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8.1 二元一次方程组
第2课时 二元一次方程组
第8章 二元一次方程组
人教版 七年级下
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D
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两个 (1)共含有两个未知数 (2)一次
B
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B
D
D
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二元一次方程
公共解；未知数
A
A
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见习题
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见习题
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见习题
见习题
1．有________未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，将这样的两个方程合在一起组成的方程组叫做二元一次方程组．二元一次方程组满足的条件：
(1)_______________________________；
(2)每个方程都是___________方程．
两个
共含有两个未知数
一次
D
3．一般地，二元一次方程组的两个方程的__________，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的解指的是同时满足两个方程的一对________的值，方程组的解必定是其中每一个方程的解，但方程组中方程的解不一定是方程组的解．
公共解
未知数
A
B
B
【点拨】将x＝3代入x＋y＝5，可得y＝2，将x＝3，y＝2代入x＋my＝7，得3＋2m＝7，解得m＝2.
【点拨】方程ax＋cy＝1两边同乘x，cx－by＝2两边同乘y后相减，然后把方程组的解代入，整理可得a，b间的关系．
D
8．建立二元一次方程组的模型，其实质是根据题中所反映的数量关系，依据相关定义、性质分别列出________________，并组成方程组．
二元一次方程
9．(2019·邵阳)某出租车起步价所包含的路程为0 km～2 km，超过2 km的部分按每千米另收费(不足1 km按1 km算)．津津乘坐这种出租车走了7 km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13 km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过2 km后每千米收费y元，则下列方程正确的是( )
【答案】D
10．(2020·宁波)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为( )
【答案】A
【点拨】将各组解代入方程来验证，使两个方程都成立的就是方程组的解．
解：③④⑤是方程2x＋31y＝－11的解．
12．已知两个二元一次方程：①3x－y＝0；②7x－2y＝2.
(1)对于给出的x值，在下表中分别写出对应的y值；
－6
x －2 －1 0 1 2 3
①y
②y
－3
0
3
6
9
－8
－4.5
－1
2.5
6
9.5
13．根据有关信息设未知数，列二元一次方程组(不解方程组)．
母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，从图中信息可求1束鲜花和1个礼盒的价格．
根据魏子航和朱明浩两名同学的对话，求a2 023＋b的值．
【思路点拨】将两人得出的解分别代入没有看错系数的方程中，即可得到关于b，a的方程，从而求得a，b的值．(共26张PPT)
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第8章 二元一次方程组
人教版 七年级下
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x－y(答案不唯一)
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见习题
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x－y(答案不唯一)
B
B
C
解：点A在第二象限．理由如下：
因为a没有平方根，所以a<0.所以－a>0.
所以点A在第二象限．
(2)若点A到x轴的距离是点B到x轴距离的3倍，求点B的坐标．
9．如图，在四边形ABCD中，∠C＋∠D＝180°，∠A－∠B＝40°.求∠B的度数．
D
11．(2020 海南)某村经济合作社决定把22吨竹笋加工后再上市销售，刚开始每天加工3吨，后来在乡村振兴工作队的指导下改进加工方法，每天加工5吨，前后共用6天完成全部加工任务，问该合作社改进加工方法前后各用了多少天？
C
12．(2019 吉林)问题解决
如图，糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？
反思归纳
现有a根竹签，b个山楂，若每根竹签串c个山楂，还剩余d个山楂，则下列等式成立的是________(填写序号)．
(1)bc＋d＝a；(2)ac＋d＝b；(3)ac－d＝b.
