×10－6 m3
C．2×10－6 m3 D．8×106 m3
B
6．逆用法则法：anbn＝________(n为正整数)．逆用积的乘方法则可以使计算简便，但要把握特征：①指数相同；②乘法运算．
(ab)n
C
8．下列计算正确的是( )
B
【答案】D
11．下面是小明完成的一道作业题：
小明的作业
计算：(－4)7×0.257.
解：(－4)7×0.257＝(－4×0.25)7＝
(－1)7＝－1.
请你参考小明的方法计算下面各题：
(1)82 023×(－0.125)2 023；
解：原式＝(－8×0.125)2 023＝(－1)2 023＝－1；
12．【教材P8习题T2变式】计算：
(1)【中考·武汉】(2x2)3－x2·x4；
解：原式＝8x6－x6＝7x6；
(2)(－3x3)2－[(－2x)2]3；
(3)(－2a3)4＋a6·(－2a2)3－3a6·(a2)3;
原式＝9x6－(4x2)3＝9x6－64x6＝－55x6；
原式＝16a12＋a6·(－8a6)－3a6·a6＝16a12－8a12－3a12＝5a12；
(5)[2(a－b)3]2＋[(a－b)2]3－[－(a－b)2]3.
原式＝4(a－b)6＋(a－b)6＋(a－b)6＝6(a－b)6.
(x3n)3＋(y2n)2－(x3y2)n＝(x3n)3＋(y2n)2－x3ny2n.
把x3n＝2，y2n＝3代入上式，得原式＝23＋32－2×3＝8＋9－6＝11；
解：(x2y)2n＝x4n·y2n＝(xn)4·(yn)2＝24×32＝16×9＝144；
13．(1)已知xn＝2，yn＝3，求(x2y)2n的值．
(2)已知x3n＝2，y2n＝3，求(x3n)3＋(y2n)2－(x3y2)n的值．
(3)已知n是正整数，且xn＝5，yn＝3.
①(xy)n＝____________；
②(xy)2n＝____________；
③求(xy)2n－(x2y)n的值．
15
225
由②知(xy)2n＝225，因为(x2y)n＝x2n·yn＝(xn)2·yn＝52×3＝75，所以(xy)2n－(x2y)n＝225－75＝150.
14．(1)如果(anbm)3＝a9b15，那么( )
A．m＝3，n＝6 B．m＝5，n＝3
C．m＝12，n＝3 D．m＝9，n＝3
B
(2)已知2x＋3·3x＋3＝62x－4，求x的值．
(3)已知(xa＋1yb＋1)5＝x10y15，求3a(b＋1)的值．
解：因为2x＋3·3x＋3＝6x＋3＝62x－4，
所以x＋3＝2x－4.所以x＝7.
因为(xa＋1yb＋1)5＝x5a＋5y5b＋5＝x10y15，
所以5a＋5＝10，5b＋5＝15，
所以a＝1，b＝2.
所以3a(b＋1)＝3×1×(2＋1)＝9.
15．已知a＝5，b＝－ ，n为正整数，求a2n＋2·b2n·b4的值．(共15张PPT)
4 整式的乘法
第2课时 单项式与多项式相乘
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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D
5
每一项；相加；单项式；单项式
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B
见习题
A
D
A
D
10
见习题
1．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的__________，再把所得的积______；其实质是将单项式与多项式相乘转化为________与________相乘．
每一项
相加
单项式
单项式
2．【2021·恩施州】下列运算正确的是( )
A．7a3－3a2＝4a
B．(a2)3＝a5
C．a6÷a3＝a2
D．－a(－a＋1)＝a2－a
D
3．下列计算正确的是( )
A．(－2a)·(3ab－2a2b)＝－6a2b－4a3b
B．2ab2·(－a2＋2b2－1)＝－4a3b4
C．abc·(3a2b－2ab2)＝3a3b2－2a2b3
D．(ab)2·(3ab2－c)＝3a3b4－a2b2c
D
4．【教材P17习题T1变式】计算x(y－z)－y(z－x)＋z(x－y)的结果正确的是( )
A．2xy－2yz B．－2yz
C．xy－2yz D．2xy－xz
A
5．【2020·岳阳】已知x2＋2x＝－1，则代数式5＋x(x＋2)的值为________．
4
6．若2x(x－2)＝ax2＋bx，则( )
A．a＝1，b＝2 B．a＝2，b＝－2
C．a＝2，b＝4 D．a＝2，b＝－4
D
7．若ab2＝－6，则－ab(a2b5－ab3－b)的值为( )
A．216 B．246
C．－216 D．174
【点拨】－ab(a2b5－ab3－b)＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2＝－(－6)3＋(－6)2－6＝216＋36－6＝246.故选B.
B
8．a2(－a＋b－c)与－a(a2－ab＋ac)的关系是( )
A．相等
B．互为相反数
C．前式是后式的－a倍
D．前式是后式的a倍
A
9．【教材P16例2变式】计算：
(1)【中考·淮安】ab(3a－2b)＋2ab2；
解：原式＝3a2b－2ab2＋2ab2＝3a2b；
10．(1)当m，n为何值时， x[x(x＋m)＋nx(x＋1)＋m]的展开式中不含x2项和x3项？
【点拨】化简原式后，根据已知条件知x2和x3项的系数为0，建立关于待定字母的方程求解．
因为它不含x2项和x3项，所以1＋n＝0，m＋n＝0.
解得n＝－1，m＝1.
故当m＝1，n＝－1时，原式的展开式中不含x2项和x3项．
(2)已知(m－x)·(－x)＋n(x＋m)＝x2＋5x－6对于任意数x都成立，求m(n－1)＋n(m＋1)的值．
【点拨】将整式整理后找出n－m和mn的值，再整体代入即可求出．
解：(m－x)·(－x)＋n(x＋m)＝－mx＋x2＋nx＋mn＝x2＋(n－m)x＋mn＝x2＋5x－6，则n－m＝5，mn＝－6.
则m(n－1)＋n(m＋1)＝2mn＋(n－m)＝2×(－6)＋5＝－7.(共21张PPT)
第一章 整式的乘除
素养集训
2．巧用乘法公式的八种常见技巧
北师版 七年级下
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．已知a－b＝5，ab＝4.
(1)求3a2＋3b2的值；
解：3a2＋3b2＝3(a2＋b2)＝3[(a－b)2＋2ab]＝3×(52＋2×4)＝3×33＝99.
(2)求(a＋b)2的值．
由(1)可知a2＋b2＝33，所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝33＋2×4＝41.
2．已知(x＋y)2＝49，(x－y)2＝1.
解：由题意知(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝49，即x2＋y2＝49－2xy，①
(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝1，即x2＋y2＝1＋2xy.②
(2)求xy的值．
(1)求x2＋y2的值；
由①＋②得2(x2＋y2)＝50，所以x2＋y2＝25.
由①－②得0＝48－4xy，所以xy＝12.
3．【教材P34复习题T9变式】计算：
(1)2012－198×202；
解：原式＝(200＋1)2－(200－2)×(200＋2)＝2002＋400＋1－2002＋4＝405；
解：296－1
＝(248＋1)(248－1)
＝(248＋1)(224＋1)(224－1)
＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(212－1)
＝(248＋1)(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．
因为26＋1＝65，26－1＝63，65和63都在60至70之间，
所以296－1能被60至70之间的65和63整除．
4．296－1可以被60至70之间的哪两个整数整除？
5．观察下列各式：
(x－1)(x＋1)＝x2－1；
(x－1)(x2＋x＋1)＝x3－1；
(x－1)(x3＋x2＋x＋1)＝x4－1；
(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)＝x5－1；
…
(1)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值；
解：26＋25＋24＋23＋22＋2＋1
＝(2－1)(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)
＝27－1
＝128－1
＝127.
(2)判断22 022＋22 021＋…＋2＋1的值的个位数字．
解：22 022＋22 021＋…＋2＋1
＝(2－1)(22 022＋22 021＋…＋2＋1)
＝22 023－1.
因为21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…，
所以2n的值的个位数字依次为2，4，8，6，2，4，8，6，…，每4个为一个循环．
因为2 023÷4＝505……3，
所以22 023的个位数字为8.
所以22 023－1的个位数字为7，即22 022＋22 021＋…＋2＋1的值的个位数字为7.
7．探究应用．
(1)计算：
①(a－2)(a2＋2a＋4)；
解：(a－2)(a2＋2a＋4)
＝a3＋2a2＋4a－2a2－4a－8
＝a3－8.
②(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)；
(2x－y)(4x2＋2xy＋y2)
＝8x3＋4x2y＋2xy2－4x2y－2xy2－y3
＝8x3－y3.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，通过观察写出一个新的乘法公式：__________________________(请用含a，b的等式表示)；
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是( )
A．(a－3)(a2－3a＋9)
B．(2m－n)(2m2＋2mn＋n2)
C．(4－x)(16＋4x＋x2)
D．(m－n)(m2＋2mn＋n2)
(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3.
C
(4)直接用公式计算下列各式：
①(3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)；
②(2m－3)(4m2＋6m＋9)．
解：(3x－2y)(9x2＋6xy＋4y2)
＝27x3－8y3.
(2m－3)(4m2＋6m＋9)＝8m3－27.
8．先阅读材料，再尝试解决问题．
完全平方公式(x±y)2＝x2±2xy＋y2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2x2＋12x－4的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式＝2(x2＋6x－2)＝2(x2＋6x＋9－9－2)＝2[(x＋3)2－11]＝2(x＋3)2－22.
因为无论x取什么数，(x＋3)2的值都为非负数，
所以(x＋3)2的最小值为0，此时x＝－3，
进而可知2(x＋3)2－22的最小值是－22.
所以当x＝－3时，原多项式的最小值是－22.
请根据上面的解题思路，探求多项式3x2－6x＋12的最小值是多少，并写出相应的x的值．
解：原式＝3(x2－2x＋4)＝3(x2－2x＋1－1＋4)＝3(x－1)2＋9.
