单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(－，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．x2＋＝1 D．x2＋＝1
【解析】选A.由题可知：a＝2b，c＝，
又a2＝b2＋c2，所以b2＝1，a2＝4，焦点在x轴上，故椭圆的方程为：＋y2＝1.
2．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( )
A． B． C．(1，0) D．(0，1)
【解析】选A.因为抛物线过点(1，4)，所以4＝2a，所以a＝2，所以抛物线方程为x2＝y，焦点坐标为.
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
【解析】选B.由已知，m＋1>0，即m>－1.
4．嫦娥五号月球探测器于2020年11月24日在文昌航空发射场发射.11月28日，嫦娥五号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道Ⅲ所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A． B． C． D．
【解析】选B.如图，设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，月球的半径为R，F为月球的球心，R＝×3 476＝1 738.由已知，|AF|＝100＋1 738＝1 838，|BF|＝400＋1 738＝2 138.则2a＝1 838＋2 138，解得a＝1 988，a＋c＝2 138，c＝2 138－1 988＝150，故椭圆的离心率为e＝＝≈.
5．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】选D.因为抛物线y2＝8x的焦点是(2，0)，
所以c＝2，a2＝4－1＝3，所以a＝，所以＝.所以此双曲线的渐近线方程是y＝±x.
6．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【解析】选C.B点坐标为(0，b)，由题意知，以B为圆心，2b为半径的圆与椭圆至多只有一个交点，即至多有一个解，消去x得y2－2by＋a2－3b2＝0，令Δ＝0，即(a2－2b2)2＝0，得e＝，所以e∈.
7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．－
【解析】选C.设点P(x0，y0)，则x－ eq \f(y,3) ＝1，
由题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，
则·＝(－1－x0，－y0)·(2－x0，－y0)
＝x－x0－2＋y，
由双曲线方程得y＝3(x－1)，
故·＝4x－x0－5(x0≥1)，
可得当x0＝1时，·有最小值－2.
8．已知点P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率
是( )
A． B． C．2 D．
【解析】选D.设直线PF1：y＝(x＋c)，则与渐近线y＝－x的交点为M，
因为M是PF1的中点，利用中点坐标公式，
得P，因为点P在双曲线上，所以满足－＝1，整理得c4＝5a2c2，解得e＝(负值舍去).
9．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋相切，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
【解析】选A.由题意得，联立直线与抛物线得x2－kx＋＝0，由Δ＝0得k＝±，即＝，所以e＝＝.
10．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值
为( )
A． B． C． D．5
【解析】选C.如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，
当P在M处时|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.
11．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】选D.设双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，F1三点共线以及P与N，F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
12．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． B． C． D．
【解析】选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
易知x1＞0，x2＞0，y1＞0，y2＞0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
所以x1x2＝4.①
因为|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，
且|FA|＝2|FB|，所以x1＝2x2＋2.②
由①②得x2＝1，所以B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，
得k＝.
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13．(2021·桂林高二检测)已知某椭圆过点，，则椭圆的标准方程为________．
【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)，
所以，解得：，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
14．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________.
【解析】由＋＝1知，a＝5，b＝4，所以c＝3，
即F1(－3，0)，F2(3，0)，所以|PF2|＝|F1F2|＝6.
又由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝10，
所以|PF1|＝10－6＝4，
于是＝·|PF1|·h
＝×4×＝8.
答案：8
15．已知双曲线x2－＝1的离心率等于，直线y＝kx＋2与双曲线的左右两支各有一个交点，则k的取值范围是________．
【解析】因为双曲线x2－＝1的离心率等于，所以a＝1，＝，c＝，b＝＝1，所以双曲线为x2－y2＝1，直线y＝kx＋2与双曲线联立可得(1－k2)x2－4kx－5＝0，
因为直线y＝kx＋2与双曲线的左右两支各有一个交点，
所以所以－1即k的取值范围是(－1，1).
答案：(－1，1)
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线－＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，＝ ，则p的值为__________．
【解析】抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l：x＝－，
双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，
可得A，B，
则＝＝，可得p＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
【解析】显然直线l的斜率存在，
故可设直线l：y＝k(x－1)，
联立
消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，
故x1＝，①
又|FA|＝2|BF|，所以＝2，
则x1－1＝2(1－x2)②
由①②得x2＝(x2＝1舍去)，
所以B，
得直线l的斜率为k＝kBF＝±2，
所以直线l的方程为y＝±2(x－1).