(2)
【点拨】本题也可以把2x＋1，4y－3分别换元．
14．(2019 宿迁)下面三个天平左盘中“ △”“ □”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为________．
10
15．已知|3a－b－4|＋|4a＋b－3|＝0，求2a－3b的值．
【点拨】把2x＋3y看成一个整体，用代入法求解．(共23张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第4课时 列二元一次方程接百分率问题
第8章 二元一次方程组
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20万元；30万元
2．(中考·青岛)5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少．设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，根据题意列关于x，y的方程组为______________________．
3．在当地农业技术部门的指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收．如图是小明、爸爸、妈妈的一段对话．
请你用所学过的知识帮助小明算出他们家今年种植菠萝的收入(收入－投资＝净赚)．
5．(中考·长沙)长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为( )
A．562.5元 B．875元
C．550元 D．750元
【答案】B
6．(2019 河池)在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
(1)跳绳、毽子的单价各是多少元？
(2)该店在“五 四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1 800元，该店的商品按原价的几折销售？
7．(中考 济南)学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40 kg，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如图所示的信息．
(1)请问采摘了黄瓜和茄子各多少千克？
解： 30×(1.5－1)＋10×(2－1.2)＝23(元)．
答：这些采摘的黄瓜和茄子可帮农民伯伯赚23元．
(2)这些采摘的黄瓜和茄子可帮农民伯伯赚多少元？
8．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．
(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
解：80×40＋100×120－(80×0.8×40＋100×0.75×120)
＝3 640(元)．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3 640元．
9．(2019 淄博)“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A，B两种产品在欧洲市场热销．今年第一季度这两种产品的销售总额为2 060万元，总利润为1 020万元(利润＝售价－成本)．其每件产品的成本和售价信息如下表：
A B
成本/(单位：万元/件) 2 4
售价/(单位：万元/件) 5 7
问该公司A，B两种产品的销售件数分别是多少？
10．基本关系式：
(1)本息和＝本金＋利息；
(2)利息＝本金×利率×期数．
11．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为________、________．
20万元
30万元
12．张文以两种方式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，所得利息为64.8元，已知当时这两种储蓄方式年利率的和为4.23%.这两种储蓄方式的年利率各是多少(不计利息税) (共13张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第2课时 列二元一次方程组解几何问题
第8章 二元一次方程组
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C
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A
D
B
见习题
B
1．用二元一次方程组解几何图形问题时，要根据几何图形的性质、公式结合图形中反映的数量关系，建立二元一次方程组的模型．
2．两个角的度数之比是7 ∶3，它们的差是72°，则这两个角的关系是( )
A．相等 B．互余
C．互补 D．无法确定
C
3．已知梯形的面积是42 cm2，高是6 cm，下底比上底的2倍少1 cm，则梯形的上底和下底分别为( )
A．6 cm和11 cm B．5 cm和9 cm
C．4 cm和7 cm D．7 cm和13 cm
B
4．如图，苏小强和文小红一起搭积木，苏小强所搭的“小树”高度为23 cm，文小红所搭的“小树”高度为22 cm.设每块A型积木的高为x cm，每块B型积木的高为y cm，则x，y的值分别为( )
A．1，3 B．4，5
C．2，6 D．3，6
B
5．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的式子表示地面总面积．
解：地面总面积为(6x＋2y＋18)m2.
(2)已知客厅的面积比卫生间的面积多21 m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍．若铺1 m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？
6．(中考·福建)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是( )
【答案】A
*7.如图，10个相同的小长方形拼成1个大长方形，其中每1个小长方形的面积为( )
A．400 cm2 B．500 cm2
C．600 cm2 D．576 cm2
【点拨】由题图可以发现：每个小长方形的长是宽的4倍，长与宽的和是60 cm，由以上数量关系列方程组求解即可．
D
8．(中考·攀枝花)小明在拼图时，8个一样大小的长方形如图①那样，恰好可以拼成1个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成如图②那样的正方形．咳，怎么中间还留下了1个洞，恰好是边长为3 cm的小正方形！
请问：他们使用的小长方形的长
和宽分别是多少厘米？(共25张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第3课时 列二元一次方程组解行程与配套问题
第8章 二元一次方程组
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见习题
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1．基本关系式：
(1)相遇问题：同时不同地相向而行时，两人走的路程之和＝两地的距离．
(2)追及问题：同地不同时而行时，前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地同向而行时，两人走的路程之差＝两地的距离．
(3)航行问题：顺流速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度．
2．(中考·齐齐哈尔)爸爸沿街匀速行走，发现每隔7分钟从背后驶过一辆103路公交车，每隔5分钟从迎面驶来一辆103路公交车，假设每辆103路公交车行驶速度相同，而且103路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么103路公交车行驶速度是爸爸行走速度的________倍．
【答案】6
3．(2019·百色)一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了6小时，逆流航行比顺流航行多用了4小时．
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
解：设该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间为z小时．
依题意，得(12＋3)z＋(12－3)z＝90，解得z＝3.75.