因为无论x取什么数，(x－1)2的值都为非负数，
所以(x－1)2的最小值为0，
此时x＝1.
所以3(x－1)2＋9的最小值为3×0＋9＝9.
所以当x＝1时，原多项式的最小值是9.
9．【教材P35复习题T16拓展】【中考·河北】发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 (1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？
解：(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3，故(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍．
(2)设五个连续整数的中间一个数为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
解：若五个连续整数的中间一个数为n，则其余的四个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2，
它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10.
因为5n2＋10＝5(n2＋2)，n是整数，所以n2＋2是整数．
所以五个连续整数的平方和是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
解：余数是2.理由：设三个连续整数的中间一个数为m，则其余的两个整数是m－1，m＋1，它们的平方和为(m－1)2＋m2＋(m＋1)2＝m2－2m＋1＋m2＋m2＋2m＋1＝3m2＋2.
因为m是整数，所以m2是整数．所以任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.(共11张PPT)
素养集训
1．幂的运算的五个常见误区
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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1
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4
D
5
B
6
7
见习题
见习题
见习题
B
见习题
1．【2021·襄阳】下列计算正确的是( )
A．a3÷a3＝a
B．a3·a3＝a6
C．(a3)3＝a6
D．(ab3)2＝ab6
B
2．【2021·常德】下列计算正确的是( )
A．a3·a2＝a6
B．a2＋a2＝a4
C．(a3)2＝a5
D. ＝a(a≠0)
D
3．【教材P6习题T2变式】计算：
(1)(－a2)3；
解：(－a2)3＝－a6；
(2)[(－a)2]3；
(3)－a·(－a3)2；
(4)a·(－a)2·(－a)7.
[(－a)2]3＝(a2)3＝a6；
－a·(－a3)2＝－a·a6＝－a7；
a·(－a)2·(－a)7＝a·a2·(－a7)＝－a10.
【点拨】进行幂的运算时，除了法则和运算顺序外，还要特别注意符号．
4．下列计算正确的是( )
A．3ab－2ab＝1
B．(3a2)2＝9a4
C．a6÷a2＝a3
D．a3·a＝a3
【点拨】计算a3·a时，不要漏掉a的指数1.
B
5．【教材P34复习题T5变式】化简：
(1)(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y)；
【点拨】当底数是多项式时，应把其看作一个整体，利用整体思想计算．
(2)(a－b)9÷(b－a)4÷(a－b)3.
解：原式＝(x＋y)5÷(x＋y)2÷(x＋y)＝(x＋y)2；
原式＝(a－b)9÷(a－b)4÷(a－b)3
＝(a－b)2.
6．(1)若3x＋2y－3＝0，求27x·9y的值；
解：27x·9y＝(33)x·(32)y＝33x·32y＝33x＋2y.
因为3x＋2y－3＝0，所以3x＋2y＝3.
所以27x·9y＝33x＋2y＝33＝27.
【点拨】27x和9y的底数不同，看似无法计算，但是可逆用幂的乘方法则，转化为相同的底数，化简后整体代入即可求解．
(2)已知3m＝81，9n＝729，求32m－4n＋1的值．
【点拨】逆用幂的运算法则，将原式转化为含3m和9n的式子，代入求值即可．
解：32m－4n＋1＝32m÷34n×3＝(3m)2÷(32n)2×3＝(3m)2÷(9n)2×3＝812÷7292×3＝
7．已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，xd＝18.
(1)试说明：①a＋c＝2b；②a＋b＝d；
解：①因为xa＝3，xc＝12，
所以xa·xc＝3×12＝62.
因为xb＝6，所以x2b＝62. 所以xa＋c＝x2b，所以a＋c＝2b.
②因为xa＝3，xb＝6，xd＝18，
所以xa·xb＝3×6＝18＝xd，
所以xa＋b＝xd.所以a＋b＝d.
(2)求x2a－b＋c的值．
解：由(1)知a＋c＝2b，a＋b＝d.
所以2a＋b＋c＝2b＋d，
所以2a－b＋c＝d，
所以x2a－b＋c＝xd＝18.(共25张PPT)
第一章 整式的乘除
6 完全平方公式
第2课时 添括号法则在乘法公式中的应用
北师版 七年级下
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1
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4
(1)“＋”；“－” (2)去括号
5
不改变；改变
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B
[(a＋b)－c]2(答案不唯一)
10
－11
D
C
C
C
C
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B
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见习题
答案显示
见习题
C
见习题
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18
见习题
19
见习题
见习题
见习题
1．添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都________符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要________符号．
不改变
改变
2．添括号的方法：
(1)遇________不变，遇________都变；
(2)添括号是否正确，________来验证．
“＋”
“－”
去括号
3．下列各式添括号正确的是( )
A．－x＋y＝－(y－x)
B．x－y＝－(x＋y)
C．10－m＝5(2－m)
D．3－2a＝－(2a－3)
D
4．下列添括号正确的是( )
A．a－b＋c＝a＋(b＋c)
B．m＋p－q＝m－(p＋q)
C．a－b－c＋d＝a－(b＋c－d)
D．x2－x＋y＝－(x2＋x－y)
C
5．下列去括号或添括号正确的是( )
A．x＋(y－2)＝x＋y＋2
B．x－(y－1)＝x－y－1
C．x－y＋1＝x－(y－1)
D．x＋y－1＝x＋(y＋1)
C
6．将多项式2ab＋9a2－5ab－4a2中的同类项结合在一起，正确的是( )
A．(9a2－4a2)＋(－5ab－2ab)
B．(9a2＋4a2)－(2ab－5ab)
C．(9a2－4a2)＋(2ab－5ab)
D．(9a2－4a2)＋(2ab＋5ab)
C
7．将(－a＋b－1)(a＋b＋1)化为(m＋n)(m－n)的形式为( )
A．[b＋(a＋1)][b－(a－1)]
B．[b＋(a＋1)][b－(a＋1)]
C．[b＋(a＋1)][b－(－a＋1)]
D．[b＋(a＋1)][b－(－a－1)]
B
8．已知m2－m＝6，则1－2m2＋2m的值为________．
－11
9．(a＋b－c)2需要变形为____________才能利用完全平方公式计算．
[(a＋b)－c]2
(答案不唯一)
10．下列运算正确的是( )
A．(－a＋b)(a－b)·a2－b2＝－(a＋b)(a－b)3
B．a3＋a4＝a7
C．a3·a2＝a5
D．23＝6
C
11．为了应用平方差公式计算(x＋2y－1)(x－2y＋1)，下列变形正确的是( )
A．[x－(2y＋1)]2
B．[x＋(2y＋1)]2
C．[x＋(2y－1)][x－(2y－1)]
D．[(x－2y)＋1][(x－2y)－1]
C
12．【教材P26习题T4变式】计算(a－b－c)2的结果是( )
A．a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
B．a2＋b2＋c2－2ab－2ac＋2bc
C．a2－b2－c2－2ab－2ac＋2bc
D．a2－b2－c2＋2ab＋2ac＋2bc
【点拨】(a－b－c)2＝(a－b)2－2(a－b)c＋c2
＝a2－2ab＋b2－2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2－2ab－2ac＋2bc.
B
13．【教材P34复习题T10改编】已知(a＋b)2＝19，ab＝2，
(1)求a2＋b2的值；
解：因为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝19，ab＝2.
所以a2＋b2＋2×2＝19.
所以a2＋b2＝19－4＝15.
(2)求(a－b)2的值．
因为a2＋b2＝15，
所以(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝15－2×2＝11.
14．按要求给多项式5a3b－2ab＋3ab3－2b2添上括号：
(1)把前两项括到带有“＋”的括号里，把后两项括到带有“－”的括号里；
解：5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝＋(5a3b－2ab)－(－3ab3＋2b2)；
(2)把后三项括到带有“－”的括号里；
(3)把四次项括到带有“＋”的括号里，把二次项括到带有“－”的括号里．
5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝5a3b－(2ab－3ab3＋2b2)；
5a3b－2ab＋3ab3－2b2＝＋(5a3b＋3ab3)－(2ab＋2b2)．
15．【教材P27习题T1变式】运用乘法公式计算：
(1)(x－2y－3)2；
解：原式＝[(x－2y)－3]2
＝(x－2y)2－6(x－2y)＋9
＝x2－4xy＋4y2－6x＋12y＋9；
解：原式＝[(2x＋3y)－1][(2x＋3y)＋1]
＝(2x＋3y)2－1
＝4x2＋12xy＋9y2－1.
(3)(2x＋3y－1)(1＋2x＋3y)．
解：由已知得(x＋y)2－1＝63，
即(x＋y)2＝64.
又因为(±8)2＝64，所以x＋y＝±8.
16．已知(x＋y＋1)(x＋y－1)＝63，求x＋y的值．
17．【教材P34复习题T10改编】已知x，y满足(x＋y)2＝1，(x－y)2＝25，求下列各式的值．
(1)x2＋y2；
(2)x4＋y4.
解：因为(x＋y)2＋(x－y)2＝2x2＋2y2＝25＋1.
所以x2＋y2＝13.
因为(x＋y)2－(x－y)2＝4xy＝－24，所以xy＝－6.
x4＋y4＝(x2＋y2)2－2x2y2＝132－2×36＝97.
18．若x－y＝1，化简(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)·(x8＋y8)(x16＋y16)．
解：因为x－y＝1，
所以原式＝(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4)(x8＋y8)(x16＋y16)＝(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)(x8＋y8)(x16＋y16)＝(x4－y4)(x4＋y4)(x8＋y8)(x16＋y16)＝(x8－y8)(x8＋y8)(x16＋y16)＝(x16－y16)(x16＋y16)＝x32－y32.
