广东省珠海二高2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版，含答案）

珠海第二高中2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试题
考试时间　120　分钟，总分　150　分
第Ⅰ卷（选择题）
1、 选择题（每小题只有一个正确的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、如下图（左），设直线的斜率分别为，则用“＜”号将它们的斜率连接起来后，得到的结果为（ ）
A、 B、
C、 D、
（第1题图） （第2题图）
2、如上图（右），在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
3、如果且，那么直线不通过（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
4、如下图（左），四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
（第4题图） （第7题图）
5、已知平面的法向量为，直线的方向向量为，那么“”是“直线与平面夹角为30°”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6、圆关于直线对称的圆的方程为(　　)
A、 B、
C、 D、
7、如图（第7题图），已知点P在正方体的对角线上，，设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8、已知点在圆内，直线是以为中点的弦所在的直线，直线的方程为，则（ ）
（A）且直线与圆相离 （B）且直线与圆相切
（C）且直线与圆相交 （D）且直线与圆相离
二、多选题（每小题有2个或3个正确的选项，本大题共4小题，每小题5分，全对得5分，部分对得2分，选错得0分，共20分）
9、如下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，以直线，， 分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则( )
（第9题图）
A. 点B1的坐标为
B. 点C1关于点B对称的点为
C. 点A关于直线对称的点为
D. 点C关于平面对称的点为
10、已知点，，，且点是圆：上的一个动点，
则的值可以是（ ）
A. 66 B.79 C. 86 D. 89
11、已知圆在曲线的内部，则实数的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．
12、如下图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作于D；把 沿翻折至的位置，连结；在翻折的过程中，其中正确的结论是（ ）
（第12题图）
A. ； B. 存在某个位置，使；
C. 若，则的长是定值； D. 若，则四面体的体积最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则实数的值为 ____ ．
14、已知直线，若直线，则直线的倾斜角大小为_____________.
15、在空间直角坐标系中，点为平面ABC外一点，其中，，若平面ABC的一个法向量为，则点P到平面ABC的距离为______ ．
16、已知直线上存在一点，经过点可以向圆引两条切线、，切点分别为、，且，则实数的取值范围是_________ ．
四、解答题（本大题共6小题，第一题满分10分，其余各题满分12分，共70分）
17、（10分）如下图，已知三角形的顶点为，，，
求： （1）AB边上的中线CM所在直线的方程；（2）△ABC的面积．
18、（12分）如图，直四棱柱 的底面 是平行四边形，， ，，点 是 的中点，点 在 且.
（1）证明：平面； （2）求锐二面角平面角的余弦值．
19、（12分）在平面直角坐标系中，已知的顶点，，且，（1）设的外接圆为，请写出周长最小时的标准方程。
（2）设顶点，求顶点A的轨迹方程及面积的最大值。
20、（12分）已知圆C:.
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求使得取得最小值的点P的坐标。
21、（12分）如图所示，等腰梯形ABCD中,，，，E为CD中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）．
（1）证明：平面平面；
（2）若，试判断线段上是否存在一点(不含端点),使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值;若不存在，说明理由．
22、（12分）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上、半径为的圆位于轴右侧，且与直线相切.
（1）在圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．
（2）将圆向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到圆，若四边形为圆的内接正方形，P、Q分别是边、的中点，当正方形CDEF绕圆心转动时，求的取值范围.
高二年级　　数学答案
1---8：DBCA ABCA
9、ACD 10、BC 11、AB 12、ACD
13、 14、 15、 16、
17、（1）解：AB中点M的坐标是， 中线CM所在直线的方程是，即
（2）解法一： ，直线AB的方程是，点C到直线AB的距离是 ，所以△ABC的面积是．
解法二：设AC与轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是， ，
18、（1）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系
则
∴∴
∴，
又， ∴ 平面．
（2）设向量是平面的法向量则 ，
而
∴ ，令得∵是面的法向量
∴ ．
所以锐二面角平面角的余弦值为． ………………12分
19、解：（1）因为B、C是定点，所以BC为直径的半径最小，即周长最小；
所以所求圆的标准方程为：.……………………4分
（2）…………6分
,…………9分
（注：没有写，扣1分）
所以顶点A的轨迹方程为,；…………10分
当点A的坐标为时，的面积取得最大值，最大面积为
…12分
20、解:（1）切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，设切线方程为，（）
又圆C：，圆心C到切线的距离等于圆的半径，
则所求切线的方程为：。 …………6分
（2）切线PM与半径CM垂直，
动点P的轨迹是直线，的最小值就是的最小值，
而的最小值为点到直线的距离d=，
所求点坐标为P. ………………12分
21、解：（1）证明：连接,在等腰梯形ABCD中，，，
为中点，四边形为菱形，⊥AE，
，即,
且平面平面， ∴AE⊥平面POB
又AE 平面ABCE，平面POB⊥平面ABCE．
（2）由（1）可知四边形为菱形，在等腰梯形ABCD中正三角形同理,,∴OP⊥OB，
由（1）可知，以O为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，，,
∴，设,
,
设平面的一个法向量为,则，即,
取，得，所以＝(0，1，),
设直线与平面所成角为，
则，即,
化简得：，解得,
存在点为的中点时，使直线与平面所成角的正弦值为.………………12分
22、解:（1）设圆心是，它到直线的距离是，
解得或（舍去）所求圆的方程是 ………………3分
点在圆上 ，且
又原点到直线的距离，解得
而
当，即时取得最大值，
此时点的坐标是与，面积的最大值是……………………7分
（2）圆，………………………
……………………12分