所以(12＋3)×3.75＝56.25(千米)．
答：甲、丙两地相距56.25千米．
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
4．一列快车长100 m，一列慢车长300 m，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为10 s；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为2 s．求两车的平均速度．
5．(中考·雅安)甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min后两人首次相遇，此时乙还需要跑300 m才跑完第一圈．求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
6．A，B两镇相距12 km，甲从A镇、乙从B镇骑车同时出发，相向而行，设甲、乙行驶的速度分别为u km/h，υ km/h.
(1)出发后30 min相遇；
(2)甲行驶的速度比乙行驶的速度快8 km/h.
试根据题意，由条件列出方程组，并求解．
7．(2020·江西)放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元．小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花费19元；小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．
(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱．他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明．
解：小贤和小艺带的总钱数为19＋2＋26＝47(元)．
两人合在一起购买文具所需费用为5×(2＋1)＋(3－0.5)×(3＋7)＝40(元)．
∵47－40＝7(元)，3×2＝6(元)，7＞6，
∴他们合在一起购买，才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品．
8．某教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3 m长的布料可做上衣2件或裤子3条，1件上衣和1条裤子为1套，计划用600 m长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？
A
9．某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车规定满载，并且只装一种水果)．下表为装运甲、乙、丙三种水果的质量．
水果种类 甲 乙 丙
每辆汽车能装的质量/t 4 2 3
(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22 t到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各有多少辆？
(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72 t到B地销售(每种水果不少于1车)，假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各有多少辆(结果用含m的式子表示)
10．(2019·烟台)亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
(1)计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
(2)若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？(共26张PPT)
8.2 消元——解二元一次方程组
第2课时 加减消元法
第8章 二元一次方程组
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D
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(1)未知数的系数变为相等或互为相反数 (2)相加或相减 (4)代入
D
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D
(1)5x－2；3x－2(5x－2)＝－3
(2)②×2；7x＝7
C
10
C
D
②×3－①×2(答案不唯一)
见习题
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见习题
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见习题
见习题
14
见习题
1．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)变形：看其中一个未知数的系数是否相等或互为相反数，若既不相等也不互为相反数，则利用等式的性质把某个_________________________________________；
(2)加减：把两个方程的两边___________________进行消元；
(3)求解：解消元后的一元一次方程；
(4)回代：把求得的未知数的值________方程组中某个简单的方程中，求出另一个未知数的值；
(5)写出解．
未知数的系数变为相等或互为相反数
相加或相减
代入
D
D
②×3－①×2
(答案不唯一)
【点拨】A.①×2－②可以消去x，不符合题意；
B．②×(－3)－①可以消去y，不符合题意；
C．①×(－2)＋②可以消去x，不符合题意；
D．①－②×3无法消元，符合题意．
D
D
5x－2
3x－2(5x－2)＝－3
②×2
7x＝7
C
【答案】C
【点拨】由平方和算术平方根的非负性建立方程组，解方程组时可以拆项变形后整体代入求解．
【点拨】本题中方程的系数较大，仿照材料中的解法，将两个方程相加后可约去系数，为解题提供便利．
【点拨】解分母中含字母的方程组时，可利用换元法将其转化为二元一次方程组，求出解后还需要再求出原未知数．
【思路点拨】把方程组中的a，b当作未知数，c当作已知数，将方程组视为关于a，b的二元一次方程组，用含c的式子表示出a，b，再代入所求式子即可求解．(共29张PPT)
*8.4 三元一次方程组的解法
第8章 二元一次方程组
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三；三
B
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A
C
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C
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代入；加减；二元；二元一次方程组；
一元一次方程
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见习题
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3∶20
见习题
1．方程组含有________个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有________个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
三
三
2．三元一次方程组必须满足的条件：
(1)________________________________________；
(2)________________________________________；
(3)________________________________________．
方程组含有三个未知数
每个方程中含未知数的项的次数都是1
方程组中一共有三个整式方程
D
4．解三元一次方程组的基本思路：通过“________”或“________”进行消元，把“三元”转化为“________”，使解三元一次方程组转化为解________________，进而再转化为解______________.