19．已知：
a2－b2＝(a－b)(a＋b)；
a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；
a4－b4＝(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)；
…，
按此规律，解答下列问题：
(1)a5－b5＝(a－b)(______________________)；
a4＋a3b＋a2b2＋ab3＋b4
(2)若a－ ＝2，你能根据上述规律求出代数式a3－ 的值吗？(共26张PPT)
2 幂的乘方与积的乘方
第1课时 幂的乘方
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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1
2
3
4
B
5
不变；相乘；amn
6
7
8
9
(1)1012 (2)64(或26) (3)(a＋b)10
幂的乘方；同底数幂的乘法
0
10
D
C
C
4×106
见习题
11
12
13
D
14
15
2 021
答案显示
C
①幂的乘方
见习题
16
17
18
见习题
见习题
见习题
1．幂的乘方，底数________，指数________．用式子表示为(am)n＝________(m，n都是正整数)．
不变
相乘
amn
2．【2021·常州】计算(m2)3的结果是( )
A．m5 B．m6
C．m8 D．m9
B
3．【教材P6习题T3变式】【2021·海南】下列计算正确的是( )
A．a3＋a3＝a6
B．2a3－a3＝1
C．a2·a3＝a5
D．(a2)3＝a5
C
4．若(a3)2＝64，则a等于( )
A．2 B．－2
C．±2 D．以上都不对
C
5．【教材P6例1变式】计算：
(1)(103)4＝________；
(2)[(－2)3]2＝________；
(3)[(a＋b)2]5＝________.
1012
64(或26)
(a＋b)10
6．【教材P8随堂练习T2改编】在学校举办的手工制作大赛中，李佳做了一个足球模型．若它的半径是102 mm，则它的体积约为________mm3(π取3)．
4×106
7．幂的乘方与同底数幂的乘法的混合运算：先算____________，再算________________.
幂的乘方
同底数幂的乘法
8．计算(a2)3·a3的结果是( )
A．a2 B．a3
C．a5 D．a9
D
9．【2020·宜昌】数学讲究记忆方法，如计算(a5)2时若忘记了法则，可以借助(a5)2＝a5×a5＝a5＋5＝a10，得到正确答案．你计算(a2)5－a3×a7的结果是________．
0
10．【教材P6习题T2变式】计算：
－[(－x)2]3＝－(x2)3＝－x6；
(2)－[(－x)2]3；
(3)[(－m)2]4·m3;
(4)(a2)3＋a·(－a)5.
[(－m)2]4·m3＝(m2)4·m3＝m8·m3＝m11；
(a2)3＋a·(－a)5＝a6－a6＝0.
11．逆用法则法：amn＝(am)n＝(an)m(m，n都是正整数)．逆用时注意两点：①指数是积的形式方可逆用____________法则；②注意指数中的因式在逆用中可以互换位置，根据需要灵活放置．
幂的乘方
12．【2021·广东】已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝( )
A．1 B．6
C．7 D．12
【点拨】因为9m＝32m＝3，27n＝33n＝4，
所以32m＋3n＝32m×33n＝3×4＝12.
故选D.
D
【点拨】因为10a×100b＝10a×102b＝10a＋2b＝20×50＝1000＝103，所以a＋2b＝3，
所以原式＝(a＋2b＋3)＝×(3＋3)＝3.故选C.
C
14．若x，y均为有理数，43x＝2 021，47y＝2 021，则43xy·47xy＝(________)x＋y.
【点拨】43xy·47xy＝(43x)y·(47y)x＝2 021y×2 021x＝2 021x＋y.
2 021
15．【教材P6习题T2变式】计算：
(1)(－m2)3·m4·m2－m12；
解：原式＝－m6·m4·m2－m12＝－m12－m12＝－2m12；
(2)[(a－b)3]2－[(b－a)2]3；
原式＝(a－b)6－(a－b)6＝0；
(3)(x2)3·x2－(x4)2＋x2·x6；
(4)(a2)9＋(a4·a2)3＋[(a3)2]3.
解：原式＝x6·x2－x8＋x8＝x8；
原式＝a18＋(a6)3＋(a6)3＝a18＋a18＋a18＝3a18.
因为x2n＝4，
所以9(x3n)2－13(x2)2n＝9x6n－13x4n＝9(x2n)3－13(x2n)2＝9×43－13×42＝576－208＝368.
解：因为x2n＝4，
所以xn－3·x3(n＋1)＝xn－3·x3n＋3＝x4n＝(x2n)2＝42＝16.
16．已知n为正整数，且x2n＝4.
(1)求xn－3·x3(n＋1)的值；
(2)求9(x3n)2－13(x2)2n的值．
17．若am＝an(a＞0且a≠1，m，n都是正整数)，则m＝n，利用此结论解决问题．
(1)若2×8x×16x＝222，求x的值；
解：因为2×8x×16x＝2×23x×24x＝27x＋1＝222，所以7x＋1＝22，解得x＝3.
(2)若(125x)2＝56，求x的值．
因为(125x)2＝(53x)2＝56x＝56，所以6x＝6，解得x＝1.
18．逆用幂的乘方法则比较大小有两个技巧．
技巧1 底数比较法
(1)阅读下面的题目及其解题过程：
试比较2100与375的大小．
解：因为2100＝(24)25＝1625，375＝(33)25＝2725，16＜27，
所以2100＜375.
请根据上述解答过程，比较255，344，433的大小．
【点拨】逆用幂的乘方法则比较大小有下面两个技巧．
(1)底数比较法：逆用幂的乘方法则变形为指数相同，底数不同的形式进行比较；
(2)乘方比较法：将幂同时乘方化为同指数幂，计算幂的结果，比较幂的大小，从而比较底数的大小．
解：因为255＝(25)11＝3211，
344＝(34)11＝8111，
433＝(43)11＝6411，
32＜64＜81，
所以255＜433＜344.
(2)阅读下列材料：
若a3＝2，b5＝3，试比较a，b的大小．
解：因为a3＝2，b5＝3，所以a>0，b>0.
因为a15＝(a3)5＝25＝32，b15＝(b5)3＝33＝27，32>27，
所以a15>b15.
所以a>b.
依照上述方法解决问题：
已知a2＝5，b3＝12，且a>0，b>0，试比较a，b的大小．
解：因为a6＝(a2)3＝53＝125，b6＝(b3)2＝122＝144，125＜144，
所以a6＜b6.
又因为a＞0，b＞0，所以a＜b.(共26张PPT)
第一章 整式的乘除
6 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
北师版 七年级下
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1
2
3
4
B
5
a2＋2ab＋b2；a2－2ab＋b2；平方和；积的2倍
6
7
8
9
C
见习题
10
A
D
见习题
A
见习题
见习题
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
见习题
1．完全平方公式：(a＋b)2＝__________，(a－b)2＝__________，即两数和(或差)的平方，等于它们的________，加上(或减去)它们的________．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
平方和
积的2倍
2．【2021·黄冈】下列计算正确的是( )
A．a3＋a2＝a5 B．a3÷a2＝a
C．3a3·2a2＝6a6 D．(a－2)2＝a2－4
B
3．【2021·泰安】下列运算正确的是( )
A．2x2＋3x3＝5x5
B．(－2x)3＝－6x3
C．(x＋y)2＝x2＋y2
D．(3x＋2)(2－3x)＝4－9x2
D
4．【教材P26习题T2变式】计算：
(1)(－a－2b)2；
解：原式＝[－(a＋2b)]2＝(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2.
(2)【2021·宁波】(1＋a)(1－a)＋(a＋3)2；
(3)【2021·衡阳】(x＋2y)2＋(x－2y)(x＋2y)＋x(x－4y)．
原式＝1－a2＋a2＋6a＋9＝6a＋10.
原式＝x2＋4xy＋4y2＋x2－4y2＋x2－4xy＝3x2.
5．【教材P27习题T3变式】用完全平方公式进行计算：
(2)499.92.
499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01.
6．若(x－n)2＝x2＋x＋m，则m，n的值分别是( )
A
7．已知a＋ ＝4，则a2＋ 的值是( )
A．4 B．16
C．14 D．15
C
8．【教材P35复习题T14变式】如图①所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下的部分剪拼成一个长方形如图②所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
A
9．已知多项式A＝(x＋1)2－(x2－4y)．
(1)化简多项式A；
解：A＝(x＋1)2－(x2－4y)＝x2＋2x＋1－x2＋4y＝2x＋4y＋1.
(2)若x＋2y＝1，求A的值．
因为x＋2y＝1，所以A＝2x＋4y＋1＝2(x＋2y)＋1＝2×1＋1＝3.
10．(1)【2021·永州】先化简，再求值：(x＋1)2＋(2＋x)(2－x)，其中x＝1.
解：原式＝x2＋2x＋1＋4－x2＝2x＋5.
当x＝1时，2x＋5＝2×1＋5＝7.
(2)【2021·长沙】先化简，再求值：(x－3)2＋(x＋3)(x－3)＋2x(2－x)，其中x＝－ .
解：原式＝x2－6x＋9＋x2－9＋4x－2x2＝－2x.
解：原式＝4x2－1－(4x2－12x＋9)＝4x2－1－4x2＋12x－9＝12x－10.
当x＝－1时，12x－10＝12×(－1)－10＝－22.
(3)【2021·南充】先化简，再求值：(2x＋1)(2x－1)－(2x－3)2，其中x＝－1.
2
2
(2)【2021·北京】已知a2＋2b2－1＝0，求代数式(a－b)2＋b(2a＋b)的值．
解：(a－b)2＋b(2a＋b)＝a2－2ab＋b2＋2ab＋b2＝a2＋2b2.
因为a2＋2b2－1＝0，
所以a2＋2b2＝1.所以原式＝1.
12．利用我们学过的知识，可以推导出下面的等式：
a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]．
(1)请你检验这个等式的正确性．
(2)若a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024，你能很快求出a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值吗？试求出这个值．
解：当a＝2 022，b＝2 023，c＝2 024时，
原式＝ [(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝ ×(1＋1＋4)＝3.