18．(12分)已知动点E到点A(2，0)与点B(－2，0)的直线斜率之积为－，点E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(1，0)作直线l与曲线C交于P，Q两点，且·＝－.求直线l的方程．
【解析】(1)设E(x，y)，因为动点E到点A与点B的直线斜率之积为－，
所以·＝－，
化为＋y2＝1，即为点E的轨迹曲线C的方程．
(2)设P，Q.
当l⊥x轴时，l的方程为：x＝1，代入：＋y2＝1，
解得P，Q.
·＝1－＝≠－.不符合题意，舍去．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为：y＝k，
代入：＋y2＝1，
化为x2－8k2x＋4k2－4＝0，Δ＞0.
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝x1x2＋k2
＝x1x2－k2＋k2＝＝－，解得k＝±1.
所以直线l的方程为x±y－1＝0.
19．(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程．
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，p>0，其准线方程为x＝－，
因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，
所以4＋＝6，所以p＝4，
所以此抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，
设直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有解得k＞－1且k≠0，且x1＋x2＝＝4，解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以所求k的值为2.
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．
【解析】(1)由已知解得a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋，
代入＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0，
Δ＝(8k)2－16(1＋4k2)>0
解得k>或k<－，
又x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2，
因为坐标原点O在以AB为直径的圆内，
所以·<0，
所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2 ＝(1＋k2)＋k＋2<0，解得k<－或k>，故l斜率的取值范围为∪.
21．(12分)设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，A(0，2)，B(2，0)，且＋＝.
(1)求椭圆C的方程．
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E，F，求三角形OEF的面积．
【解析】(1)由题意知，b＝2，
设P(x，y)，A(0，2)，B(2，0)，
由＋＝，得(2，2)＝(x，y)，则
椭圆方程为＋＝1，可得＋＝1，即a2＝8.所以椭圆方程为＋＝1.
(2)c＝＝2.
所以直线l的方程为y＝x－2，
代入椭圆方程＋＝1，
整理得：3x2－8x＝0，则x＝0或x＝.
所以交点坐标为(0，－2)和，
所以|EF|＝＝，O到直线l的距离d＝＝.
所以S△OEF＝××＝.
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点，且焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△F1AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程．
【解析】(1)由已知解得
所以椭圆C方程为＋y2＝1.
(2)易知F1(－，0)，F2(，0)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若直线l的倾斜角为0，显然F1，A，B三点不构成三角形，故直线l的倾斜角不为0，可设直线l的方程为x＝my＋，由
消x可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0.
则y1＋y2＝ －，y1y2＝ －.
所以|y1－y2|＝
＝＝，
所以△F1AB的面积S＝|F1F2|·|y1－y2|
＝4·＝4·
＝4·≤4·＝2，
当且仅当m2＋1＝3，即m＝±时，等号成立，S取得最大值2，此时直线l的方程为x＋y－＝0，或x－y－＝0.
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10单元形成性评价(二)(第二章)
(120分钟 150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为(－，0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．x2＋＝1 D．x2＋＝1
2．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4)，则焦点坐标为( )
A． B． C．(1，0) D．(0，1)
3．若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，3) B．(－1，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－1)
4．嫦娥五号月球探测器于2020年11月24日在文昌航空发射场发射.11月28日，嫦娥五号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道Ⅲ所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里．已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A． B． C． D．
5．已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
6．(2021·全国乙卷)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
7．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )
A．1 B．0 C．－2 D．－
8．已知点P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)右支上一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段PF1的中垂线，则该双曲线的离心率
是( )
A． B． C．2 D．
9．若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋相切，则C的离心率为( )
A． B． C．2 D．
10．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值
为( )
A． B． C． D．5
11．P是双曲线－＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
12．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
13．(2021·桂林高二检测)已知某椭圆过点，，则椭圆的标准方程为________．
14．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且满足|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于________.
15．已知双曲线x2－＝1的离心率等于，直线y＝kx＋2与双曲线的左右两支各有一个交点，则k的取值范围是________．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线－＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，＝ ，则p的值为__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．
18．(12分)已知动点E到点A(2，0)与点B(－2，0)的直线斜率之积为－，点E的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(1，0)作直线l与曲线C交于P，Q两点，且·＝－.求直线l的方程．
19．(12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，又知此抛物线上一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程．
(2)若此抛物线方程与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
20．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点M.
(1)求椭圆C的方程；
(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．
21．(12分)设有三点A，B，P，其中点A，P在椭圆C：＋＝1(a>b>0)上，A(0，2)，B(2，0)，且＋＝.
(1)求椭圆C的方程．
(2)若过椭圆C的右焦点的直线l倾斜角为45°，直线l与椭圆C相交于E，F，求三角形OEF的面积．
22．(12分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)经过点，且焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△F1AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程．
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