代入
加减
二元
二元一次方程组
一元一次方程
B
A
【答案】C
C
9．根据实际问题中蕴含的等量关系建立方程组模型，列出符合条件的三元一次方程组以达到解决问题的目的．
平移表中带阴影的长方形框，长方形框中三个数的和可能是( )
A．2 019 B．2 018 C．2 016 D．2 013
*10.将正整数1至2 022按一定规律排列，如下表：
【点拨】设左、中、右三个数依次为x，y，z，则x＝y－1，z＝y＋1，因此x＋y＋z＝y－1＋y＋y＋1＝3y，所以B不合题意．又因为y不能取最左列和最右列的数，所以A，C均不合题意．故应选D.
【答案】D
为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3∶4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是__________．
【答案】3∶20
13．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－2时，y＝－1；当x＝0时，y＝2；当x＝2时，y＝0.求a，b，c的值．
14．已知|x－8y|＋2(4y－1)2＋3|8z－3x|＝0，求x＋y＋z的值．
16．已知x＋2y－z＝9，2x－y＋8z＝18，求x＋y＋z的值．
【思路点拨】可设法将两个已知等式变形，使x，y，z的系数相等，用整体思想求值．也可将其中一字母当成已知数，解二元一次方程组，求出解后代入求值．(共24张PPT)
8.2 消元——解二元一次方程组
第3课时 用适当的方法解二元一次方程组
第8章 二元一次方程组
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C
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消元；二元；一元；代入；加减；代入；加减；加减
C
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D
D
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C
C
B
见习题
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见习题
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见习题
见习题
1．解二元一次方程组的基本思路是________，即变“________ ”为“________ ”，其方法有两种：________消元法和________消元法 .
当方程组中某个方程的系数比较简单(尤其是未知数的系数为±1)时，用________消元法为宜；当两个方程的某一个未知数的系数的绝对值相等时，用________消元法为宜；若不具备上述条件，可以通过适当变形，用________消元法求解．
消元
二元
一元
代入
加减
代入
加减
加减
C
C
B
5．已知y＝ax＋b，当x＝2时，y＝－2，当x＝－1时，y＝4，则a和b的值分别是( )
A．a＝－6，b＝－2
B．a＝2，b＝6
C．a＝－2，b＝2
D．a＝0，b＝4
【答案】C
D
D
【答案】C
【答案】2
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×”．
解：解法一中的计算有误(标记略)．
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．
【点拨】解法一是加减消元法，解法二是整体代入法．此方程组也可以用解法二继续解答，请同学们自行完成．
11．(中考·扬州)对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b＝2a＋b.例如3 4＝2×3＋4＝10.
(1)求2 (－5)的值；
解：2 (－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1.