13．(1)若(x－y)2＝1，(x＋y)2＝9，则xy的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
A
(2)已知a＋b＝2，a2＋b2＝10，求ab和(a－b)2的值．
解：把式子a＋b＝2两边平方，
得a2＋b2＋2ab＝4.
因为a2＋b2＝10，所以ab＝－3.
因为(a－b)2＝(a＋b)2－4ab，
所以(a－b)2＝22－4×(－3)＝16.
14．阅读材料，解决下面的问题．
若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求 的值．
解：原等式即为m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
所以m＋n＝0，n－3＝0，解得n＝3，m＝－3.
【点拨】本题采用阅读类比法，利用完全平方公式以及平方式的非负性解题．
(1)若x2＋4x＋4＋y2－8y＋16＝0，求 的值；
解：原等式即为(x＋2)2＋(y－4)2＝0，所以x＝－2，y＝4.
所以 ＝－2.
(2)若x2＋2y2－2xy＋2y＋1＝0，求x＋2y的值；
解：原等式即为x2－2xy＋y2＋y2＋2y＋1＝0，
所以(x－y)2＋(y＋1)2＝0.
所以y＝－1，x＝－1.
所以x＋2y＝－1＋2×(－1)＝－3.
(3)试说明：不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的值总是正数；
解：x2＋y2－2x＋2y＋3＝x2－2x＋1＋y2＋2y＋1＋1
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋1.
因为(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋1的最小值为1.
所以不论x，y取什么数，多项式x2＋y2－2x＋2y＋3的
值总是正数．
(4)已知a，b，c是三角形ABC的三边长，满足a2＋b2＝10a＋8b－41，且三角形ABC的周长是14，求边长c.
解：因为a2＋b2＝10a＋8b－41，
所以a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0.
所以(a－5)2＋(b－4)2＝0.
所以a＝5，b＝4.
又因为三角形ABC的周长是14，所以边长c是5.(共12张PPT)
4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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A
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系数；相同字母的幂；指数
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C
A
见习题
见习题
C
D
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1．单项式与单项式相乘，把它们的__________、__________________分别相乘，其余字母连同它的________不变，作为积的因式．
系数
相同字母的幂
指数
2．【2021·临沂】计算2a3·5a3的结果是( )
A．10a6 B．10a9 C．7a3 D．7a6
A
3．【2021·贵港】下列计算正确的是( )
A．a2＋a2＝a4 B．2a－a＝1
C．2a·(－3a)＝－6a2 D．(a2)3＝a5
C
4．【2020·青海】下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n－5mn2＝－2mn；
②2a3b·(－2a2b)＝－4a6b；
③(a3)2＝a5；④(－a3)÷(－a)＝a2.
其中计算正确的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
D
5．【2021·荆州】若等式2a2·a＋□＝3a3成立，则□中填写的单项式可以是( )
A．a B．a2 C．a3 D．a4
【点拨】因为2a2·a＋□＝3a3成立，
所以2a3＋□＝3a3.
所以□中填写的单项式可以是a3.
C
6．如果单项式－3x4m－ny2与 x3ym＋n之和仍是单项式，那么这两个单项式的积为( )
A．－x6y4 B．x6y4
C．x3y2 D．－3x3y2
A
7．【教材P15习题T2变式】某同学家的住房结构如图所示，他家打算把卧室和客厅铺上地板，请你帮他算一算，至少需要地板的面积是( )
A．12xy
B．10xy
C．15xy
D．6xy
A
8．【教材P14例1变式】计算：
(1)【2021·株洲】(2a)2·a3＝________．
(2)【中考·无锡】2a3·a3－(a2)3.
解：原式＝2a6－a6＝a6；
4a5
9．(1)已知(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝－24xqy10zp，求mn＋pq的值．
解：因为(2x2y)m·(－xynz)3·3y4z6＝2mx2mym·(－x3y3nz3)·3y4z6＝－3·2m·x2m＋3ym＋3n＋4z9＝－24xqy10zp，
所以－3·2m＝－24，
2m＋3＝q，m＋3n＋4＝10，p＝9，
解得m＝3，n＝1，q＝9.
故mn＋pq＝3×1＋9×9＝3＋81＝84.
(2)已知a2m＝2，b3n＝3，求(b2n)3－a3m·b3n·a5m的值．
解：因为a2m＝2，b3n＝3，
所以(b2n)3－a3m·b3n·a5m＝(b3n)2－a8m·b3n＝32－(a2m)4×3＝32－24×3＝9－16×3＝9－48＝－39.(共24张PPT)
第一章 整式的乘除
全章热门考点整合专训
北师版 七年级下
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B
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B
见习题
1．【2020·深圳】下列计算正确的是( )
A．a＋2a＝3a2 B．a2·a3＝a5
C．(ab)3＝ab3 D．(－a3)2＝－a6
B
2．【2020·重庆】计算a·a2结果正确的是( )
A．a B．a2 C．a3 D．a4
C
3．已知10x＝a，10y＝b，求103x＋2y的值．
解：103x＋2y＝103x·102y＝(10x)3·(10y)2＝a3b2.
4．已知x＋y＝a，试求(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3的值．
解：(x＋y)3(2x＋2y)3(3x＋3y)3
＝(x＋y)3·[2(x＋y)]3·[3(x＋y)]3
＝(x＋y)3·8(x＋y)3·27(x＋y)3
＝216(x＋y)9
＝216a9.
5．【教材P34复习题T6变式】计算：
(1)(2a＋5b)(a－3b)；
解：原式＝2a2－6ab＋5ab－15b2＝2a2－ab－15b2；
(2)(－7x2－8y2)(－x2＋3y2)；
原式＝7x4－21x2y2＋8x2y2－24y4＝7x4－13x2y2－24y4；
(3)(3x－2y)(y－3x)－(2x－y)(3x＋y)．
原式＝(－9x2＋9xy－2y2)－(6x2－xy－y2)＝－15x2＋10xy－y2.
6．计算：5ab2－{2a2b－[3a2b－ab(b－2a)]÷ }．
【点拨】去括号时要确定各项的符号，对于较复杂的运算一般先确定运算顺序，再按顺序进行运算．
＝5ab2－[2a2b－(－10a＋2b)]
＝5ab2－(2a2b＋10a－2b)
＝5ab2－2a2b－10a＋2b.
7．【2020·鄂州】下列运算正确的是( )
A．2x＋3x＝5x2
B．(－2x)3＝－6x3
C．2x3·3x2＝6x5
D．(3x＋2)(2－3x)＝9x2－4
C
8．【教材P21习题T2改编】计算(x－1)(x＋1)(x2＋1)－(x4＋1)的结果是( )
A．－2x2 B．0 C．－2 D．－1
C
10．【教材P36复习题T18变式】求2×(3＋1)×(32＋1)×(34＋1)×…×(364＋1)＋1的值的个位数字．
解：原式＝(3－1)×(3＋1)×(32＋1)×(34＋1)×…×(364＋1)＋1＝(32－1)×(32＋1)×(34＋1)×…×(364＋1)＋1＝3128－1＋1＝3128.
因为3128＝(34)32＝8132，
所以原式的值的个位数字为1.
11．【中考·长春】先化简，再求值：(2a＋1)2－4a(a－1)，其中a＝
解：原式＝4a2＋4a＋1－4a2＋4a＝8a＋1.
12．计算：(3a＋b－2)(3a－b＋2)．
解：原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.
13．【教材P13习题T3变式】【2020·苏州】某种芯片的每个探针单元的面积为0.000 001 64 cm2，0.000 001 64用科学记数法可表示为( )
A．1.64×10－5 B．1.64×10－6
C．16.4×10－7 D．0.164×10－5
B
解：因为(m＋n)2＋(m－n)2＝m2＋2mn＋n2＋m2－2mn＋n2＝2(m2＋n2)，所以2(m2＋n2)＝169＋9＝178.
所以m2＋n2＝89.
因为(m＋n)2－(m－n)2＝m2＋2mn＋n2－m2＋2mn－n2＝4mn，所以4mn＝169－9＝160.
所以mn＝40.所以m2＋n2－mn＝89－40＝49.
14．已知m，n满足(m＋n)2＝169，(m－n)2＝9，求m2＋n2－mn的值．
15．已知2m－1＝a，求3＋4m的值．
【点拨】由已知条件得2m的值，将原式化为含2m的式子后，整体代入求值．
解：因为2m－1＝a，所以2m＝a＋1.
所以3＋4m＝3＋(22)m＝3＋(2m)2＝3＋(a＋1)2＝3＋a2＋2a＋1＝a2＋2a＋4.
【点拨】将原式化为含x－y和xy的形式后，整体代入求值．
16．已知x－y＝7，xy＝10，求x2＋y2的值．
解：因为x－y＝7，xy＝10，
所以x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝72＋2×10＝69.
17．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝13，求下列各式的值：
(1)xy；
【点拨】将x－2y＝3两边分别平方转化成含有x2，y2的等式，再利用作差法即可解决问题；
解：因为x－2y＝3，所以(x－2y)2＝32，
即x2－4xy＋4y2＝9①.
又因为x2－2xy＋4y2＝13②，
所以由②－①，得2xy＝4.所以xy＝2.
(2)x2y－2xy2.
【点拨】利用(1)的值代入即可．
解：因为xy＝2，x－2y＝3，
所以x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝2×3＝6.
18．若2×8m×16m＝229，则m的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】2×8m×16m＝2×23m×24m＝27m＋1＝229，由此得方程7m＋1＝29，解得m＝4.
B
19．已知px2－60x＋25＝(qx－5)2，求p，q的值．
【点拨】若两个多项式相等，则对应项的系数相等．
解：(qx－5)2＝(qx)2－2·5·(qx)＋25＝q2x2－10qx＋25.
因为px2－60x＋25＝(qx－5)2，
所以px2－60x＋25＝q2x2－10qx＋25.
所以p＝q2，－60＝－10q.
解得q＝6，p＝36.(共28张PPT)
第一章 整式的乘除
5 平方差公式
北师版 七年级下
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C
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a2－b2；和；差；平方差
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见习题
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见习题
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见习题
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见习题
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝________，即两个数的________与这两个数的________的积，等于这两个数的____________．
a2－b2
和
差
平方差
2．【教材P20例1变式】【2020·杭州】(1＋y)(1－y)＝( )
A．1＋y2 B．－1－y2
C．1－y2 D．－1＋y2
C
3．【2021·岳阳】下列运算结果正确的是( )
A．3a－a＝2 B．a2·a4＝a8
C．(a＋2)(a－2)＝a2－4 D．(－a)2＝－a2
C
4．下列各式不能运用平方差公式进行计算的是( )
A．(y＋2x)(2x－y)
B．(－x－3y)(x＋3y)
C．(2x2－y2)(2x2＋y2)
D．(4a＋b－c)(4a－b－c)
B
5．【中考·吉林】某同学化简a(a＋2b)－(a＋b)(a－b)时出现了错误，解答过程如下：
原式＝a2＋2ab－(a2－b2)(第一步)
＝a2＋2ab－a2－b2(第二步)
＝2ab－b2(第三步)．
(1)该同学的解答过程从第______步开始出错，错误的原因是____________________；
二
去括号时没有变号
(2)写出此题正确的解答过程．
解：原式＝a2＋2ab－(a2－b2)＝a2＋2ab－a2＋b2＝2ab＋b2.
6．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则( )
A．m＝2，n＝3
B．m＝－2，n＝－3
C．m＝2，n＝－3
D．m＝－2，n＝3
B
7．已知x2－y2＝6，x－y＝1，则x＋y等于( )
A．2 B．3
C．4 D．6
D
8．三个连续的整数，若设中间的一个数是n，则这三个整数的积是( )
A．3n B．n3
C．n3－1 D．n3－n
D
9．已知a2－b2＝4，那么(a－b)2(a＋b)2的计算结果是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
C
10．【2021·宜昌】从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米(a＞6)的正方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成长方形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积( )
A．没有变化 B．变大了
C．变小了 D．无法确定
【点拨】长方形的面积为(a＋6)(a－6)＝a2－36(平方米)，正方形的面积为a2平方米，
所以长方形的面积比正方形的面积小了36平方米．
【答案】C
11．【2021·广安】若x，y满足 则代数式x2－4y2的值为________．
【点拨】因为x－2y＝－2，x＋2y＝3，
所以x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)＝3×(－2)＝－6.
－6
12．(1)【2021·吉林】先化简，再求值：(x＋2)(x－2)－x(x－1)，其中x＝ .
解：(x＋2)(x－2)－x(x－1)
＝x2－4－x2＋x＝x－4.
(2)【教材P34复习题T7变式】【2020·济宁】先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x(2－x)，其中x＝ .
解：(x＋1)(x－1)＋x(2－x)
＝x2－1＋2x－x2
＝2x－1.
13．计算：
(1)【2021·湖州】x(x＋2)＋(1＋x)(1－x)；
解：原式＝x2＋2x＋1－x2＝2x＋1.
(2)【2020·衡阳】b(a＋b)＋(a＋b)(a－b)；
原式＝ab＋b2＋a2－b2＝ab＋a2.
(4)【原创题】(x－2)(x＋2)(x2＋4)(x4＋16)．
解：原式＝x2m－y2n.
(3)【教材P21习题T2变式】(xm－yn)(xm＋yn)；
原式＝(x2－4)(x2＋4)(x4＋16)
＝(x4－16)(x4＋16)＝x8－256.
14．(1)如果用平方差公式计算(x－y＋5)(x＋y＋5)，那么可将原式变形为( )
A．[(x－y)＋5][(x＋y)＋5]
B．[(x－y)＋5][(x－y)－5]
C．[(x＋5)－y][(x＋5)＋y]
D．[x－(y＋5)][x＋(y＋5)]
C
D
(3)计算：(2a＋b－c＋6)(2a－b＋c＋6)．
解：(2a＋b－c＋6)(2a－b＋c＋6)
＝[(2a＋6)＋(b－c)][(2a＋6)－(b－c)]
＝(2a＋6)2－(b－c)2
＝(2a＋6)(2a＋6)－(b－c)(b－c)
＝4a2＋24a＋36－(b2－2bc＋c2)
＝4a2＋24a＋36－b2＋2bc－c2.
15．(1)已知a－b＝2，b－c＝2，a＋c＝14，求a2－b2的值．
解：把b－c＝2，a＋c＝14相加，得a＋b＝16.
所以a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝2×16＝32.
(2)【2020·北京】已知5x2－x－1＝0，求代数式(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)的值．
解：(3x＋2)(3x－2)＋x(x－2)
＝9x2－4＋x2－2x
＝10x2－2x－4.
因为5x2－x－1＝0，所以5x2－x＝1，
所以原式＝2(5x2－x)－4＝－2.
16．观察下列等式：
第1个：(a－b)(a＋b)＝a2－b2；
第2个：(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；
第3个：(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4；
……
(1)这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律，请利用你发现的规律猜想并填空：若n为大于1的整数，则(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋a2bn－3＋abn－2＋bn－1)＝________；
an－bn.
(2)利用(1)的猜想计算：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋21＋1(n为大于1的整数)；
【点拨】此题主要体现了“逻辑推理”的核心素养．通过分析已知等式，归纳总结其中的规律，进而利用此规律解决问题，主要培养我们利用题目中的信息探究规律的能力．
解：2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋21＋1＝(2－1)×(2n－1＋2n－2＋2n－3＋…＋23＋22＋2＋1)＝2n－1n＝2n－1.
(3)计算：3n－1＋3n－2＋3n－3＋…＋33＋32＋31＋1(n为大于1的整数)．(共7张PPT)
素养集训
3．比较幂的大小的五种常用技巧
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，试比较a，b，c的大小．
【点拨】本题采用的是指数比较法．将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．
解：a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122.
因为124>123>122，所以3124>3123>3122，即a>b>c.
2．比较3555，4444，5333的大小．
【点拨】本题采用的是底数比较法．将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．
解：3555＝(35)111＝(243)111，4444＝(44)111＝(256)111，5333＝(53)111＝(125)111.
因为125<243<256，即53＜35＜44，
所以(53)111＜(35)111＜(44)111，即5333＜3555＜4444.
3．已知xa＝3，xb＝6，xc＝12，试比较2b与a＋c的大小．
【点拨】根据xa，xb，xc值的关系，结合幂的运算法则得出2b与a＋c的关系．
解：因为xa＝3，xb＝6，xc＝12，
而62＝3×12，
所以(xb)2＝xa·xc，即x2b＝xa＋c.
所以2b＝a＋c.
4．已知x7＝2，y9＝3，试比较x与y的大小．
【点拨】本题将幂同时乘方化为同指数幂，计算幂的结果，比较幂的大小，从而比较底数的大小．
解：因为x63＝(x7)9＝29＝512，
y63＝(y9)7＝37＝2 187，所以x>0，y>0.
因为512<2 187，
所以x63＜y63.所以x＜y.
5．已知P＝ ，Q＝ ，比较P与Q的大小．(共26张PPT)
第一章 整式的乘除
素养集训
2．幂的运算性质的11种应用
北师版 七年级下
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见习题
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见习题
见习题
见习题
见习题
1．【教材P4习题T3变式】下列各式，计算正确的是( )
A．m2·m4＝m6 B．m2·m4＝m8
C．m2＋m4＝m6 D．m4·m4＝2m8
【点拨】m2·m4＝m2＋4＝m6，A选项正确，B选项错误；C.m2与m4不是同类项，无法合并，此选项错误；D.m4·m4＝m4＋4＝m8，此选项错误．故选A.
A
2．我们已经学习了四个关于幂的运算法则(其中的m，n均为正整数)：①am·an＝am＋n；
②(am)n＝amn；③(ab)m＝ambm；④am÷an＝am－n.下面是小明计算的过程：(a3·a2)3＝(a3＋2)3＝(a5)3＝a15.他用到的运算法则有______．(填序号)
【点拨】他计算的过程中用到了同底数幂的乘法①am·an＝am＋n，幂的乘方②(am)n＝amn.
①②
3．计算：
(1)－(x3)4＋3(x2)4·x4；
解：－(x3)4＋3(x2)4·x4＝－x12＋3x12＝2x12.
(2)a2·a4－a8÷a2＋(3a3)2.
a2·a4－a8÷a2＋(3a3)2＝a6－a6＋9a6＝9a6.
4．用简便方法计算下列各题：
5．已知79m×49＝711.
(1)求m的值；
解：因为79m×49＝711，即79m×72＝711，
所以9m＋2＝11，解得m＝1.
(2)根据(1)的结果，求(－m5)3·(m3)2·(－m)7÷(－m3)2的值．
(－m5)3·(m3)2·(－m)7÷(－m3)2＝－m15·m6·(－m7)÷m6＝m22.
因为m＝1，所以原式＝1.
6．已知n为正整数，且x2n＝7，求7(x3n)2－3(x2)2n的值．
解：7(x3n)2－3(x2)2n＝7(x2n)3－3(x2n)2.
因为n为正整数，且x2n＝7，
所以原式＝7×73－3×72＝74－3×49＝2 401－147＝2 254.
7．【教材P4习题T2变式】已知xa＝3，xb＝27，求xa＋b.
解：因为xa＋b＝xa·xb，xa＝3，xb＝27，
所以xa＋b＝3×27＝81.
8．(1)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值；
解：因为2x＋5y－3＝0，
所以2x＋5y＝3，
所以原式＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
(2)已知25m×2×10n＝57×24，求m，n的值．
因为25m×2×10n＝57×24，
所以(52)m×2×(2×5)n＝57×24，即52m×2×2n×5n＝57×24，
所以52m＋n×2n＋1＝57×24，
所以2m＋n＝7，n＋1＝4，解得m＝2，n＝3.