(2)若x (－y)＝2，且2y x＝－1，求x＋y的值．
【思路点拨】一般方法：可将方程组化简成一般形式，用代入法或加减法解方程组；
特殊方法：可将x＋y，x－y分别作为一个整体，用换元法解．(共19张PPT)
阶段思想专训
解二元一次方程组常用的五种数学思想
第8章 二元一次方程组
人教版 七年级下
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1．(2020·扬州)阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：
已知实数x，y满足3x－y＝5①，2x＋3y＝7②，求x－4y和7x＋5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得x－4y＝－2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19.这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
－1
5
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
(3)对于实数x，y，定义新运算：x y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知 3 5＝15，4 7＝28，那么1 1＝________．
－11
【点拨】当未知数是“多项式”时，可以把其用其他字母代替，即用换元法转化为新的方程组来求解．
【点拨】将两个方程组重新分类组合，即将两个已知系数的方程合成一个方程组，两个未知系数的方程合成另一个方程组，根据两个方程组的解相同解决问题．(共27张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时列二元一次方程组解和、差、倍、分问题
第8章 二元一次方程组
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5
(1)数量关系(2)直接；间接
(3)等量关系；方程组(4)代入消元法；加减消元法
4
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8
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C
A
A
10
A
见习题
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D
14
见习题
1．用方程组解应用题的一般步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的____________________；
(2)设元：用字母表示题目中的未知数，可________设未知数，也可________设未知数；
(3)列方程组：挖掘题中的所有条件，找出两个与未知数相关的__________，并依此列出_____________________；
数量关系(2) ；
直接
间接
等量关系
方程组
(4)解方程组：利用______________或______________解所列方程组，求出未知数的值；
(5)检验作答：检验所求的解是否符合题目的实际意义，然后作答．
代入消元法
加减消元法
2．小明买了50分和20分的邮票共16枚，花了5元9角钱，20分和50分的邮票各买了多少枚？根据题意完成下列各题：
(1)设小明20分的邮票买了x枚，则50分的邮票买了___________枚，由题意可得一元一次方程_____________________．
(16－x)
20x＋50(16－x)＝590
(2)设20分的邮票买了x枚，50分的邮票买了y枚，由题意可得二元一次方程组___________________________．
(3)设买20分的邮票花了m元，买50分的邮票花了n元，由题意可得二元一次方程组_____________________．
3．基本数量关系：各部分数量之和＝全部数量；
较大量＝较小量＋多余量．
4．等量关系：各部分数量之和不变．
*5.(2020·常德)今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是________次．
【答案】4
6．(中考·泰安)夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5 300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为( )
【答案】C
【答案】A
A
A
10．(中考·张家界)列方程(组)解应用题．
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元，求人数和羊价各是多少．
D
12．一次马拉松比赛中，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，如图是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
13．(2020 徐州)本地某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
收费标准
目的地 起步价/元 超过1千克的部分/(元/千克)
上海 a b
北京 a＋3 b＋4
实际收费
目的地 质量/千克 费用/元
上海 2 9
北京 3 22
求a，b的值．
14．(中考 连云港)某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每1间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每1间客房住9人，那么就空出1间客房．
(1)求该店有客房多少间，房客多少人．
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性定客房18间以上(含18间)，房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何定房更合算？
解：若每间客房住4人，则63名房客至少需要客房16间，需付费20×16＝320(钱)；
若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8＝288(钱)．
288钱<320钱，
故选择一次性定客房18间更合算．
答：若诗中“众客”再次一起入住，他们选择一次性定客房18间更合算．(共25张PPT)
8.3 实际问题与二元一次方程组
第5课时 列二元一次方程组解数字、工程、计费问题
第8章 二元一次方程组
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1
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4
(1)100c＋10b＋a
5
见习题
6
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见习题
见习题
1．基本关系式：
(1)一个三位数，百位数字为c，十位数字为b，个位数字为a，则该三位数可表示为______________；
(2)用数位上的数字表示数的方法：个位上的数字×1，十位上的数字×10，百位上的数字×100，以此类推，然后把它们加起来就可以表示一个多位数．
100c＋10b＋a
3．有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45.又知百位数字的9倍比这个三位数去掉百位数字后剩下的两位数小3，求原三位数．
4．有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146；如果用这个两位数除以这个一位数，则商是6，余数是2.求这个两位数．
5．基本关系式：
(1)工作总量＝工作效率×工作时间；
(2)总工作量＝各部分工作量之和．
6．建设中的大外环路是某市的一项重点民生工程．某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成．由于特殊情况需要，公司抽调甲队外援施工，由乙队先单独施工40天后甲队返回，两队又共同施工了110天，这时甲、乙两队共完成土方量103.2万立方．问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方？
7．(中考 朝阳)为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表是某省的电价标准(每月)．
阶梯 电量 电价
一档 0度～180度 0.6元/度
二档 181度～400度 二档电价
三档 401度及以上 三档电价
例如：方女士家5月份用电500度，电费＝180×0.6＋220×二档电价＋100×三档电价＝352元；李先生家5月份用电460度，缴费316元．请问表中二档电价、三档电价各是多少？
8．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3 km，超过3 km的部分按另外的标准收费(不足1 km，按1 km计算)．甲说：“我乘出租车走了5 km，付了10元．”乙说：“我乘出租车走了8 km，付了16元．”
(1)请你算一算，这种出租车的起步价是多少元？超过3 km后，每千米的车费是多少元？
(2)假如你的身上只有20元，那么你乘出租车不能超过多少千米？
解：设当20元都花掉时，乘出租车走了z km.