9．下列计算正确的有( )
①3－1＝－3；②(－2)－3＝ ；③
④(π－3.14)0＝1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
11．已知a＝312，b＝97，c＝275，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【点拨】因为a＝312，b＝97＝314，c＝275＝315，且312<314<315，所以a
C
12．350，440，530的大小关系是( )
A．530＜350＜440 B．350＜530＜440
C．350＜440＜530 D．440＜350＜530
【点拨】因为350＝(35)10，440＝(44)10，530＝(53)10，35＝243，44＝256，53＝125，且256>243>125，所以44>35>53，所以440>350>530.故选A.
A
13．若3×32m×33m＝311，则m的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】因为3×32m×33m＝31＋2m＋3m＝311，所以1＋2m＋3m＝11，解得m＝2.故选A.
A
14．若32×92a＋1÷27a＋1＝81，求a的值．
解：因为32×92a＋1÷27a＋1＝32×32(2a＋1)÷33(a＋1)＝32×34a＋2÷33a＋3＝32＋4a＋2－3a－3＝3a＋1＝81＝34，
所以a＋1＝4，所以a＝3.
15．求x的值：2x＋3－2x＋1＝192.
解：因为2x＋3－2x＋1＝2x＋1×22－2x＋1＝2x＋1×(22－1)，
所以3×2x＋1＝192，即2x＋1＝64＝26，
所以x＋1＝6，解得x＝5.
解：(3×102)3＝33×(102)3＝27×106
＝2.7×107(mm3)．
答：一个这样的包装箱的体积是2.7×107 mm3.
16．【教材P4习题T4变式】某养鸡场需定制一批棱长为3×102 mm的正方体的包装箱(包装箱的厚度忽略不计)用来装鸡蛋，求一个这样的包装箱的体积．(结果用科学记数法表示)
17．观察下列算式：
31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2 187，38＝6 561，…，用你发现的规律写出32 024的个位数字是________．
【点拨】观察已知中的算式易得式子中的结果的个位数字以3，9，7，1，为一个循环重复出现．因为2 024÷4＝506，所以32 024的个位数字是1.
1
18．32 024－32 023－32 022能被5整除吗？为什么？
解：能．理由如下：
32 024－32 023－32 022＝32×32 022－3×32 022－32 022＝32 022×(32－3－1)＝32 022×(9－3－1)＝5×32 022，
因为5×32 022能被5整除，
所以32 024－32 023－32 022能被5整除．
19．已知x，y是正整数，且2x·2y＝32.
(1)满足条件的正整数x，y共有多少对？
解：因为2x·2y＝2x＋y＝32＝25，所以x＋y＝5.
因为x，y都是正整数，
所以当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3；
当x＝3时，y＝2；当x＝4时，y＝1.
所以满足条件的正整数x，y共有4对．
解：因为x－1＋y＋1＝x＋y，
所以2x－1·2y＋1＝2x＋y＝32.
(2)根据条件，请快速求出2x－1·2y＋1的值．
20．探究：
22－21＝2×21－1×21＝21；
23－22＝2×22－1×22＝22；
24－23＝2×23－1×23＝23.
(1)仔细观察上述等式，请写出第4个等式；
解：第4个等式为25－24＝2×24－1×24＝24.
(2)请你找出规律，写出第n(n为正整数)个等式；
解：第n个等式为2n＋1－2n＝2×2n－1×2n＝2n(n为正整数)．
(3)计算：2＋22＋23＋…＋22 023－22 024.
解：原式＝22－21＋23－22＋24－23＋…＋22 024－22 023－22 024＝－2.(共15张PPT)
3 同底数幂的除法
第1课时 同底数幂的除法
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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1
2
3
4
B
5
不变；相减；am－n
6
7
8
9
C
D
C
10
D
A
C
D
见习题
11
答案显示
见习题
1．同底数幂相除，底数_______，指数____________．用式子表示为am÷an＝________(a≠0，m，n都是正整数，且m>n)．
不变
相减
am－n
2．【2021·重庆】计算x4÷x结果正确的是( )
A．x4 B．x3 C．x2 D．x
B
3．【2021·徐州】下列计算正确的是( )
A．(a3)3＝a9 B．a3·a4＝a12
C．a2＋a3＝a5 D．a6÷a2＝a3
A
4．【2021·衡阳】下列运算结果为a6的是( )
A．a2·a3 B．a12÷a2
C．(a3)2 D.
C
5．计算(－a)5·(a2)3÷(－a)4的结果正确的是( )
A．a7 B．－a6 C．－a7 D ．a6
C
6．【2020·河北】墨迹覆盖了等式“x3●x＝x2(x≠0)”中的运算符号，则覆盖的是( )
A．＋ B．－ C．× D．÷
D
7．若a>0，且ax＝3，ay＝2，则ax－y的值为( )
A．－1 B．1 C. D.
D
8．【教材P9做一做拓展】计算16m÷4n÷2等于( )
A．2m－n－1 B．22m－n－1
C．23m－2n－1 D．24m－2n－1
【点拨】16m÷4n÷2＝(24)m÷(22)n÷2＝24m÷22n÷2＝24m－2n－1.
D
9．若x6÷xn＝x2，则n的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
C
10．【教材P10例1变式】计算：
(2)[(xn＋1)4·x2]÷[(xn＋2)3÷(x2)n]；
(3) (a·am＋1)2－(a2)m＋3÷a2.
原式＝x4n＋4＋2÷(x3n＋6÷x2n)＝x4n＋6÷xn＋6＝x3n.
原式＝a2m＋4－a2m＋6÷a2＝a2m＋4－a2m＋4＝0.
11．(1)【教材P4习题T2拓展】已知5x＝3，5y＝2，则52x－3y＝( )
A. B．1 C. D.
【点拨】逆用幂的乘方、同底数幂的除法法则，得52x－3y＝52x÷53y＝(5x)2÷(5y)3＝32÷23＝
D
(2)若9m·27m－1÷33m＝27，求m的值．
(3)若2m＝64，2n＝16，求9m÷32n的值．
解：因为9m·27m－1÷33m＝35m－3÷33m＝32m－3＝27＝33，
所以2m－3＝3. 所以m＝3.
9m÷32n＝32m÷32n＝32m－2n＝32(m－n)．
因为2m＝64，2n＝16，所以2m÷2n＝4，
所以2m－n＝22.所以m－n＝2.
所以9m÷32n＝32(m－n)＝34＝81.(共10张PPT)
素养集训
1．整体思想在整式乘法运算中的应用
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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1
2
3
4
见习题
5
见习题
6
7
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．已知2x＋3y－3＝0，求3·9x·27y的值．
【点拨】化为同底数幂相乘，得出结果后观察指数，由已知条件可得2x＋3y＝3，整体代入求值．
解：3·9x·27y＝3·(32)x·(33)y＝3·32x·33y＝31＋2x＋3y.
因为2x＋3y－3＝0，所以2x＋3y＝3.
所以原式＝31＋3＝34＝81.
2．已知a＝ x－20，b＝ x－18，c＝ x－16，求代数式a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值．
3．已知x＋y＝4，xy＝1，求代数式(x2＋1)(y2＋1)的值．
解：(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋x2＋y2＋1＝(xy)2＋(x＋y)2－2xy＋1.
把x＋y＝4，xy＝1整体代入，得12＋42－2×1＋1＝16，即(x2＋1)(y2＋1)＝16.
4．已知a－b＝b－c＝ ，a2＋b2＋c2＝1，求ab＋bc＋ca的值．
5．已知(2 021－a)(2 023－a)＝2 022，求(2 021－a)2＋(2 023－a)2的值．
【点拨】本题运用乘法公式的变形x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，结合整体思想求解，使计算简便．
解：(2 021－a)2＋(2 023－a)2＝[(2 021－a)－(2 023－a)]2＋2×(2 021－a)(2 023－a)＝(－2)2＋2×2 022＝4＋4 044＝4 048.
6．【教材P34复习题T7改编】已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 022的值．
解：a3＋2a2＋2 022＝a2(a＋2)＋2 022.
由a2＋a－1＝0，得a2＝1－a，故原式＝(1－a)(a＋2)＋2 022＝－a2－a＋2 024.
又由a2＋a－1＝0，得－a2－a＝－1，
故－a2－a＋2 024＝－1＋2 024＝2 023.
7．计算：(a1＋a2＋…＋an－1)(a2＋a3＋…＋an－1＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)(a1＋a2＋…＋an)(n≥3，且n为整数)．
【点拨】通过观察发现a2＋a3＋…＋an－1这个式子在每一个因式中都存在，因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M，问题就简化了，体现了整体思想的运用．
解：设a2＋a3＋…＋an－1＝M，
则原式＝(a1＋M)(M＋an)－M(a1＋M＋an)＝a1M＋a1an＋M2＋anM－a1M－M2－anM＝a1an.(共27张PPT)
第一章 整式的乘除
7 整式的除法
第2课时 多项式除以单项式
北师版 七年级下
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1
2
3
4
A
5
每一项；单项式；相加
6
7
8
9
C
D
10
见习题
A
B
B
C
C
11
12
13
2
14
15
见习题
答案显示
4a4－a2b2
C
见习题
16
17
18
见习题
见习题
见习题
1．多项式除以单项式，先把这个多项式的__________分别除以这个__________，再把所得的商______．
每一项
单项式
相加
2．【2021·山西】下列运算正确的是( )
A．(－m2n)3＝－m6n3
B．m5－m3＝m2
C．(m＋2)2＝m2＋4
D．(12m4－3m)÷3m＝4m3
A
3．【教材P31随堂练习变式】计算(－81xn＋5＋6xn＋3－3xn＋2) ÷(－3xn－1)等于( )
A．27x6－2x4＋x3
B．27x6＋2x4＋x
C．27x6－2x4－x3
D．27x4－2x2－x
A
4．【教材P34复习题T7变式】当a＝ 时，式子(28a3－28a2＋7a)÷7a的值是( )
A．6.25 B．0.25
C．－2.25 D．－4
B
5．已知7x5y3与一个多项式之积是28x7y3＋98x6y5－21x5y5，则这个多项式是( )
A．4x2－3y2 B．4x2y－3xy2
C．4x2－3y2＋14xy2 D．4x2－3y2＋7xy3
C
6．【教材P32习题T2改编】一个长方形的面积是3a2－3ab＋6a，一边长为3a，则与其相邻的另一边长为( )
A．2a－b＋2 B．a－b＋2
C．3a－b＋2 D．4a－b＋2
B
7．小明总结了以下结论：
①a(b＋c)＝ab＋ac；
②a(b－c)＝ab－ac；
③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；
④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0)．
其中一定成立的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】①a(b＋c)＝ab＋ac，正确；
②a(b－c)＝ab－ac，正确；
③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)，正确；
④错误．
【答案】C
8．【2020·武汉】计算：[a3·a5＋(3a4)2]÷a2.