由题意得6＋2(z－3)＝20，
解得z＝10.
所以当身上只有20元时，乘出租车不能超过10 km.
9．(中考 遵义)上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体．目前，某通信公司推出消费优惠新招——“定制套餐”．消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信费．下表是流量与语音的阶梯定价标准．
流量阶梯定价标准
使用范围 阶梯资费/(元/MB)
1 MB～100 MB a
101 MB～500 MB 0.07
501 MB～20 GB b
语音阶梯定价标准
使用范围 阶梯资费/(元/min)
1 min～500 min 0.15
501 min～1 000 min 0.12
1 001 min～2 000 min m
【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600 min语音通话费＝0.15×500＋0.12×(600－500)＝87(元)】
(1)甲定制了600 MB的月流量，花费48元；乙定制了2 GB的月流量，花费120.4元．求a，b的值．(注：1 GB＝1 024 MB)
(2)甲的套餐费用为199元，其中包含600 MB的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1 GB的月流量，二人均定制了超过1 000 min的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300 min.求m的值．
解：设甲的套餐中定制了x(x>1 000)min的每月通话时间，则丙的套餐中定制了(x＋300)min的每月通话时间．
丙定制了1 GB的月流量，需花费100×0.15＋(500－100)×0.07＋(1 024－500)×0.05＝69.2(元)．
10．(2019·盐城)体育器材室有A，B两种型号的实心球，1只A型球与1只B型球的质量共7千克，3只A型球与1只B型球的质量共13千克．
(1)每只A型球、B型球的质量分别是多少千克？
(2)现有A型球、B型球的质量共17千克，则A型球、B型球各有多少只？(共28张PPT)
8.1 二元一次方程组
第1课时 二元一次方程
第8章 二元一次方程组
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B
5
(1)两 (2)1 (3)整式；整式
1
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B
A
等式；ax＋b；ay＋b
10
A
C
相等；无数
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B
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B
见习题
C
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见习题
见习题
见习题
1．二元一次方程满足的条件：(1)方程中含有________个未知数，即未知数的系数不能为0；
(2)含有未知数的项的次数都是______；
(3)二元一次方程是________方程，即等式的左右两边必须都是________(分母中不含有未知数)．
两
1
整式
整式
B
3．方程ax－4y＝x－1是二元一次方程，则a的取值为( )
A．a≠0 B．a≠－1 C．a≠1 D．a≠2
C
4．一般地，使二元一次方程两边的值________的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有________个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
相等
无数
1
B
6．二元一次方程5a－11b＝21( )
A．有且只有一解 B．有无数解
C．无解 D．有且只有两解
【答案】A
A
9．将一个二元一次方程改写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，方法是利用__________的性质将其变形为y＝________(或x＝________)的形式，其中a，b为常数，a≠0.
等式
ax＋b
ay＋b
10．11x－9y＝6，用含x的整式表示y，得y＝________；用含y的整式表示x，得x＝__________．
C
12．笼中有x只鸡、y只兔，共有36只脚，能表示其中数量关系的方程是( )
A．x＋y＝18 B．x＋y＝36
C．4x＋2y＝36 D．2x＋4y＝36
D
*13.(2019·天门)把一根9 m长的钢管截成1 m长和2 m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1 m长的钢管有a根，则a的值可能有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
B
*14.(2020·齐齐哈尔)母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每枝2元，百合每枝3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
15．已知方程(2m－4)xm＋3＋(n＋3)y|n|－2＝6是关于x，y的二元一次方程，试求m，n的值．
解：因为方程(2m－4)xm＋3＋(n＋3)y|n|－2＝6是关于x，y的二元一次方程，
所以m＋3＝1，|n|－2＝1，2m－4≠0，n＋3≠0.
解得m＝－2，n＝3.
17．已知方程3x＋y＝12.
(1)用含x的式子表示y；
解：y＝12－3x.
(2)用含y的式子表示x；
(4)写出方程的两个解．
(3)求当x＝2时y的值及当y＝24时x的值；
解：当x＝2时，y的值为6；
当y＝24时，x的值为－4.
18．(1)写出二元一次方程x＋2y＝6的正整数解；
(2)写出二元一次方程2x＋3y＝15的非负整数解．
【点拨】先利用等式的性质将原方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式，再尝试代入数值求解．
19．某电视台黄金时段的2 min广告时间内，插播时间分别为15 s和30 s的两种广告，15 s的广告每播1次收费0.6万元，30 s的广告每播1次收费1万元，要求每种广告播放不少于2次．若设15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次．
(1)试写出关于x，y的方程．
【思路点拨】根据“15 s的广告播放x次，30 s的广告播放y次”列二元一次方程；
解：所求方程为15x＋30y＝120.
(2)两种广告播放的次数有哪几种安排方式？
【思路点拨】实质是求二元一次方程满足条件的解；
∴两种广告播放的次数有两种安排方式：
①15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次；
②15 s的广告播放2次，30 s的广告播放3次．
(3)电视台选择哪种方式播放，利润最大？最大利润是多少？
解：∵按方式①所得利润为0.6×4＋1×2＝4.4(万元)，按方式②所得利润为0.6×2＋1×3＝4.2(万元)，∴按15 s的广告播放4次，30 s的广告播放2次所得的利润最大，最大利润是4.4万元．
【思路点拨】计算几种满足条件的解的利润情况，进行比较即可求出．(共30张PPT)
阶段归类专训
列方程(组)解应用题的八种常见类型
第8章 二元一次方程组
人教版 七年级下
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5
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B
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见习题
1．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组装修费用共3 520元．若先请甲组单独施工6天，再请乙组单独施工12天也可以完成，需付两组装修费用共3 480元，问：
(1)甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？
(2)单独请哪组，商店所付装修费用较少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
解：由题意，得：①甲组单独施工12天完成，商店需付装修费用3 600元；乙组单独施工24天完成，商店需付装修费用3 360元，比较可知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天可盈利200×12＝2 400(元)．
3 600－2 400＝1 200(元)＜3 360元，
故选择甲组单独施工比选择乙组单独施工有利于商店经营．
②甲、乙两组同时施工8天可以完成，需付装修费用3 520元，此时工期比甲组单独施工少4天，商店早开业4天可盈利4×200＝800(元)．
3 520－800＝2 720(元)＜3 600元，
故选择甲、乙两组同时施工比选择甲组单独施工合算．
综上所述，甲、乙两组同时施工有利于商店经营．
2．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下图是购买门票时，小明与他爸爸的对话．
试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱．说明理由．
解：按团体票一次性购买16张门票更省钱．理由如下：
按团体票一次性购买16张门票需要35×60%×16＝336(元)．
因为336<350，
所以按团体票一次性购买16张门票更省钱．
3．“最美女教师”张丽莉，为抢救两名学生，以致双腿高位截肢，社会各界纷纷为她捐款．某中学九年级十班40名同学参加了捐款活动，共捐款400元，捐款情况如下表，表格中捐款10元和15元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．
请你用学过的知识算出捐款10元和15元的人数分别是多少．
4．(2019 娄底)某商场用14 500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表所示：
类别 成本价/(元/箱) 销售价/(元/箱)
甲 25 35
乙 35 48