【点拨】本题解题关键是熟练运用整式的运算法则．
解：原式＝(a8＋9a8)÷a2＝10a8÷a2＝10a6.
9．【中考·南昌】下列运算正确的是( )
A．a2＋a3＝a5
B．(－2a2)3＝－6a6
C．(2a＋1)(2a－1)＝2a2－1
D．(2a3－a2)÷a2＝2a－1
D
10．【教材P30例2变式】下列四个算式：
① 4x2y4÷xy＝xy3；② 16a6b4c÷8a3b2＝2a2b2c；
③ 9x8y2÷3x3y＝3x5y；④ (12m3＋8m2－4m)÷(－2m)＝－6m2－4m＋2.
其中正确的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C
11．计算多项式－2x(3x－2)2＋3除以3x－2后，所得商式与余式的和为( )
A．－2x＋3 B．－6x2＋4x
C．－6x2＋4x＋3 D．－6x2－4x＋3
【点拨】－2x(3x－2)2＋3除以3x－2，商式是－2x(3x－2)，即－6x2＋4x，余式是3，商式与余式的和为－6x2＋4x＋3.
C
12．【中考·西宁】已知x2＋x－5＝0，则式子(x－1)2－x(x－3)＋(x＋2)(x－2)的值为________．
2
13．如果在计算(8a3b－4a2b2)÷4ab时，把括号内的减号不小心抄成加号，那么正确结果和错误结果的乘积是______________．
4a4－a2b2
14．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如图：
(1)求所捂的多项式；
15．已知多项式x3－2x2＋ax－1除以bx－1，商式为x2－x＋2，余式为1.
(1)求a，b的值；
解：(bx－1)(x2－x＋2)＋1＝bx3－bx2＋2bx－x2＋x－2＋1＝bx3－(b＋1)x2＋(2b＋1)x－1.
根据题意，得x3－2x2＋ax－1＝bx3－(b＋1)x2＋(2b＋1)x－1，
所以b＝1，a＝2b＋1.所以a＝3，b＝1.
解：原式＝[4a2＋4ab＋b2－(4a2－b2)]÷2b
＝(4ab＋2b2)÷2b＝2a＋b.
因为a＝3，b＝1，所以2a＋b＝2×3＋1＝7.
(2)求[(2a＋b)2－(2a＋b)(2a－b)]÷2b的值．
解：由题意得A＝(4x2－2x＋1)(2x＋1)＝8x3＋1，
所以A＋B＝(8x3＋1)＋(2x＋1)＝8x3＋2x＋2.
16．已知A，B为多项式，B＝2x＋1，计算A＋B时，某学生把A＋B看成A÷B，结果得4x2－2x＋1.请你求出A＋B的正确答案．
17．数学课上，老师出了一道题：化简[8(a＋b)5－4(a＋b)4＋(－a－b)3]÷[2(a＋b)]3.
小明马上举手，下面是小明的解题过程：
[8(a＋b)5－4(a＋b)4＋(－a－b)3]÷[2(a＋b)]3
＝[8(a＋b)5－4(a＋b)4＋(a＋b)3]÷6(a＋b)3
＝ (a＋b)2－ (a＋b)＋ .
小亮也举起了手，说小明的解题过程不对，并指了出来，老师肯定了小亮的回答．
你知道小明错在哪儿吗？请指出来，并写出正确的解题过程．
解：第一处错是(－a－b)3＝(a＋b)3；第二处错是[2(a＋b)]3＝6(a＋b)3.正确解答如下：
[8(a＋b)5－4(a＋b)4＋(－a－b)3]÷[2(a＋b)]3＝[8(a＋b)5－4(a＋b)4－(a＋b)3]÷8(a＋b)3＝(a＋b)2－ (a＋b)－ .
18．观察下列各式：
(x－1)÷(x－1)＝1；
(x2－1)÷(x－1)＝x＋1；
(x3－1)÷(x－1)＝x2＋x＋1；
(x4－1)÷(x－1)＝x3＋x2＋x＋1；
……
(x8－1)÷(x－1)＝x7＋x6＋x5＋…＋x＋1.
(1)根据上面各式的规律填空：
①(x2 022－1)÷(x－1)＝____________________________；
②(xn－1)÷(x－1)(n为正整数)＝______________________；
(2)利用(1)中②的结论求22 022＋22 021＋…＋2＋1的值；
x2 021＋x2 020＋x2 019＋…＋x＋1
xn－1＋xn－2＋…＋x＋1
解：22 022＋22 021＋…＋2＋1＝(22 023－1)÷(2－1)＝22 023－1.
解：因为1＋x＋x2＋…＋x2 021＝0，
所以x≠1，
所以1＋x＋x2＋…＋x2 021＝(x2 022－1)÷(x－1)＝0，
所以x2 022－1＝0，所以x2 022＝1.
(3)若1＋x＋x2＋…＋x2 021＝0，求x2 022的值．(共27张PPT)
1 同底数幂的乘法
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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1
2
3
4
C
5
不变；相加；am＋n (1)底数 (2)多
6
7
8
9
B
(y－x)2n；－(y－x)2n－1
A
10
D
B
D
A
B
11
12
13
乘积；an
14
15
C
答案显示
A
见习题
D
16
17
18
见习题
19
20
见习题
A
见习题
见习题
21
见习题
1．同底数幂相乘，底数__________，指数__________．用式子表示为am·an＝________(m，n都是正整数)．
应用此法则必须明确两点：
(1)必须是________相同的幂的乘法；
(2)______个同底数幂相乘同样适用．
不变
相加
am＋n
底数
多
2．下列各组中的两个式子是同底数幂的是( )
A．23与32
B．a3与(－a)3
C．(m－n)5与(m－n)6
D．(a－b)2与(b－a)3
C
3．【2021·盐城】计算a2·a的结果是( )
A．a2 B．a3 C．a D．2a2
B
4．【2021·河北】下列不一定相等的一组是( )
A．a＋b与b＋a B．3a与a＋a＋a
C．a3与a·a·a D．3(a＋b)与3a＋b
D
5．【教材P3想一想改编】若a3·a4·an＝a9，则n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B
6．【教材P3例2拓展】【2020·河南】电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1 GB＝210 MB，1 MB＝210 KB，1 KB＝210 B．某视频文件的大小约为1 GB，1 GB等于( )
A．230 B B．830 B
C．8×1010 B D．2×1030 B
A
7．化同底数法：若底数互为相反数，则可化为同底数进行计算．如：(x－y)2n＝________，(x－y)2n－1＝___________.
(y－x)2n
－(y－x)2n－1
8．【2021·安徽】计算x2·(－x)3的结果是( )
A．x6 B．－x6
C．x5 D．－x5
D
9．【2021·丽水】计算(－a)2·a4的结果是( )
A．a6 B．－a6
C．a8 D．－a8
A
10．计算(a－b)2n(b－a)(a－b)m－1的结果是( )
A．(a－b)2n＋m B．－(a－b)2n＋m
C．(b－a)2n＋m D．以上都不对
B
11．【教材P4习题T1变式】计算：
(1)m2·m3；
解：m2·m3＝m5.
(2)(－b)3·(－b)4；
(3)(y－x)3·(x－y)m·(x－y)m＋1·(y－x)2.
(－b)3·(－b)4＝－b7.
(y－x)3·(x－y)m·(x－y)m＋1·(y－x)2＝－(x－y)3·(x－y)m·(x－y)m＋1·(x－y)2＝－(x－y)2m＋6.
12．同底数幂的乘法法则可以逆用，把一个幂写成n个与幂的底数相同的幂的________形式，即am＋n＝am·________(m，n为正整数)．
乘积
an
13．计算(－2)2 023＋(－2)2 022的结果是( )
A．－22 022 B．22 022
C．－22 023 D．22 023
【点拨】(－2)2 023＋(－2)2 022＝(－2)2 022×[(－2)＋1]＝(－2)2 022×(－1)
＝22 022×(－1)＝－22 022.
A
14．若25＝m·22，则m的值为( )
A．2 B．6
C．8 D．12
C
15．【教材P4习题T2拓展】若10x＝a，10y＝b，则10x＋y＋2＝( )
A．2ab B．a＋b
C．a＋b＋2 D．100ab
D
解：原式＝an＋4＋an＋4＝2an＋4；
16．【教材P3例1变式】计算：
(1)an＋1·a3＋an·a4；
(2)(－x5)·x3n－1＋x3n·(－x)4.
原式＝－x3n＋4＋x3n＋4＝0.
17．(1)已知32x＋1＝m，求32x＋3的值．
解：32x＋3＝32x＋1·32＝m·32＝9m.
(2)已知2m－2·25－n＝25，求 (m－n)2－5(m－n)＋7的值．
(3)已知ax＋y＋z＝24，ax＋y＝6，求az的值．
因为2m－2·25－n＝2m－2＋5－n＝25，
所以m－2＋5－n＝5，即m－n＝2.