求：(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱；
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元．
解：(35－25)×300＋(48－35)×200＝5 600(元)．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5 600元．
5．某次知识竞赛有20道必答题，每一道题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一道题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲、乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1道，其余均答对．
(1)甲队必答题答对的有多少道题？答错或不答的有多少道题？
(2)抢答赛中，乙队抢答对了第1道题，又抢到了第2道题，但还没作答，甲队拉拉队队员小黄说：“我们甲队输了！”小汪说：“小黄的话不一定对！”请你举一例说明“小黄的话”有何不对．
解：举例如下(答案不唯一)：甲队现在得分为170分，乙队现在得分为19×10－5＋10＝195(分)．
若第2道题乙队抢答错，则乙队得分为195－20＝175(分)；
若第3道题甲队抢答对，则甲队最后得分为170＋10＝180(分)，
故甲队获胜．
所以“小黄的话”不对．
6．(中考·牡丹江)如图，在长为15、宽为12的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，则图中阴影部分的面积为( )
A．35 B．45 C．55 D．65
B
7．宏远商贸公司有A，B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：
体积/(m3/件) 质量/(吨/件)
A型商品 0.8 0.5
B型商品 2 1
(1)已知一批商品有A，B两种型号，体积一共是20 m3，质量一共是10.5吨，求A，B两种型号的商品分别有几件；
(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6 m3，其收费方式有以下两种：
①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；
②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．
若将(1)中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式使运费最少？并求出该方式下的运费是多少元．
解：①若按车收费：10.5÷3.5＝3(辆)，
但6×3＝18(m3)＜20 m3，
所以3辆车不够，需要4辆车．4×600＝2 400(元)．
②若按吨收费：200×10.5＝2 100(元)．
③先按车收费，用3辆车运送18 m3，付费3×600＝1 800(元)，
再按吨收费，运送1件B型产品，付费200×1＝200(元)，
共需付1 800＋200＝2 000(元)．
因为2 400＞2 100＞2 000，
所以先按车收费，用3辆车运送18 m3，再按吨收费，运送1件B型产品，运费最少为2 000元．
8．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有26吨货物，计划用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费用．
解：方案①的租金为6×100＋2×120＝840(元)；
方案②的租金为2×100＋5×120＝800(元)．
因为840＞800，所以最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元．(共21张PPT)
8.2 消元——解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
第8章 二元一次方程组
人教版 七年级下
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1
2
3
4
D
5
(2)未变形的方程；未知数
(3)一元一次方程；未知数
二元一次方程组；二元一次方程组
6
7
8
9
B
A
B
10
C
D
D
见习题
11
12
13
见习题
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见习题
见习题
1．用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
(1)从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来；
(2)把(1)中所得的方程代入________________，消去一个__________；
(3)解所得到的______________，求得一个__________的值；
(4)把求得的一个未知数的值代入(1)中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解．
未变形的方程
未知数
一元一次方程
未知数
D
D
D
5．建立二元一次方程组模型，用代入消元法解决问题主要有两种类型：
一是根据数学的相关定义和性质列出_______________的模型，用代入消元法求解；
二是依据实际问题中的数量关系列出_______________的模型，用代入消元法求解．
二元一次方程组
二元一次方程组
B
A
C
*9.(2020·绍兴)同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210 km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105 km.现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地( )
A．120 km B．140 km
C．160 km D．180 km
【答案】B
【点拨】类比材料中的解法，将方程②变形后，将方程①整体代入求解，体现了整体思想.