所以 (m－n)2－5(m－n)＋7＝ ×22－5×2＋7＝2－10＋7＝－1.
因为ax＋y＋z＝ax＋y·az＝24，ax＋y＝6，所以az＝4.
18．若m为偶数，则(a－b)m·(b－a)n与(b－a)m＋n的结果( )
A．相等 B．互为相反数
C．不相等 D．以上说法都不对
【点拨】当m为偶数时，(a－b)m·(b－a)n＝(b－a)m·(b－a)n＝(b－a)m＋n.
A
解：m＝y＋z.理由如下：
因为3x＋y＝15，3x＝5，所以5·3y＝15.所以3y＝3.
因为3m＝33＝3×11，3y＝3，3z＝11，
所以3m＝3y·3z＝3y＋z.
所以m＝y＋z.
19．【教材P4习题T2拓展】已知：3x＝5，3x＋y＝15，3z＝11，3m＝33，试判断y，z，m之间的数量关系，并说明理由．
20．我们约定：a★b＝10a×10b，例如，3★4＝103×104＝107.
(1)试求2★5和3★17的值．
解：2★5＝102×105＝107，
3★17＝103×1017＝1020.
(2)猜想：a★b与b★a的运算结果是否相等？说明理由．
解：a★b与b★a的运算结果相等．
理由：因为a★b＝10a×10b＝10a＋b，
b★a＝10b×10a＝10b＋a，
所以a★b＝b★a.
21．阅读下面的材料：
求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023的值．
解：设S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023.①
将等式两边同时乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 023＋22 024.②
②－①，得2S－S＝22 024－1，即S＝22 024－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 022＋22 023＝22 024－1.
请你仿照此法计算：
(1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210；
解：设M＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210.①
将等式两边同时乘2，得2M＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋210＋211.②
②－①，得2M－M＝211－1，
即M＝211－1.
所以1＋2＋22＋23＋24＋…＋29＋210＝211－1.
(2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n(其中n为正整数)．
解：设N＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n.①
将等式两边同时乘3，得3N＝3＋32＋33＋34＋35＋…＋3n＋3n＋1.②
②－①，得3N－N＝3n＋1－1，即N＝ (3n＋1－1)．
所以1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n－1＋3n＝ (3n＋1－1)．(共29张PPT)
第一章 整式的乘除
3 同底数幂的除法
第2课时 零指数幂与负整数指数幂
北师版 七年级下
提示：点击 进入习题
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1
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不等于0；1；1
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D
D
10
B
B
D
B
(1)am＋n (2)amn (3)anbn (4)am－n
11
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A
14
15
C
答案显示
D
1
见习题
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见习题
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20
见习题
见习题
见习题
见习题
1．任何__________的数的0次幂都等于________，
即a0＝________(a≠0)．
不等于0
1
1
2．【2021·乐山】(2021－π)0＝________．
1
3．【2021·泰州】(－3)0等于( )
A．0 B．1
C．3 D．－3
B
4．下列说法正确的是( )
A．(3.14－π)0没有意义
B．任何数的0次幂都等于1
C．106÷109的结果是103
D．若(x＋3)0＝1，则x≠－3
D
5．一个非零数的负整数指数幂，等于这个数的正整数指数幂的________，即当n为正整数时，a－n＝_____(a≠0)．
倒数
6．【教材P10负整数指数幂定义变式】若(x－3)0－2(3x－6)－2有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞3
B．x≠3且x≠2
C．x≠3或x≠2
D．x＜2
B
7．【2020·福建】下列运算正确的是( )
A．3a2－a2＝3
B．(a＋b)2＝a2＋b2
C．(－3ab2)2＝－6a2b4
D．a·a－1＝1(a≠0)
D
8．下列算式：
①0.0010＝1；②10－3＝0.001；
③10－5＝－0.000 01；④(6－3×2)0＝1.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
9．【教材P11习题T2变式】计算(a2)3＋a2·a3－a2÷a－3，结果是( )
A．2a5－a B．2a5－
C．a5 D．a6
D
10．整数指数幂的运算性质：
(1)am·an＝________(m，n是整数)；
(2)(am)n＝________(m，n是整数)；
(3)(ab)n＝________(n是整数)；
(4)am÷an＝________(m，n是整数)．
am＋n
amn
anbn
am－n
11．【2021·湖州】计算：2×2－1＝________．
1
12．【2021·陕西】计算：(a3b)－2＝( )
A
13．【2021·玉林】下列计算正确的是( )
A．a5＋a5＝a10
B．－3(a－b)＝－3a－3b
C．(ab)－3＝ab－3
D．a6÷a2＝a4
D
14．若m＝－ ，n＝ ，p＝(－2)3，则m，n，p的大小关系是( )
A．mB．mC．pD．pC
15．(1)观察下列各式：
①24÷23＝24－3＝21; ②24÷22＝24－2＝22；
③24÷2＝24－1＝23; ④24÷20＝24－0＝24.
由此可猜想：
24÷2－1＝________；24÷2－2＝________.
25
(2)由(1)可知在am÷an中，m，n除了可以表示正整数外，还可以表示__________________．
26
零和负整数
(3)利用上面的结论计算：
①33÷3－7＝____________；
②
310
解：原式＝4＋(－2)×1－16＝－14；
16．【教材P11习题T1变式】计算：
17．【教材P10例2变式】化简下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
(1)(－m3)2·(m2)2÷(m2)6；
(2)(a－b)2·(b－a)2n÷(a－b)2n＋3.
18．(1)若102a＝25，则10－a等于( )
A
【点拨】根据负整数指数幂及幂的乘方法则进行计算即可．
因为102a＝25＝52，所以(10a)2＝52，
所以10a＝5(正数的任何次幂都是正数，故－5舍去)，
所以10－a＝5－1＝
【答案】B
19．课堂上老师出了一道题：已知(2x－3)x＋3－1＝0，求x的值．小明同学解答如下：
因为(2x－3)x＋3－1＝0，
所以(2x－3)x＋3＝1.
因为(2x－3)0＝1，
所以x＋3＝0.所以x＝－3.
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的x的值．
解：不正确．正确解答如下：
因为(2x－3)x＋3－1＝0，
所以(2x－3)x＋3＝1.
所以x＋3＝0，且2x－3≠0或2x－3＝1或2x－3＝－1，
且x＋3为偶数．
解得x＝－3或x＝2或x＝1.
20．阅读下面的材料：
求1＋2－1＋2－2＋…＋2－2 022的值．
解：设S＝1＋2－1＋2－2＋…＋2－2 022，①
则2S＝2＋1＋2－1＋…＋2－2 021.②
②－①，得S＝2－2－2 022，
即原式＝2－2－2 022.
请你仿此计算：
(1)1＋3－1＋3－2＋…＋3－2 024；
解：设M＝1＋3－1＋3－2＋…＋3－2 024，①
则3M＝3＋1＋3－1＋…＋3－2 023.②
(2)1＋3－1＋3－2＋…＋3－n(n为大于1的整数)．
解：设N＝1＋3－1＋3－2＋…＋3－n，①
则3N＝3＋1＋3－1＋…＋3－n＋1.②
②－①，得2N＝3－3－n，(共11张PPT)
3 同底数幂的除法
第3课时 科学记数法
第一章 整式的乘除
北师版 七年级下
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4
A
5
a×10n；1≤|a|<10；正整数；位数；负整数
6
7
8
9
C
见习题
见习题
见习题
D
7×10－7
D
1．对于一些绝对值较大的数或较小的数N，我们都可以用科学记数法将它们表示为____________的形式，其中____________．当|N|≥10时，n为__________且等于N的整数_________减1；当0<|N|<1时，n为________且n的绝对值等于N的第一个非零数字前0的个数．
a×10n
1≤|a|<10
正整数
位数
负整数
2．【教材P13习题T3变式】【2021·鄂尔多斯】世卫组织宣布冠状病毒最大直径约为0.000 000 12 m，0.000 000 12用科学记数法可表示为( )
A．1.2×10－7 B．0.12×10－6
C．12×10－8 D．1.2×10－6
A
3．【2021·桂林】细菌的个体十分微小，大约10亿个细菌堆积起来才有一颗小米粒那么大，某种细菌的直径是0.000 002 5米，用科学记数法表示这种细菌的直径是( )
A．25×10－5米 B．25×10－6米
C．2.5×10－5米 D．2.5×10－6米
D
4．【2021·齐齐哈尔】随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7 mm2将0.000 000 7用科学记数法表示为________．
7×10－7
5．【教材P13习题T2变式】用科学记数法表示的数是6.12×10－3，则原来的数是( )
A．0.061 2 B．6 120
C．0.006 12 D．612 000
C
6．【中考·贵港】用科学记数法表示的数是1.69×105，则原来的数是( )
A．169 B．1 690
C．16 900 D．169 000
D
7．【教材P34复习题T11改编】已知1 cm3的氢气的质量用科学记数法表示约为9×10－5 g，一块橡皮的质量为45 g.
(1)用小数表示1 cm3的氢气质量．
解：9×10－5 g＝0.000 09 g.
(2)一块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的多少倍？
45÷0.000 09＝500 000＝5×105.
故一块橡皮的质量是1 cm3的氢气质量的5×105倍．
8．已知22＝4，0.22＝0.04，0.022＝0.000 4，….
(1)猜想：0.000 22＝________________，用科学记数法表示为____________；
(2)发现规律：如果一个数的小数点后有n个数字，那么这个数的平方的小数点后有多少个数字？
0.000 000 04
4×10－8
解：有2n个数字．
9．某农科所要在一块长1.2×105 cm，宽2.4×104 cm的试验基地上培育新品种粮食，现培育每种新品种粮食需要边长为1.2×104 cm的正方形试验田，这块试验基地最多能培育几种新品种粮食？
解：2.4×104÷(1.2×104)＝2，
1.2×105÷(1.2×104)＝10，
2×10＝20(种)．
即这块试验基地最多能培育20种新品种粮食．